2022年我的导数学案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用函数的单调性与导数一一课前预习1函数单调性的定义, 试用争论函数yx1,yx23,yx2x e 的单调性2求以下函数的导数：1y3x4x22x；2ysinx32 x ；6.53ysin x；4yexlnx . x3图 1,表示高台跳水运发动的高度h 随时间 t 变化的函数h t 4.9t26.5t10的图象；图 2表示高台跳水运发动的速度v 随时间 t 变化的函数v t h t 9.8 t的图象；运发动从起跳到最高点,以及从最高点到入水 这两段时间的运动状态有什么区分？猜一猜：这种情形是

2、否具有一般性呢？4观看下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 . 5函数的单调性与导函数的正负的关系在某个区间 , a b 内,假如 _,那么函数 y f x 在这个区间内单调递增；假如 _,那么函数 y f x 在这个区间内单调递减摸索：1假如在某个区间内恒有 f 0,那么函数 y f x 有什么特点？2某个区间上函数 y f x 的平均变化率的几何意义与其导数的正负有什么关系？二典例精讲例 1已知导函数ff x 的以下信息：1时,f 0；当1x4时, 0；当x4,或x当x4,或x1时,f 0,试画出函数yf x 图像的大致外形1 名师归纳总结 - - - - - - -第

3、 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案2 x33x224 x1选修 2-2 导数及其应用试一试：画出函数f x 的图像例 2判定以下函数的单调性,并求出单调区间1f x 3 xx3 x ；0,；2f x x232x324x134f x sinx xf x 2x3 x2分析：3由于f x sinxx x0,所以,f _ ；因此,函数f x sinxx 在 0, _4由于f x 2 x33 x224x1,所以当f 0,即时,函数f x x22x3当f 0,即时,函数f x x22x3小结：求解函数yf x 单调区间的步骤：1确定函数

4、yf x 的定义域； 2求导数yf x ；3解不等式f 0,解集在定义域内的部分为增区间；4解不等式f 0,解集在定义域内的部分为减区间变式 1：求函数y3 x 的单调区间变式 2：判定函数yx3ax的单调性例 3如图 1.3-6教材 25 页,水以恒速即单位时间内注入水的体积相同注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间 t 的函数关系图像摸索： 例 3 说明, 通过函数图像, 不仅可以看出函数的增减,仍可以看出其变化的快慢结合图像,你能从导数的角度说明变化快慢的情形吗？2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - -

5、- - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用小结：一般的,假如一个函数在某一范畴内导数的肯定值较大,那么函数在这个范畴内变化的快,这时,函数的图像就比较“ 陡峭”三课堂练习 教材第 26 页练习1、2、3、4 四稳固训练 1求以下函数的单调区间；反之,函数的图像就“ 平缓” 一些1 fx=2x36x2+7 2 fx= 1 x2x3 fx=sinx , x0 ,24yxlnx5 y2xsinx6yx2ex7 y=x2x92设yfx是函数yfx的导数 , yfx的图象如下图 , 就yfx的图象最有可能是 3设f x 在 , a b 内可导,就f 0是f x

6、 在 , a b 内单调递减的A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件x4函数f x x33x1的减区间A 1,1 B 1,2 C , 1 D , 1 , 1,5函数f x x3x e 的单调增区间是 _. y6函数yf x 的图象如下图,就使f 0的 x的范畴是,2O使f 0的 x的范畴是,使f 0的 x值是 . 7函数 y=1+x+cosx 在3,2上是2A 、单调递增函数B、3,2上单调递增,2,2上单调递减2C、单调递减函数D、3,2上单调递减,2,2上单调递增23 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - -

7、- - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用函数的单调性与导数二一课前预习1函数的单调性与导函数的正负的关系在某个区间 , a b 内,假如 _,那么函数 y f x 在这个区间内单调递增；假如 _,那么函数 y f 在这个区间内单调递减2求解函数 y f x 单调区间的步骤二典例精讲例 1假设函数f x 23 ax2 xx5 在 ,上单调递增,求实数a的取值范畴上例 2 设f x ax3x 恰有三个单调区间,试求a 的取值范畴,并求其单调区间. 例 3已知fx x4xa, a 为实数,假设fx 在,2 和,2都是递增的,求实数aa 的取值范畴 . 2

