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1、单三步单三步单三步单三步(a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20 ,则则a2前的系数为前的系数为C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+
2、C32ab2 +C33 b32)ba（222baba3)(ba322333aa babb单三步单三步单三步单三步(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数代表着这些项在展开式各项前的系数代表着这些项在展开式 中出现的次数中出现的次数单三步单三步单三步单三步a4 a3b a2b2 ab3 b4都都不不取取b取取一一个个b 取取两两个个b 取
3、取三三个个b 取取四四个个b 项项系数系数C40C41C42C43C44(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？单三步单三步单三步单三步发现规律：发现规律：?)()()()(bababanba 共共n n个的个的展开式中展开式中a an-rn-rb br r的系数是在的系数是在n n个括号中，恰个括号中，恰有有r r个括号中取个括号中取b(b(其余括号中取其余括号中取a)a)的组合数的组合数 . .那么，我们能不能写出那么，
4、我们能不能写出(a+b)(a+b)n n的展开式？的展开式？ rnC将将(a+b)n展开展开的结果的结果又又是是怎怎样样呢？呢？ 归纳提高归纳提高 引出定理，总结特征引出定理，总结特征011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 单三步单三步单三步单三步二项展开式定理二项展开式定理:一般地，对于一般地，对于n Nn N* *，有：，有：011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做 (a+b) n的的 ，
5、 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.rnC展开式展开式二项式系数二项式系数rrnrnbaCr+1n+11(0,1,2,)rnrrrnTCnabr 单三步单三步单三步单三步2.二项式系数规律：二项式系数规律：nnnnnCCCC、 2103.指数规律：指数规律：（1）各项的次数）各项的次数和均为和均为n；（2）二项和的）二项和的第一项第一项a的次数的次数由由n逐次降到逐次降到0， 第二项第二项b的次数的次数由由0逐次逐次升到升到n.1.
6、项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项)(Nn011()nnnrn rrn nnnnna bC aC a bC a bC b二项展开式定理二项展开式定理:单三步单三步单三步单三步特别地特别地: 2、令、令a=1，b=x1、把、把b用用- -b代替代替 (a-b)n= Cnan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn01rnn) 11 ( n2nnnrrnnnnxCxCxCxCx 22111）（01CCCnnnn3、)(Nn011()nnnrn rrn nnnnna bC aC a bC a bC b二项展开式定理二项展开式定理:单三步单三步单三
7、步单三步411)1x：展展开开（ 例例注：注：1）注意对二项式定理的灵活应用）注意对二项式定理的灵活应用2）注意区别）注意区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念二项式系数二项式系数为为 ；项的系数项的系数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积rnC解解:41223344411111)1()()()CCCxxxx （ 44423414641()1.Cxxxxx 单三步单三步单三步单三步61()6223xx：展开，并求第 项的二项式系数和第例项的系数.解解:6631(2)1)xxxx1=(261524336663)(2 )(2 )(2 )xCxCxCxx1=(2
8、4256666(2 )(2 )CxCxC32236012164192240160 xxxxxx=第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 2615C 第六项的系数为第六项的系数为 5562( 1)12C 单三步单三步单三步单三步7)3x: :( (1 1) )求求（1 1+ +2 2的的展展开开式式的的第第例例4 4项项的的系系数数931)xxx ( (2 2) )求求（的的展展开开式式中中 的的系系数数和和中中间间项项解解:37 3333 17(1)1(2 )280TCxx第四项系数为第四项系数为28099 21991(2)()( 1)rrrrrrrTC xC xx 339923,84rxC
9、 3由得r=3.故 的系数为(-1)49 444 1959 555 1915,6,()70170()TC xxxTC xxx中间一项是第项单三步单三步单三步单三步 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23( x例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.8312xx单三步单三步单三步单三步解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则：8824 431883111
10、22rrrrrrrrxTCCxx 由题意可知，由题意可知，244063rr故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项8 6660781172TCx 常数项即常数项即 项项.0 x例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.8312xx单三步单三步单三步单三步100,.236,0100.0,6,12,96,17.r rTrr均为整数时为有理数为 的倍数 且即r为展开式中共有项有理项解：解： 的展开式的通项公式为：的展开式的通项公式为：1003)23( x100100
11、10033211001003232rrrrrrrrTCxCx012100r ， ， ， ，点评：点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高维的严密性要求也高.有理项即有理项即整数次幂整数次幂项项 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？1003)23( x单三步单三步单三步单三步练习：练习：1、求、求 的展开式常数项的展开式常数项 93()3xx1999219931( )()( )333r
12、rrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解解:单三步单三步单三步单三步2、求、求 的展开式的中间项的展开式的中间项 93()3xx解解:展开式共有展开式共有10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项项49 44354 193( )()423xTTCxx359 55265 193( )()423xTTCxx单三步单三步单三步单三步课堂小结：课堂小结： 二项式定理是初中多项式乘法的延二项式定理是初中多项式乘法的延伸，又是后继学习概率的基础，要理解和伸，又是后继学习概率的基础，要理解和掌握好展开式的规律，利用它对二项式展掌握好展开式的规律，利用它对二项式展开，进行相应的计算与证明；开，进行相应的计算与证明； 要注意要注意“系数系数”、“二项式系数二项式系数”等概念的区别与联系，对二项式展开式的等概念的区别与联系，对二项式展开式的特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式特征要分析清楚，灵活正用、逆用展开式. .单三步单三步单三步单三步单三步单三步