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1、世纪金榜二轮专题辅导与练习专题五第二讲 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、主干知识一、主干知识1.1.线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行与垂直的判定定理、性质定理:定理定理符号表示符号表示图图形表示形表示线线面平面平行的判行的判定定理定定理_定理定理符号表示符号表示图图形表示形表示线线面平面平行的性行的性质质定理定理 _ _线线面垂面垂直的判直的判定定理定定理_线线面垂面垂直的性直的性质质定理定理_2.2.面面平行与垂直的判定定理、性质定理
2、：面面平行与垂直的判定定理、性质定理：定理定理符号表示符号表示图图形表示形表示面面垂面面垂直的判直的判定定理定定理_定理定理符号表示符号表示图图形表示形表示面面垂面面垂直的性直的性质质定理定理_面面平面面平行的判行的判定定理定定理_面面平面面平行的性行的性质质定理定理_二、重要关系的转化二、重要关系的转化1.1.平行关系的转化：平行关系的转化：2.2.垂直关系的转化：垂直关系的转化：1.(20131.(2013 海淀模海淀模拟拟)在空在空间间,下列正确命下列正确命题题的序号是的序号是.(1)(1)平行直平行直线线在同一平面内的射影平行或重合在同一平面内的射影平行或重合.(2)(2)垂直于同一平
3、面的两条直垂直于同一平面的两条直线线平行平行.(3)(3)垂直于同一平面的两个平面平行垂直于同一平面的两个平面平行.(4)(4)平行于同一直平行于同一直线线的两个平面平行的两个平面平行.【解析】【解析】(1)(1)中的射影也有可能是两个点中的射影也有可能是两个点,错误错误.(3).(3)中两个平面中两个平面也可能相交也可能相交,错误错误.(4).(4)中的两个平面也有可能相交中的两个平面也有可能相交,错误错误.只有只有(2)(2)正确正确.答案答案:(2)(2)2.(20132.(2013 苏苏州模州模拟拟)设设m,nm,n是两条不同的直是两条不同的直线线,是两个不同的是两个不同的平面平面,给
4、给出下列命出下列命题题:若若,m,m,n,n,则则mn;mn;若若,m,n,m,n,则则mn;mn;若若,m,n,m,n,则则mn.mn.若若,m,n,m,n,则则mn.mn.上面命上面命题题中中,所有真命所有真命题题的序号的序号为为.【解析】【解析】中直线中直线m,nm,n分别在平行平面分别在平行平面,内内,故故m m与与n n或者平或者平行或者异面行或者异面,故故不正确不正确;因为因为,m,m,所以所以m,m,又又n,n,所以所以mn,mn,故故正确正确;中中,n,m,m,n,m,m与与n n可可能相交也可能平行能相交也可能平行,也可能异面也可能异面,故故错误错误;正确正确.答案答案:3.
5、(20133.(2013 扬扬州模州模拟拟)已知两条直已知两条直线线a,ba,b与两个平面与两个平面,b,b,则则下列命下列命题题中正确的序号中正确的序号为为.若若a,a,则则ab;ab;若若ab,ab,则则a;a;若若b,b,则则;若若,则则b.b.【解析】【解析】根据线面垂直的性质可知根据线面垂直的性质可知正确正确.中中,当当abab时时,也也有可能为有可能为a a,所以所以错误错误.中垂直于同一直线的两个平面平中垂直于同一直线的两个平面平行行,所以正确所以正确.中的结论也有可能为中的结论也有可能为b b,所以错误所以错误.所以命题所以命题正确的有正确的有.答案答案:4.(20134.(2
6、013 昆明模昆明模拟拟)若若,是两个不同的平面是两个不同的平面,下列四个条件下列四个条件:存在一条直存在一条直线线a,a,a;a,a,a;存在一个平面存在一个平面,;存在两条平行直存在两条平行直线线a,b,aa,b,a,b,b,a,b;,a,b;存在两条异面直存在两条异面直线线a,b,aa,b,a,b,b,a,b.,a,b.其中可以是其中可以是的充分条件的充分条件的有的有个个.【解析】【解析】可以可以;,;,也有可能相交也有可能相交,所以不正确所以不正确;,;,也有可能相交也有可能相交,所以不正确所以不正确;根据异面直线的性质可知根据异面直线的性质可知可以可以,所以可以是所以可以是的充分条件
