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1、2003年考研数学三真题分析一、填空题此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上1设其导函数在x=0处连续，那么的取值范围是.【分析】当0可开门见山按公式求导，当x=0时恳求用定义求导.【详解】事前，有显然事前，有，即其导函数在x=0处连续.2已经清楚曲线与x轴相切，那么可以通过a表现为.【分析】曲线在切点的歪率为0，即，由此可判定切点的坐标应称心的条件，再按照在切点处纵坐标为零，即可寻到与a的关系.【详解】由题设，在切点处有，有又在此点y坐标为0，因此有,故【评注】有关怀线征询题应留心歪率所称心的条件，同时切点还应称心曲线方程.3设a0，而D表现全破体，那么=.【分析】此题积
2、分地域为全破体，但只需事前，被积函数才不为零，因此理论上只需在称心此不等式的地域内积分即可.【详解】=【评注】假定被积函数只在某地域内不为零，那么二重积分的打算只需在积分地域与被积函数不为零的地域的大年夜众部分上积分即可.4设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵，其中A的逆矩阵为B，那么a=-1.【分析】这里为n阶矩阵，而为数，开门见山通过停顿打算并留心运用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有=,因此有，即，解得由于A0,故a=-1.5设随机变量X跟Y的相关系数为0.9,假定，那么Y与Z的相关系数为0.9.【分析】运用相关系数的打算公式即可.【详解】由于=E(XY)E(X)E(Y)=cov(X,Y
3、),且因此有cov(Y,Z)=【评注】留心以下运算公式：，6设总体X遵从参数为2的指数分布，为来自总体X的复杂随机样本，那么事前，依概率收敛于.【分析】此题调查大年夜数定律：一组相互独破且存在有限期望与方差的随机变量，当方差不合有界时，其算术均匀值依概率收敛于其数学期望的算术均匀值：【详解】这里称心大年夜数定律的条件，且=，因此按照大年夜数定律有依概率收敛于二、选择题此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只需一项符合题目恳求，把所选项前的字母填在题后的括号内1设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，那么函数(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃连续点x=0.(C)在x
4、=0处右极限不存在.(D)有可去连续点x=0.D【分析】由题设，可推出f(0)=0,再运用在点x=0处的导数定义停顿讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的连续点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.因此有存在，故x=0为可去连续点.【评注1】此题也可用反例打扫，比如f(x)=x,那么现在g(x)=可打扫(A),(B),(C)三项，故应选(D).【评注2】假定f(x)在处连续，那么.2设可微函数f(x,y)在点取得极小值，那么以下结论精确的选项是(A)在处的导数等于零.B在处的导数大年夜于零.(C)在处的导数小于零.(D)在处的导数不存在.A【分析】可微必有偏导数存在，再按照取极
5、值的需要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点取得极小值，按照取极值的需要条件知，即在处的导数等于零,故应选(A).【评注1】此题调查了偏导数的定义，在处的导数即；而在处的导数即【评注2】此题也可用打扫法分析，取，在(0,0)处可微且取得极小值，同时有，可打扫(B),(C),(D),故精确选项为(A).3设，那么以下命题精确的选项是(A)假定条件收敛，那么与都收敛.(B)假定绝对收敛，那么与都收敛.(C)假定条件收敛，那么与敛散性都不定.(D)假定绝对收敛，那么与敛散性都不定.B【分析】依照相对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可寻出答案.【详解】假定绝对收敛，即收敛，因此
6、也有级数收敛，再按照，及收敛级数的运算性质知，与都收敛，故应选(B).4设三阶矩阵，假定A的伴随矩阵的秩为1，那么必有(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.C【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2，由此可判定a,b应称心的条件.【详解】按照A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有，即有或a=b.但当a=b时，显然秩(A),故必有ab且a+2b=0.应选(C).【评注】nn阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有以下关系：5设均为n维向量，以下结论不精确的选项是(A)假定对于任意一组不全为零的数，都有，那么线性有关.(
7、B)假定线性相关，那么对于任意一组不全为零的数，都有(C)线性有关的充分需要条件是此向量组的秩为s.(D)线性有关的需要条件是其中任意两个向量线性有关.B【分析】此题涉及到线性相关、线性有关不雅念的理解，以及线性相关、线性有关的等价表现方法.应留心是寻寻不精确的命题.【详解】(A):假定对于任意一组不全为零的数,都有，那么必线性有关，由于假定线性相关，那么存在一组不全为零的数,使得，冲突.可见A成破.(B):假定线性相关，那么存在一组，而不是对任意一组不全为零的数，都有(B)不成破.(C)线性有关,那么此向量组的秩为s；反过来，假定向量组的秩为s，那么线性有关，因此(C)成破.(D)线性有关,
8、那么其任一部分组线性有关，因此其中任意两个向量线性有关，可见(D)也成破.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.比如，原命题：假定存在一组不全为零的数，使得成破，那么线性相关.其逆否命题为：假定对于任意一组不全为零的数，都有，那么线性有关.在平常的深造过程中，应经常留心这种原命题与其逆否命题的等价性.6将一枚硬币独破地掷两次，引进状况：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次，那么状况(A)相互独破.(B)相互独破.(C)两两独破.(D)两两独破.C【分析】按照相互独破与两两独破的定义停顿验算即可，留心应先检查两两独破，假定成破，再检验是
9、否相互独破.【详解】由于，且，可见有，.故两两独破但不相互独破；不两两独破更不相互独破，应选(C).【评注】此题严峻地说应假定硬币是均匀的，否那么结论不用定成破.三、此题总分值8分设试补偿定义f(1)使得f(x)在上连续.【分析】只需要出极限，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】由于=由于f(x)在上连续，因此定义，使f(x)在上连续.【评注】此题实质上是一求极限征询题，但以这种方法表现出来，还调查了连续的不雅念.在打算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转化为求的极限，可以适当简化.四、此题总分值8分设f(u,v)存在二阶连续偏导数，且称心，又,求【分析】此题是模范的复合函数求偏导征询题