8、ax1,x0,1,假设f x 在x0,1上是增函数,求实数例 4已知函数f x2的取值范畴 .例 5已知函数f x 4xax22x3xR 在区间1,1 上是增函数,求实数a 的取3值范畴例 6争论函数fx xbx1 b,01x1的单调性2例 7利用函数的单调性,证明以下不等式,并通过函数图象直观验证：1 sin xx ,x0,ex2当x0时, lnxx4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用三稳固训练1函数fx x3ax2bxc其中a,b ,c为实数,当a23

9、 b0时f x是A 、增函数B、减函数C、常数D、既不是增函数也不是减函数2假设函数ya x3x 的递减区间为3,3,就 a 的取值范畴是333已知函数f x 2 ax3 x,x0,1 ,a0,假设f x 在x0,1上是增函数,求实数a 的取值范畴 .4已知向量ax2,x1 ,b1x,t,假设fx ab在区间 -1,1 上是增函数,求 t 的取值范畴5已知函数f x ax6的图像在点M 1,f 1处的切线方程为x2y50. x2b1求函数yf x 的解析式；xR,均有2求函数yf x 的单调区间 . 6设函数 f x=ax 2+bx+1a,b R,a0,f -1 =0, 且对任意f x 0：1

10、求 f x的表达式；2假设函数gxx3fxakx在 -2 ,2 上是单调函数,求k 的取值范畴7函数fxlogaax ,0a1 在1,0内单调递增,就a 的取值范畴2是8当 x0 时,求证： 1 ln 1 x x 1x 2 2 1+2xe 2x,29求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个实数根 .23 210设 t 0,点 Pt ,0是函数 f x x ax 与 g x bx c 的图象的一个公共点,两函数的图象在点 P处有相同的切线：1 用 t 表示 a,b,c ；2 假设函数 y f x g x 在 -1 , 3上单调递减,求 t 的取值范畴5 名师归纳总结 - - - - - -

11、-第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用函数的极值与导数一课前预习1观看以下图,ta 时,高台跳水运发动距水面高度最大那么,函数h t 在此点的导数是多少呢？此点邻近的图像有什么特点？相应地,导数的符号有什么变化规律？摸索：对于一般的函数yfx ,是否也有这样的性质呢？2如图,函数 y f x 在 a b c d e f g h 等点的函数值与这些点邻近函数值有什么关系？y f x 在这些点的导数值是多少？在这些点邻近,y f x 的导数的符号有什么规律？图图图 1 3通过以上的探究,我们以图 1 中

12、 a b两点为例,可以发觉函数 y f x 在点 x a 处的函数值 f a 比它在点 x a 邻近的点的函数值都 _,f _, 而且在点 x a邻近的左侧 f x _0,右侧 f x _0类似地,函数 y f x 在点 x b 处的函数值 f b 比它在点 x b 邻近的点的函数值都 _,f _, 而且在点 x b 邻近的左侧 f x _0,右侧 f x _0我们把点 a 叫做函数 y f x 的_,f a 叫做函数 y f x 的_点 b 叫做函数 y f x 的_,f b 叫做函数 y f x 的 _极大值点、微小值点统称为极值点,极大值、微小值统称为极值摸索： 导数值为 0 的点肯定是

13、函数的极值点吗？极大值肯定大于微小值吗？极值是一个局部概念,由定义, 极值只是某个点的函数值与它邻近点的函数值比较是最大6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用即一或最小, 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小,函数的极值不是唯独的,个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个的内部,区间的端点不能成为极值点；二典例精讲例 1求fx1x34x4的极值3小结：求可导函数f x 的极值的步骤：1 确定函数的定义区间,求导数f x ；2 求方程f 0