7、的有的充分条件的有2 2个个.答案答案:2 2热点考向热点考向 1 1 空间位置关系命题真假的判断空间位置关系命题真假的判断【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013 南通模南通模拟拟)设设m,nm,n是两条不同的直是两条不同的直线线,是两是两个不同的平面个不同的平面,则则下列正确命下列正确命题题的序号是的序号是.若若mn,m,mn,m,则则n;n;若若mn,m,mn,m,则则n;n;若若m,m,m,m,则则;若若n,n,n,n,则则.(2)(2013(2)(2013 济济南模南模拟拟)设设m,nm,n是空是空间间两条直两条直线线,是空是空间间两个平面两个平面,则则下列命下列命题题中
8、不正确的序号是中不正确的序号是.当当m m时时,“n”n”是是“mn”mn”的必要不充分条件的必要不充分条件当当m m时时,“m”m”是是“”的充分不必要条件的充分不必要条件当当nn时时,“n”n”是是“”成立的充要条件成立的充要条件当当m m时时,“n”n”是是“mn”mn”的充分不必要条件的充分不必要条件【解题探究】【解题探究】(1)mn,m,(1)mn,m,则则n n与平面与平面有怎样的位置关系有怎样的位置关系?提示提示:nn或或n n在平面在平面内内.(2)mn,m(2)mn,m,则则n n与平面与平面有怎样的位置关系有怎样的位置关系?提示提示:nn或或n n在平面在平面内内.【解析】
9、【解析】(1)(1)由判定定理知由判定定理知正确正确;n;n或或n n,故故不正确不正确;中中与与可能平行也可能相交可能平行也可能相交,故故不正确不正确;因为因为n,n,n,n,所以所以,故故不正确不正确.答案答案:(2)(2)如图长方体如图长方体,对于命题对于命题,当当mn,mmn,m 时时nn或或n n在平面在平面内内,故故不正确不正确.对于命题对于命题,若若m,mm,m,则则(由面面由面面垂直的判定定理得垂直的判定定理得),),而若而若,m,m,则则m m 或或m,m,或或m=P,m=P,故故正确正确,对于命题对于命题,若若n,n,n,n,则则,显显然成立然成立,若若n,n,则则nm,n
10、a,ma=P,nm,na,ma=P,因为因为,所以所以mm,aa,mm,aa,则则nmnm，na,na,而而ma=P,ma=P,所以所以n,n,故故正确正确;对于命题对于命题,因为因为n,mn,m,所以所以nm(nm(由线由线面垂直的定义得面垂直的定义得),),若若mn,mmn,m,则则nn或或n n,或或n,n,故故正确正确.答案答案:【方法总结】【方法总结】求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路求解空间线面位置关系的组合判断题的两大思路(1)(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断定定理和性质定理
11、逐项判断.(2)(2)借助空间几何模型借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系观察线面位置关系,结合有关定理结合有关定理,进行肯定或否定进行肯定或否定.【变变式式训练训练】(2013(2013 杭州模杭州模拟拟)设设l是直是直线线,是两个不同的平面是两个不同的平面,下列下列说说法正确的是法正确的是.若若l,l,则则;若若l,l,则则;若若,l,则则l;若若,l,则则l.【解析】【解析】对于对于:若若l,l,则则,可能相交可能相交,故故错错.对于对于:若若l,则平面则平面内必存在一条直线内必存在一条直线m m与与l平行平行,则则m,m
12、,又又m m,故故,从而从而正确正确.对于对于:若若,l,则则l可能可能在平面在平面内内,故故错错.对于对于:若若,l,则则l可能与可能与平行平行,故故错错.答案答案:热点考向热点考向 2 2 平行关系的证明平行关系的证明 【典例【典例2 2】(2013(2013 青青岛岛模模拟拟)在如在如图图所示的多面体所示的多面体ABCDEABCDE中中,AB,AB平面平面ACD,DEACD,DE平面平面ACD,ACD,且且AC=AD=CD=DE=2,AB=1.AC=AD=CD=DE=2,AB=1.(1)(1)请请在在线线段段CECE上找到点上找到点F F的位置的位置,使得恰有直使得恰有直线线BFBF平面
