《2022年高二数学导数中的恒成立问题专题学案 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高二数学导数中的恒成立问题专题学案 .docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_第讲导数中的恒成立问题时间：年月日刘满江老师同学签名：一、 爱好导入二、 学前测试可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1.函数 yf x 在点x0 处的导数的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yf x 在点x0 处的导数是曲线yf x 在Px0,f x0 处的切线的斜率,相应的切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程是. 2. 几种常见函数的导数 C =. xn . sin x. cos x . ax . ex . log ax. ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3.导数的运算法就1 uv 4.
2、 复合函数求导法就.2 uv u .3 v. v0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复合函数yf g x 的导数和函数yf u , ugx 的导数间的关系为yxyuux,即 y 对 x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 .解题步骤 :分层层层求导作积复原. 5. 函数的极值(1) 极值定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极值是在极值是在x0 邻近全部的点,都有x0 邻近全部的点,都有f x f x f x0 ,就f x 0 ,就f x0 是函
3、数 f x0 是函数f x 的极值.f x 的极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 判别方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在假如在x0 邻近的左侧x0 邻近的左侧f xf x 0,右侧 0,右侧f xf x 0,那么 0,那么f x0 f x0 是极值. 是极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、 方法培育可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x一、单参数放在不等式上型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 1】设函数f xexe假设对全部x0 都有f xax ,求 a 的取值范畴可编辑资料 - -
4、- 欢迎下载精品_精品资料_解：令g xf xax ,就g xf xaexe xa ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设 a2 ,当 x0 时,g xexe xa2a0 ,故g x在 0, 上为增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x0 时, g xg 0 ,即 f xax aa24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设 a2 ,方程g x0 的正根为 x1ln,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_此时,假设 x0, x1 ,就g x0 ,故g x 在该区间为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x0, x
5、1 时,g xg00 ,即f xax ,与题设f xax 相冲突可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上,满意条件的 a 的取值范畴是 ,2 说明：上述方法是不等式放缩法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【针对练习 1】设函数解：f xex1xax2 ,当 x0 时,f x0 ,求 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 2】设函数f x2x33ax 23bx8c在 x1及 x2 时取得极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求 a 、 b 的值.2假设对于任意的 x0,3,都
6、有f xc2 成立,求 c 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 fx6 x26ax3b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数f x 在 x1 及 x2 取得极值,就有f 10 , f20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 66a3b0,解得 a3 , b4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2412a 2由 1可知,3b0f x2x39x212x8c , f x6x218x126 x1 x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0,1 时, fx0 .当 x1,2 时, f x0 .当 x2,3
7、 时, fx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1时,f x取得极大值f 158c ,又f 08c ,f 398c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就当 x0,3 时,f x 的最大值为f 398c 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于任意的 x0,3 ,有f xc2 恒成立,98cc2 ,解得 c1 或 c9 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此 c 的取值范畴为,19, 最值法总结：区间给定情形下,转化为求函数在给定区间上的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【针对练习 2】已知函数a 、 b 、 c
8、为常数f xax4 ln xbx4c x0) 在 x1 处取得极值3c ,其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1试确定 a 、 b 的值. 2争论函数 f x 的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设对任意x0 ,不等式f x2c2 恒成立,求 c 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【针对练习 3】已知函数f xax33 x221 xR,其中 a0 假设在区间 11, 上,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 恒成立,求 a 的取值范畴解：可编辑资料 -
9、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 3】已知函数f xln 2 x1x21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求函数f x的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设不等式 11 n ae 对任意的 nN都成立其中 e 是自然对数的底数 ,求 a 的最大值n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1函数f x 的定义域是 1, ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2ln1x1xx22 x1x221xln11xx22 xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
10、设 g x21xln1xx22 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 g x2ln1x2x ,令h x2ln1x2x ,就h x221x2 x 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1x0 时,h x0 , h x在 1,0 上为增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时,h x0 , hx 在 0, 上为减函数hx 在 x0 处取得极大值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 h00 ,g x0 x0) ,函数g x 在 1, 上为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是当1x0 时,g xg00
11、,当 x0 时,g xg00 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1x0 时,f x0,f x 在 1,0 上为增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0 时,f x0 ,f x在 0, 上为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数f x 的单调递增区间为 1,0 ,单调递减区间为0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2不等式 11 n ae 等价于不等式nna ln1111 ,由 1nn1 知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1n 设 G x11 , x0,1 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
12、_精品资料_ln11 nln1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111xln 2 1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_G x2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1xln1xxx 1xln1xx2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 1知,ln 1x0 ,即 1xln1xx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ G x0 , x0,1 ,于是Gx 在 0,1 上为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故函数Gx 在 0,1 上的最小值为G
13、11ln 21 a 的最大值为11 ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量别离的方法,此类方法的解题步骤是：别离变量.构造函数非变量一方 .对所构造的函数求最值一般需要求导数,有时仍需求两次导数 .写出变量的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【针对练习 4】已知解：f x x1) ln xx1 ,假设 xfxx2ax1 ,求 a 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【针对练习 5】假设对全部的x e, 都有x ln xaxa 成立,求实数a 的取
14、值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：二、单参数放在区间上型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 4】已知三次函数f xax35 x2cxd 图象上点 1,8 处的切线经过点 3,0 ,并且f x 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x3 处有极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求f x的解析式.2当 x0, m 时,f x0 恒成立,求实数 m 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1f x3ax 210xc ,f 13a10c ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是过点 1,8
15、 处的切线为 y83a10c x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又切线经过点 3,0 , 3a6c0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 在 x3处有极值,f 327 a30c0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 f 1a5cd8 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由解得：a1 , c3, d9 ,f xx35 x23 x9 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 fx3 x210 x33 x1 x3 ,由f x0 得 x11, x233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当1可编辑资料