10、：，开门见山运用复合函数求偏导公式即可，留心运用【详解】，故，因此=【评注】此题调查半抽象复合函数求二阶偏导.五、此题总分值8分打算二重积分其中积分地域D=【分析】从被积函数与积分地域可以看出，该当运用极坐标停顿打算.【详解】作极坐标变卦：，有=令，那么.记，那么=因此，【评注】此题属常规题型，清楚地应中选用极坐标停顿打算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分均为最基础的恳求，即可得出结果，综合调查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、此题总分值9分求幂级数的跟函数f(x)及其极值.【分析】先通过逐项求导后求跟，再积分即可得跟函数，留心当x=0时跟为1.求出跟函数后，再
11、按素日方法求极值.【详解】上式单方从0到x积分，得由f(0)=1,得令，求得唯一驻点x=0.由于，可见f(x)在x=0处取得极大年夜值，且极大年夜值为f(0)=1.【评注】求跟函数一般全然上先通过逐项求导、逐项积分等转化为可开门见山求跟的几多何级数状况，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终判定跟函数.七、此题总分值9分设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在内称心以下条件：，且f(0)=0,(1) 求F(x)所称心的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.【分析】F(x)所称心的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表现，导出
12、呼应的微分方程，然后再求解呼应的微分方程.【详解】(1)由=(2-2F(x),可见F(x)所称心的一阶微分方程为(2)=将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.因此【评注】此题不开门见山通知微分方程，恳求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的方法，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解那么并不复杂，仍然是全然恳求的范围.八、此题总分值8分设函数f(x)在0，3上连续，在0，3内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在，使【分析】按照罗尔定理，只需再证明存在一点c，使得，然后在c,3上运用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于，征询题转
13、化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以抵达目的.【详解】由于f(x)在0，3上连续，因此f(x)在0，2上连续，且在0，2上必有最大年夜值M跟最小值m，因此，.故由介值定理知，至少存在一点，使由于f(c)=1=f(3),且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，因此由罗尔定理知，必存在，使【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理全然上常考知识点，且一般是两两结合起来考.此题是模范的结合介值定理与微分中值定理的状况.九、此题总分值13分已经清楚齐次线性方程组其中试讨论跟b称心何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】
14、方程的个数与未知量的个数一样，征询题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的打算存在清楚的特色：所有列对应元素相加后相当.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的-1倍加到其余各行，即可打算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式=(1) 事前且时，秩(A)=n，方程组仅有零解.(2) 当b=0时，原方程组的同解方程组为由可知，不全为零.不妨设，得原方程组的一个基础解系为，事前，有，原方程组的系数矩阵可化为将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以倍将第n行倍到第2行的倍加到第1行，再将第1行移到最后一行由此得原方程组的同解方程组为，.原方程组的一个基础解系为【评
15、注】此题的难点在时的讨论，理想上也可如斯分析：现在系数矩阵的秩为n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、此题总分值13分设二次型，中二次型的矩阵A的特色值之跟为1，特色值之积为-12.(1) 求a,b的值；(2) 运用正交变卦将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变卦跟对应的正交矩阵.【分析】特色值之跟为A的主对角线上元素之跟，特色值之积为A的行列式，由此可求出a,b的值；进一步求出A的特色值跟特色向量，并将一样特色值的特色向量正交化假定有需要，然后将特色向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】1二次型f的矩阵为设A的特色值为由题
16、设，有，解得a=1,b=-2.(2)由矩阵A的特色多项式，得A的特色值对于解齐次线性方程组，得其基础解系，对于，解齐次线性方程组，得基础解系由于已是正交向量组，为了掉掉落标准正交向量组，只需将单位化，由此得，令矩阵，那么Q为正交矩阵.在正交变卦X=QY下，有，且二次型的标准形为【评注】此题求a,b，也可先打算特色多项式，再运用根与系数的关系判定：二次型f的矩阵A对应特色多项式为设A的特色值为，那么由题设得，解得a=1,b=2.十一、此题总分值13分设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】先求出分布函数F(x)的具体方法，从而可判定Y=F(X),
17、然后按定义求Y的分布函数即可.留心应先判定Y=F(X)的值域范围，再对y分段讨论.【详解】易见，当x8时，F(x)=1.对于，有设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，事前，G(y)=0；事前，G(y)=1.对于，有=因此，Y=F(X)的分布函数为【评注】理想上，此题X为任意连续型随机变量均可，现在Y=F(X)仍遵从均匀分布:当y0时，G(y)=0;事前，G(y)=1;当0时，=十二、此题总分值13分设随机变量X与Y独破，其中X的概率分布为，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求呼应的概率.留心X只需两个可以的取值，求概率时可用全概率公式停顿打算.【详解】设F(y)是Y的分布函数，那么由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为=.由于X跟Y独破，可见G(u)=由此,得U的概率密度=【评注】此题属新题型，求两个随机变量跟的分布，其中一个是连续型一个是团聚型，恳求用全概率公式停顿打算，类似征询题平常从未出现过，存在肯定的难度跟综合性.