13、平面ACD,ACD,并并证证明明.(2)(2)求多面体求多面体ABCDEABCDE的体的体积积.【解题探究】【解题探究】(1)(1)证明证明BFBF平面平面ACDACD的两个关键的两个关键:由由ABAB平面平面ACD,DEACD,DE平面平面ACDACD可得到结论可得到结论:_.根据根据AB=DEAB=DE及及ABAB与与DEDE的关系可联想到点的关系可联想到点F F的位置是的位置是:_.(2)(2)求多面体求多面体ABCDEABCDE体积的两个要点体积的两个要点:多面体多面体ABCDEABCDE是规则图形吗是规则图形吗?提示提示:多面体多面体ABCDEABCDE是以点是以点C C为顶点为顶点
14、,平面平面ABEDABED为底面的四棱锥为底面的四棱锥.多面体多面体ABCDEABCDE的高易求吗的高易求吗?提示提示:ACDACD中中ADAD边的中线长就是多面体边的中线长就是多面体ABCDEABCDE的高的高.ABEDABED点点F F是是CECE的中点的中点【解析】【解析】如图如图,(1),(1)由已知由已知ABAB平面平面ACD,ACD,DEDE平面平面ACD,ACD,所以所以ABED,ABED,设设F F为线段为线段CECE的中点的中点,H,H是线段是线段CDCD的中点的中点,连结连结FH,AH,FH,AH,则则FHFH ED,ED,所以所以FHFH AB,AB,所以四边形所以四边形
15、ABFHABFH是平行四边形是平行四边形,所以所以BFAH,BFAH,又因为又因为BFBF 平面平面ACD,AHACD,AH 平面平面ACD,ACD,所以所以BFBF平面平面ACD.ACD.(2)(2)取取ADAD中点中点G,G,连结连结CG.CG.因为因为ABAB平面平面ACD,ACD,所以所以CGAB,CGAB,又又CGAD,ABAD=A,CGAD,ABAD=A,所以所以CGCG平面平面ABED,ABED,即即CGCG为四棱锥为四棱锥C-ABEDC-ABED的高的高,求得求得CG=CG=所以所以V VC-ABEDC-ABED【互【互动动探究】探究】若本若本题题条件不条件不变变,试试求直求直
16、线线CECE与平面与平面ABEDABED所成角的所成角的正弦正弦值值.【解析】【解析】连结连结EG,EG,由本题由本题(2)(2)解析知解析知CGCG平面平面ABED,ABED,所以所以CEGCEG即为直线即为直线CECE与平面与平面ABEDABED所成的角所成的角,设为设为,在在RtCEGRtCEG中中,有有sin=sin=【方法总结】【方法总结】1.1.证明线线平行的常用方法证明线线平行的常用方法(1)(1)利用平行公理利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行即证明两直线同时和第三条直线平行.(2)(2)利用平行四边形进行转换利用平行四边形进行转换.(3)(3)利用三角形中位线定理证
17、明利用三角形中位线定理证明.(4)(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明利用线面平行、面面平行的性质定理证明.2.2.证明线面平行的常用方法证明线面平行的常用方法(1)(1)利用线面平行的判定定理利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证明线线把证明线面平行转化为证明线线平行平行.(2)(2)利用面面平行的性质定理利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证明面面把证明线面平行转化为证明面面平行平行.3.3.证明面面平行的方法证明面面平行的方法证明面面平行证明面面平行,依据判定定理依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可与另一个平面平
18、行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面从而将证明面面平行转化为证明线面平行平行,再转化为证明线线平行再转化为证明线线平行.【变变式式训练训练】(2013(2013 盐盐城模城模拟拟)在直三棱柱在直三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,AB=AC=AA,AB=AC=AA1 1=3a,BC=2a,D=3a,BC=2a,D是是BCBC的中点的中点,E,F,E,F分分别别是是A A1 1A,CA,C1 1C C上一点上一点,且且AE=CF=2a.AE=CF=2a.(1)(1)求求证证:B:B1 1FF平面平面ADF.ADF.(2)(2)求三棱求三棱锥锥B B1 1-ADFAD