14、的根；函数的极值点肯定显现在区间3 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间,并列成表格检查 f x 在方程根左右的值的符号,假如左正右负, 那么 f x 在这个根处取得极大值；假如左负右正,那么 f x 在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号即都为正或都为负,那么 f x 在这个根处无极值例 2求以下函数的极值：1fx x2ex；6 x2fxx2x12.2例 3设函数yx351求函数的单调区间和极值2假设方程ya有三个不同的实数根,求实数1a 的取值范畴f 1 1,求函数f x 例 4已知fx 3 axbx2cx a0 在x时取得极值, 且的解析式三课堂练习1教材第

15、 29 页练习 1 2教材第 31 页习题 1 3 A 组 3 、4 3求以下函数的极值：1f x 6x2x23 2f x x327x3 4xf x 612 xxf x 33 x7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用四稳固训练1以下四个函数,在x=0 处取得极值的函数是时有微小值,就y=x3y=x2+1 y=|x| y=2xA. B. C.D.2函数f x ax3x1有极值的充要条件是3函数 y=16x2的极大值为xA . 3 B. 4 C. 2 D. 5

16、4函数 y=x 33x 的极大值为 m,微小值为 n,就 m+n 为B.1 C.2 x=35y=ln2x+2lnx+2 的微小值为A.e1B.0 C.1 6y=2x33x2+a 的极大值为6,那么 a 等于B.0 C.5 7假设函数y=x3+ax2+bx+27在 x=1 时有极大值,在a=_,b=_.8函数f x 3 x2 axbx2 a 在x1处有极值 10,求 a, b 的值m,nR,m,09设 a 为实数 ,函数fxx3x2x.a1 求fx的极值 . 2 当 a 在什么范畴内取值时, 曲线yf x与x轴仅有一个交点. 10设函数f 3 x9x26xa2对于任意实数x ,f m 恒成立,求

17、 m 的最大值；假设方程f x 0有且仅有一个实根,求a 的取值范畴11已知x1是函数fxmx33 m1x2nx1的一个极值点 , 1 求 m与 n 的关系式；yf x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m, 求m的取2 求fx的单调区间；3 当x 1,1时, 函数值范畴 . 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用函数的最大小值与导数一一课前预习1求可导函数 f x 的极值的步骤2如图,观看区间 a,b上的函数 y = fx的图象,你能找出它的极大值与微小值

18、吗？3x x a 1x 2x 4x 5x b 3你能找出它的最大值与最小值吗一般地,设 yfx是定义在 a, b上的函数,在 a, b上 y fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值摸索：1假如是在开区间 , a b 上情形如何？2假如 a b 上不连续肯定仍成立吗？3在闭区间 ,a b上连续函数 fx的最大值、 最小值分别是什么？分别在何处取得？以上分析,说明求函数f x 在闭区间 a,b 上最值的关键是什么？4函数的极大值和微小值是否就是函数的最大值与最小值？函数极值与最值的区分：1函数的极值是局部性质,函数的最值是整体性质2函数的最值是唯独存在的,而极值可能不止一个,也可

19、能没有3函数的极值不能在区间端点取值,而最值可以在端点处取得4求函数yf x 在区间a b 上的最大值与最小值的步骤：1 求 yfx在a,b内的极值；2将 yfx的各极值与端点处的 一个为最小值二典例精讲fa,fb比较,其中最大的一个为最大值,最小的例 1求函数f 1x34x4在 3,4 上的最大值与最小值3变式 1： 将区间 3,4 改为 0,3变式 2：求函数f xcos , x x0,2的最大值与最小值；变式 3： 求函数f lnxx2在0,2上的最值49 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022