16、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0, 时,3f x0 ,f x单调递增,f xf 09 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,3 时,3f x0 ,f x单调递减,f xf 30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m3 时,f x0 在 0, m 内不恒成立,当且仅当m0,3 时,f x0 在 0, m 内恒可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立, m 的取值范畴为 0,3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【针对练习 6】07 陕西文 已知 f x上是减函数,又13ax
17、3bx 2cx 在区间 0,1 上是增函数, 在区间 ,0 ,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求f x的解析式.2假设在区间 0, m m0 上恒有f xx 成立,求 m 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、双参数中知道其中一个参数的范畴型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例题 5】已知函数f xxab x x0 ,其中 a , bR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1争论函数f x 的单调性.可编辑资料 -
18、 - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设对于任意的1,不等式在 1上恒成立,求 b 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1 fax1a x2,22f x10,14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时,明显f x0 x0 这时f x在 ,0 , 0, 上内是增函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a0 时,令 f x0 ,解得 xa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 变化时,f x ,f x的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可
19、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,a aa,00,a aa,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x00极大值微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x在 ,a) , a, 内是增函数,在a,0, 0, 内是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2法一：化归为最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 2知,f x 在 1,141上的最大值为1f 与41f 1的较大者,对于任意的391a,221,不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x10
20、在,1 上恒成立,当且仅当f 410 ,即 b44a ,对a,2成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4f 110b9a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而得 b7,满意条件的 b 的取值范畴是 47, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二：变量别离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x10 , b10 xa ,即 b x10 xa min x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 g x10xa) , xg x1ax2ax2x20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ g x 在 1上递减,g x最
21、小值为139397可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,1g4a42,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4从而得 b74444b7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,满意条件的4的取值范畴是, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或用 ax210b) x ,即x210b x2 ,进一步别离变量得b10 x2 ,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用导数可以得到10 x2 在 x1 时取得最小值 7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而得 b7,满意条件的
22、 b 的取值范畴是 47, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法三：变更主元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1f x10 在,14上恒成立,即xabx10 ,aaxb100 , x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 x,1,a 在 ,2递增,即a 的最大值为2x2b100 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4以下同上法 说明：此题是在对于任意的2a2,2 ,xf x1 在1,1 上恒成立相当于两次恒成立,这样的题,往往可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_先保证一个恒成立,在此基础上,再保证另一个恒成立四、强化练习可编辑
23、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1、已知函数f x x23 x9）对任意x1, x21,0, 不等式| f x1 f x2 |m 恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24试求 m 的取值范畴.五、训练辅导可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双参数中的范畴均未知型：【例题 7】 10 湖南理已知函数f x2x2bxcb, cR ,对任意的 xR,恒有f xf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21证明：当 x0 时,f x xc .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设对满意题设条件的任意b , c ,不等式f cf
24、 b2M cb 恒成立,求 M 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1易知 f x2 xb 由题设,对任意的xR, 2 xbx2bxc ,即b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2b2 xcb0 恒成立, bb22 24 cb0 ,从而 c1 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 c1 ,且 c21| b |,因此 2cbc4cb0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故当 x0 时,有 xc2f x2cb xcc10 ,即当 x0 时,f x xc2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2由 1知, c|
25、b |f cf bc2b 2bcb 2c2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 c| b |时,有 Mc2b 2c2b 2bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 tb ,就1tc2b1,21而函数 gt21 1t1 的值域是 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,cbc1t1t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,因此,当 c|b |时, M 的取值集合为32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 c| b |时,由 1知, b2 , c2 此时f cf b8 或 0 , c2b 20 可编辑资料 - - - 欢迎下载精
26、品_精品资料_从而 f cf b3 c22x3b2恒成立综上所述,M 的最小值为 3 22 103bx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【针对练习 8】假设f x2 图象上斜率为 3 的两切线间的距离为a,设 gx5f x23 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设函数g x 在 x1 处有极值,求g x的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设函数g x 在区间 1,1上为增函数, 且 b 2mb4g x 在区间 1,1 上都成立, 求实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 的取值范畴解：六、家庭作业布置：家长签字： 请
27、您先检查确认孩子的作业完成后再签字附件：堂堂清落的训练坚持堂堂清,学习很爽心1. 双参数中的肯定值存在型：23 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 设 x3 是函数 f x xaxb e xR 的一个极值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求 a 与 b 的关系式用 a 表示 b ,并求f x的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 a0 , g xa 225ex 假设存在,0,4 使得| f g |1 成立,求 a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12124取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：
28、 1 fx x2 a2 xbae3 x ,由f 30 ,得32a23bae3 30 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即得 b32a ,就f x x2a2 x33ae3 x x3xa1e3 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f x0 ,得x13 或 x2a1 ,由于 x3 是极值点,x1x2 ,即 a4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a4 时, x23x1 ,就在区间 ,3 上,f x0 ,f x 为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间 3,a1 上,f x0 ,f x为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下
29、载精品_精品资料_在区间 a1, 上,f x0 ,f x为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a4 时, x23x1,就在区间 ,a1 上,f x0 ,f x为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间 a1,3 上,f x0 ,f x为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间 3, 上,f x0 ,f x 为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2由 1知,当 a0 时,a10 ,f x 在区间 0,3 上的单调递增,在区间3,4 上单调递可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_减,那么f x在区间 0,4 上的值域是 minf 0,f 4,f 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 f 02 a3e30 , f42a13e 10 , f(3)a6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么 fx 在区间 0