19、F的体的体积积.(3)(3)求求证证:BE:BE平面平面ADF.ADF.【解析】【解析】(1)(1)因为因为AB=AC,DAB=AC,D为为BCBC中点中点,所以所以ADBC.ADBC.在直三棱柱在直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,因为因为B B1 1BB底面底面ABC,ADABC,AD 底面底面ABC,ABC,所以所以ADBADB1 1B.B.因为因为BCBBCB1 1B=B,B=B,所以所以ADAD平面平面B B1 1BCCBCC1 1.因为因为B B1 1F F 平面平面B B1 1BCCBCC1 1,所以所以ADBADB1 1F.F.在矩形在矩形B B1
20、1BCCBCC1 1中中,因为因为C C1 1F=CD=a,BF=CD=a,B1 1C C1 1=CF=2a,=CF=2a,所以所以RtDCFRtFCRtDCFRtFC1 1B B1 1.所以所以CFD=CCFD=C1 1B B1 1F.F.所以所以BB1 1FD=90FD=90.所以所以B B1 1FFD.FFD.因为因为ADFD=D,ADFD=D,所以所以B B1 1FF平面平面ADF.ADF.(2)(2)因为因为B B1 1FF平面平面AFDAFD，所以所以(3)(3)连结连结EFEF，ECEC，设，设ECAF=MECAF=M，连结，连结DMDM，因为因为AE=CF=2a,AE=CF=2
21、a,所以四边形所以四边形AEFCAEFC为矩形为矩形,所以所以M M为为ECEC中点中点.因为因为D D为为BCBC中点中点,所以所以MDBE.MDBE.因为因为MDMD 平面平面ADF,BEADF,BE 平面平面ADF,ADF,所以所以BEBE平面平面ADF.ADF.热点考向热点考向 3 3 垂直关系的证明垂直关系的证明 【典例【典例3 3】(2013(2013 黄黄冈冈模模拟拟)如如图图,三棱柱三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1的的侧侧面面AAAA1 1B B1 1B B为为正方形正方形,侧侧面面BBBB1 1C C1 1C C为为菱形菱形,CBB,CBB1 1=60
22、=60,ABB,ABB1 1C.C.(1)(1)求求证证:平面平面AAAA1 1B B1 1BB平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)若若AB=2,AB=2,求三棱柱求三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1的体的体积积.【解题探究】【解题探究】(1)(1)根据条件和面面垂直的判定定理可知根据条件和面面垂直的判定定理可知,要证平面要证平面AAAA1 1B B1 1BB平平面面BBBB1 1C C1 1C,C,只需证明什么只需证明什么?提示提示:只需证明只需证明ABAB平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)求三棱柱求三棱柱ABC-AABC-A1 1
23、B B1 1C C1 1体积的两个关键体积的两个关键:由平面由平面AAAA1 1B B1 1BB平面平面BBBB1 1C C1 1C C可求得点可求得点C C到平面到平面AAAA1 1B B1 1B B的距离为的距离为_,从而可求三棱锥的体积为从而可求三棱锥的体积为_.根据根据 知知,三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1与三棱锥与三棱锥C-ABBC-ABB1 1的的体积的关系是体积的关系是_.【解析】【解析】(1)(1)由侧面由侧面AAAA1 1B B1 1B B为正方形为正方形,知知ABBBABBB1 1.又又ABBABB1 1C,BBC,BB1 1BB1 1C=B
24、C=B1 1,所以所以ABAB平面平面BBBB1 1C C1 1C,C,又又ABAB 平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,所以平面所以平面AAAA1 1B B1 1BB平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)由题意由题意,CB=CB,CB=CB1 1,设设O O是是BBBB1 1的中点的中点,连结连结CO,CO,则则COBBCOBB1 1.由由(1)(1)知知,CO,CO平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,连结连结ABAB1 1，则，则因为因为故三棱柱故三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的体积的体积【方法总结】【方法总结】1.1.证明线线垂直的常