20、届高二数学学案 选修 2-2 导数及其应用例 2已知函数 y ax 3 6 ax 2 b 在 1,2 上的最大值是 3,最小值是 29 ,求 a,b 的值3 2例 3已知函数 f x x 3 x 9 x a1求 f x 的单调减区间；2假设 f x 在区间 2,2 上的最大值为 20 ,求函数在该区间上的最小值三、课堂练习教材第 31 页参照学案第7 页课堂练习3四、稳固训练1以下说法中正确的选项是A 函数假设在定义域内有最值和极值,就其极大值便是最大值,微小值便是最小值B 闭区间上的连续函数肯定有最值,也肯定有极值C 假设函数在其定义域上有最值,就肯定有极值；反之,假设有极值,就肯定有最值D

21、 假设函数在定区间上有最值,就最多有一个最大值,一个最小值,但假设有极值,就可有多个极值2. 求以下函数的最大值与最小值1f x 6 x 2x 2, x 1,12f x x 348 , x x 3,533假设函数 f x 6 12 x x ,就 f x A 最大值为 22 ,最小值为 2 B 最大值为 22 ,无最小值C 最小值为 22 ,最大值为 2 D 即无最大值也无最小值4函数 fx=sin2 xx 在,上的最大值为 _；最小值为 _ 2 25函数 f x x 33 ax a 在 0 1, 内有最小值,就 a 的取值范畴是A 0 a 1 B 0 a 1 C 1 a 1 D 0 a 12x

22、6函数 f x xe , x ,0 4 的最小值是1 4 2A 0 B C 4 D 2e e e7函数 f x 2 4 x , x 2 2, 的最大值是 _,最小值是 _ x 18函数 y x 3 x 2 , 的最小值为 _ x3 29已知 f x 2 x 6 x m m 为常数,在 2,2上有最大值 3,求函数在区间 2,2上的最小值10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用函数的最大小值与导数二一课前预习1求函数yf x 在区间,a b 上的最大值与最小

23、值的步骤.2假设函数f x 6 12x3 x ,就f x A、最大值为 22 ,最小值为 2 B、最大值为 22 ,无最小值C、最小值为22 ,最大值为 2 D、即无最大值也无最小值二典例精讲例 1已知函数yx3ax2bxc在 =-2和x1时都取得极值 . 31求 a,b 的值；2假设对 x -1,2,f x 2 c 恒成立 , 求 c 的取值范畴R,其中a,bR例 2设 a 为实数,函数f x x33 xa x 2,31求f x 的极值；2当 a 在什么范畴内取值时,曲线yf x 与 x 轴总有交点例 308 天津卷 21已知函数f x x43 ax2 x2b x当 a 10时,争论函数 f

24、 x 的单调性；3假设函数 f x 仅在 x 0 处有极值,求 a 的取值范畴；假设对于任意的 a 2,2,不等式 f x 1 在 1,1上恒成立,求 b 的取值范畴例 4设 a 0 为常数,求函数 y e xe 2 在区间 0 , a 上的最大值和最小值三、课堂练习1函数fx1x33 axa在0 1,内有最小值,就a 的取值范畴是1C 1a1D 0a1A 0aB 0a22 设fxx31x22x5,1求函数fx的单调递增,递减区间；21 2,2当xxm恒成立,求实数m 的取值范畴时,f11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - -

25、- - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用四、稳固训练1已知函数fx x3ax23x,fx的图像1假设函数fx在,1上是增函数,求实数a 的取值范畴2假设x1是fx的极值点,求fx在1 ,a 上的最大值；33在 2的条件下,是否存在实数b ,使得函数gxbx的图像与函数恰有 3 个交点,假设存在,求出实数 b 的取值范畴；取不存在,试说明理由2当x 2,1时,函数fx2x1恒大于正数 a ,求函数ylga2a3的最小值x3已知 fx=2axb +ln x 在 x=1,x= x1 处取得极值 . 21求 a、b 的值；2假设对 x1 ,4时, fx c 恒成立,求 4