25、用方法证明线线垂直的常用方法(1)(1)利用特殊平面图形的性质利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直等腰三角形等得到线线垂直.(2)(2)利用勾股定理逆定理利用勾股定理逆定理.(3)(3)利用线面垂直的性质利用线面垂直的性质,即要证明线线垂直即要证明线线垂直,只需证明一线垂只需证明一线垂直于另一线所在平面即可直于另一线所在平面即可.2.2.证明线面垂直的常用方法证明线面垂直的常用方法(1)(1)利用线面垂直的判定定理利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线把线面垂直的判定转化为证明线线垂直线垂直.(2)(2)利用
26、面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面把证明线面垂直转化为证明面面垂直垂直.(3)(3)利用常见结论利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则则另一条也垂直于这个平面等另一条也垂直于这个平面等.3.3.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一即证明一个面过另一个面的一条垂线个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先一般先从现有直线中寻找从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线若图中不存在这样
27、的直线,则借助中点、高则借助中点、高线或添加辅助线解决线或添加辅助线解决.【变变式式训练训练】(2013(2013 江西高考江西高考)如如图图,直四棱柱直四棱柱ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,ABCD,ADAB,AB=2,AD=,AA,ABCD,ADAB,AB=2,AD=,AA1 1=3,E=3,E为为CDCD上一点上一点,DE=1,DE=1,EC=3.EC=3.(1)(1)证证明明:BE:BE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)求点求点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离的距离.【解析】【解析】(1)(1)过点过点
28、B B作作CDCD的垂线交的垂线交CDCD于点于点F F，则，则BF=AD=BF=AD=EF=AB-DE=1EF=AB-DE=1，FC=2.FC=2.在在RtBFERtBFE中，中，BE=BE=在在RtCFBRtCFB中，中，BC=BC=在在BECBEC中，因为中，因为BEBE2 2+BC+BC2 2=9=EC=9=EC2 2,所以所以BEBC,BEBC,又由又由BBBB1 1平面平面ABCDABCD得得BEBBBEBB1 1,又又BBBB1 1BC=B,BC=B,故故BEBE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)在在RtARtA1 1D D1 1C C1 1中，中，A A1
29、1C C1 1=同理，同理，ECEC1 1=A A1 1E=E=则则设点设点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离为的距离为d d，则三棱锥，则三棱锥B B1 1-EA-EA1 1C C1 1的体积为的体积为【典例】【典例】如如图图1,1,在在RtABCRtABC中中,C=90,C=90,D,E,D,E分分别为别为AC,ABAC,AB的中点的中点,点点F F为线为线段段CDCD上的一点上的一点,将将ADEADE沿沿DEDE折起到折起到AA1 1DEDE的位置的位置,使使A A1 1FCD,FCD,如如图图2.2.(1)(1)求求证证:DE:DE平面平面A A1 1CB.CB.
30、(2)(2)求求证证:A:A1 1FBE.FBE.(3)(3)线线段段A A1 1B B上是否存在点上是否存在点Q,Q,使使A A1 1CC平面平面DEQ?DEQ?说说明理由明理由.【解析】【解析】(1)(1)因为因为D,ED,E分别是分别是AC,ABAC,AB的中点的中点,所以所以DEBC,DEBC,又因为又因为DEDE 平面平面A A1 1CB,BCCB,BC 平面平面A A1 1CB,CB,所以所以DEDE平面平面A A1 1CB.CB.(2)(2)因为因为DEBC,ACBC,DEBC,ACBC,所以所以DEAC,DEAC,所以所以DEADEA1 1D,DECD.D,DECD.因为因为A
31、 A1 1DCD=D,DCD=D,所以所以DEDE平面平面A A1 1DC.DC.因为因为A A1 1F F 平面平面A A1 1DC,DC,所以所以DEADEA1 1F.F.又因为又因为A A1 1FCD,CDDE=D,FCD,CDDE=D,所以所以A A1 1FF平面平面BCDE,BCDE,因为因为BEBE 平面平面BCDE,BCDE,所以所以A A1 1FBE.FBE.(3)(3)存在存在.取取A A1 1B B的中点的中点Q,AQ,A1 1C C的中点的中点P,P,连结连结DP,PQ,QE.DP,PQ,QE.则则PQBC,PQBC,所以所以PQDE.PQDE.由由(2)(2)知知DED
32、E平面平面A A1 1DC,DC,所以所以DEADEA1 1C,C,所以所以PQAPQA1 1C.C.因为因为A A1 1D=DC,D=DC,所以所以AA1 1DCDC是等腰三角形是等腰三角形.又因为点又因为点P P为为A A1 1C C的中点的中点,所以所以A A1 1CPD.CPD.因为因为PDPQ=P,PDPQ=P,所以所以A A1 1CC平面平面PQED,PQED,即即A A1 1CC平面平面DEQ.DEQ.【方法总结】【方法总结】1.1.解决折叠问题的关键点解决折叠问题的关键点(1)(1)搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变,抓住翻折前后不变抓住翻折前
33、后不变的量的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)(2)把平面图形翻折后把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.2.2.求解探索性问题的一般步骤求解探索性问题的一般步骤(1)(1)假设其存在假设其存在,被探索的点一般为线段的中点、三等分、四等被探索的点一般为线段的中点、三等分、四等分点或垂足分点或垂足.(2)(2)在假设下进行推理论证在假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结如果通过推理得到了合乎情理的
34、结论就肯定假设论就肯定假设,如果得到了矛盾结论就否定假设如果得到了矛盾结论就否定假设.转转化与化化与化归归思想思想解决立体几何中的探索性解决立体几何中的探索性问题问题1.1.主要主要类类型型:(1):(1)对对平行或垂直关系的探索平行或垂直关系的探索.(2).(2)对对条件和条件和结论结论不完不完备备的开放性的开放性问题问题的探索的探索.2.2.解解题题思路思路:首先假首先假设设其存在其存在,然后在然后在这这个假个假设设下推理下推理论证论证,如果如果通通过过推理得到了合乎情理的推理得到了合乎情理的结论结论就肯定假就肯定假设设,若推出了矛盾就否若推出了矛盾就否定假定假设设.3.3.注意事注意事项
35、项:(1):(1)解决此解决此类问题类问题的关的关键键是通是通过过条件与所求把要探条件与所求把要探索的索的问题问题确定下来确定下来.(2)(2)在在转转化化过过程中要有理有据程中要有理有据,不能凭空猜不能凭空猜测测.【典例】【典例】(14(14分分)(2013)(2013 西城模西城模拟拟)如如图图,直三棱直三棱柱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,ACBC,AC=BC=CC,ACBC,AC=BC=CC1 1=2,M,=2,M,N N分分别为别为AC,BAC,B1 1C C1 1的中点的中点.(1)(1)求求线线段段MNMN的的长长.(2)(2)求求证证:MN:MN平面平
36、面ABBABB1 1A A1 1.(3)(3)线线段段CCCC1 1上是否存在点上是否存在点Q,Q,使使A A1 1BB平面平面MNQ?MNQ?说说明理由明理由.【审题】【审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1)(1)切入点切入点:从证明从证明ACAC平面平面BCCBCC1 1B B1 1入手入手.关注点关注点:注意条件注意条件CCCC1 1平面平面ABCABC的应用的应用.(2)(2)切入点切入点:根据根据M,NM,N分别为分别为AC,BAC,B1 1C C1 1的中点的中点,联想到三角形中位线联想到三角形中位线,从而作出辅助线从而作出辅助线.关注点关注点:注意侧面注意侧面BCCBC