26、c 的取值范畴 . 4设函数fxaxlnx ,g x a2 x 2.1当a1时,求函数yxfx图像上的点到直线xy30距离的最小值；2是否存在正实数a,使fgx对一切正实数x 都成立？假设存在,求出 a 的取值范畴；假设不存在,请说明理由；5选做设函数f x lnxlnxlnx11x1求 fx的单调区间和极值；2是否存在实数a,使得关于x 的不等式f x a的解集为 0,+？假设存在,求a 的取值范畴；假设不存在,试说明理由12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数

27、及其应用1.4 生活中的优化问题举例一一课前预习1求可导函数f x 的极值的步骤 . 2求函数yf x 在区间a b 上的最大值与最小值的步骤二典例精讲 例 1海报版面尺寸的设计 学校或班级举办活动,通常需要张贴海报进行宣扬；现让你设计 一张如下图的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm 2, 上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 面积最小？1dm；如何设计海报的尺寸,才能使四周空心【摸索】 在例 1 中,“x16是函数 S x 的微小值点, 也是最小值点； ”为什么？是否仍有别的解法？【探究】 在实际问题中, 由于 f x =0 经常只有一个根, 因此假设能判定该函数的最大小值在 x

28、的变化区间内部得到,就这个根处的极大小 值就是所求函数的最大小 值 从 图象角度懂得即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑端点的 函数值 例 2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响1你是否留意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？2是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大？某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是0.8 r2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米；已知每出售1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大？瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小？【摸索】 我们已经求出利

29、润和瓶子半径之间的关系式：fr0.8r2r2,0r6图象如图,3能否依据它的图象说出其实际意义？13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案 选修 2-2 导数及其应用【探究】 当 r 0, 2 时, f r 为减函数,其实际意义为：瓶子的半径小于 2cm时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为 2 cm 时,利润最小；当 r 2,6 时, f r 为增函数,其实际意义为：瓶子的半径大于 2cm时,瓶子的半径越大,利润越大特殊的,当 r 3 时,f 3 0,即瓶子的半径为 3cm时,饮料的

30、利润与饮料瓶的成本恰好相等,r 3 时,利润才为正值当 r 2 时,f 2 0,即瓶子的半径为 2cm时,饮料的利润最小,饮料利润仍不够饮料瓶子的成本,此时利润是负值例 3磁盘的最大储备量问题电脑把数据储备在磁盘上磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区；磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域；磁道上的定长弧段可作为基本储备单元,依据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特bit为了保证磁盘的辨论率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得小于 n ；为了数据检索便利,磁盘格式化时要求全部磁道要具有相同的

31、比特数问题：现有一张半径为 R 的磁盘,它的储备区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域（1）是不是 r 越小,磁盘的储备量越大？（2）r 为多少时,磁盘具有最大储备量最外面的磁道不储备任何信息？提示：由题意知：储备量 =磁道数 每磁道的比特数小结 1. 依据以上三个例题,总结用导数求解优化问题的基本步骤1仔细分析问题中各个变量之间的关系,正确设定最值变量.y 与自变量 x ,把实际问题转化为数学问题,列出适当的函数关系式 y f x ,并确定函数的定义区间；2求 f x ,解方程 f x 0,得出全部实数根；3比较函数在各个根和端点处的函数值的大小 .依据问题的实际意义确定函数的最大值或最小

32、值 .2. 利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题 用函数表示的数学问题优化问题的答案 用导数解决数学问题14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 佳一中 2022 届高二数学学案选修 2-2 导数及其应用三、课堂练习教材第 37 页习题 1.4 A组 1 、 5、6 四、稳固训练1一质点做直线运动, 由始点起经过ts 后的距离为s=1t45t33 t2, 就速度为零的时刻43是末A. 0s 与 2s 末 B.3s末 C.0s与 3s 末 D.0s,2s,3s2.以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆 ,就它的内接矩形面积的最大值为A.10 B.15 C 3. 一面靠墙三面用栏杆,围成一个矩形场地,假如栏杆长 靠墙的边应当为 cm 40cm,要使围成的场地面积最大,4用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体外形的框架,要求长方体的长与宽之比为 2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是多少？5. 某工厂生产某种产