37、C1 1B B1 1是正方形是正方形.(3)(3)切入点切入点:从确定点从确定点Q Q的位置入手的位置入手.关注点关注点:点点Q Q的位置确定后的位置确定后,以此为条件进行证明以此为条件进行证明.【解题】【解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)连结连结CN.CN.因为因为ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱是直三棱柱,所以所以CCCC1 1平面平面ABC,ABC,所以所以ACCCACCC1 12 2分分因为因为ACBC,BCCCACBC,BCCC1 1=C,=C,所以所以ACAC平面平面BCCBCC1 1B B1 1.因为因为MC=1,MC=1,所以所以
38、MN=MN=5 5分分(2)(2)取取ABAB中点中点D,D,连结连结DM,DBDM,DB1 1.在在ABCABC中中,因为因为M M为为ACAC的中点的中点,所以所以DMBC,DM=BC.DMBC,DM=BC.在矩形在矩形B B1 1BCCBCC1 1中中,因为因为N N为为B B1 1C C1 1的中点的中点,所以所以B B1 1NBC,BNBC,B1 1N=BC,N=BC,所以所以DMBDMB1 1N,DM=BN,DM=B1 1N.N.所以四边形所以四边形MDBMDB1 1N N为平行四边形为平行四边形,所以所以MNDBMNDB1 1.8 8分分因为因为MNMN 平面平面ABBABB1
39、1A A1 1,DB,DB1 1 平面平面ABBABB1 1A A1 1,所以所以MNMN平面平面ABBABB1 1A A1 1.1010分分(3)(3)线段线段CCCC1 1上存在点上存在点Q,Q,且且Q Q为为CCCC1 1中点时中点时,有有A A1 1BB平面平面MNQMNQ证明如下证明如下:连结连结BCBC1 1,NQ,MQ.,NQ,MQ.在正方形在正方形BBBB1 1C C1 1C C中易证中易证QNBCQNBC1 1.又又A A1 1C C1 1平面平面BBBB1 1C C1 1C,C,所以所以A A1 1C C1 1QN,AQN,A1 1C C1 1BCBC1 1=C=C1 1,
40、从而从而QNQN平面平面A A1 1BCBC1 1.1212分分所以所以A A1 1BQN,BQN,同理可得同理可得A A1 1BMQ,QNMQ=Q,BMQ,QNMQ=Q,所以所以A A1 1BB平面平面MNQ.MNQ.故线段故线段CCCC1 1上存在点上存在点Q,Q,使得使得A A1 1BB平面平面MNQ.MNQ.1414分分【点题】【点题】规避误区，失分警示规避误区，失分警示 失分点一失分点一求线段求线段MNMN的长时应先证明的长时应先证明处成立再计算处成立再计算失分点二失分点二不能把所求问题转化为不能把所求问题转化为处的结论处的结论导致无法求解导致无法求解失分点三失分点三题中题中处的结论
41、想不到应用导致无法求解处的结论想不到应用导致无法求解【变题】【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013 北京模北京模拟拟)在如在如图图所示的几何体中所示的几何体中,四四边边形形ABCDABCD是菱形是菱形,ADNM,ADNM是矩形是矩形,平面平面ADNMADNM平面平面ABCD,PABCD,P为为DNDN的中点的中点.(1)(1)求求证证:BDMC.:BDMC.(2)(2)线线段段ABAB上是否存在点上是否存在点E,E,使得使得APAP平面平面NEC,NEC,若存在若存在,说说明在什明在什么位置么位置,并加以并加以证证明明;若不存在若不存在,说说明理由明理由.【解析】【解
42、析】(1)(1)连结连结AC,AC,因为四边形因为四边形ABCDABCD是菱形是菱形,所以所以ACBD.ACBD.又又ADNMADNM是矩形是矩形,平面平面ADNMADNM平面平面ABCD,ABCD,所以所以AMAM平面平面ABCD.ABCD.因为因为BDBD 平面平面ABCD,ABCD,所以所以AMBD.AMBD.因为因为ACAM=A,ACAM=A,所以所以BDBD平面平面MAC.MAC.又又MCMC 平面平面MAC,MAC,所以所以BDMC.BDMC.(2)(2)当当E E为为ABAB的中点时的中点时,有有APAP平面平面NEC.NEC.取取NCNC的中点的中点S,S,连结连结PS,SE.PS,SE.因为因为PSDCAE,PS=AE=DC,PSDCAE,PS=AE=DC,所以四边形所以四边形APSEAPSE是平行四边形是平行四边形,所以所以APSE.APSE.又又SESE 平面平面NEC,NEC,APAP 平面平面NEC,NEC,所以所以APAP平面平面NEC.NEC.