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1、求轨迹方程常用方法一、知识提要1 轨迹方程的实质：轨迹方程的概念是轨迹方程求法的基础，一般地，在直角坐标中，如果轨迹C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：（1）轨迹上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在轨迹C上则这个方程叫做轨迹的方程，这条轨迹叫做方程的轨迹求轨迹方程就是求轨迹上的动点的坐标所满足的二元关系式2由轨迹求方程是解析几何的一个基本课题，它往往需要涉及代数、三角、平面几何、立体几何乃至物理学等诸方面的知识求轨迹方程的过程，既有把形转化为数的过程，又有探索轨迹的推理论证过程虽然教材上为了突破这一难点，对求轨迹方程的过程给出了一般性的步骤，但在实际操作中
2、还是应因题而异，或由静及动，或强行突破，或巧设参数，真可谓眼花缭乱，其乐无穷3求轨迹方程的方法一般可分直接法和间接法两大类直接法一般包括：直译法、定义法、待定系数法、几何法等；间接法一般包括：参数法、坐标转移法（相关点法）、交轨法、设而不求法等4求轨迹的各种方法不是孤立的，同一个问题往往有几种不同的解法，所使用的方法又可以相辅相成，其中最主要的是如何把问题转化为我们所熟知的轨迹方程或突破“五步法”中的第二步5值得强调的是，由于求轨迹方程省略了“证明”这一步骤，所以在求出“轨迹方程”时必须注意轨迹方程的完备性和纯粹性二、常用方法解析1直译法直译法就是直接依据教材里总结的求曲线方程的五个步骤（建系
3、设点、写集合（写关系）、代入坐标列方程、化简方程、证明作答）而求出轨迹方程的方法，故又俗称“五步法”用此法的题型，要求其动点所适合的条件p（关系式），容易用坐标形式表达，其中证明这一步可省略，但要注意查漏除杂例1（2005年江苏）如图，圆与圆的半径都是1，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N为切点），使得试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程练习：1（2006年江苏）已知两点为坐标平面内的动点，满足，求动点的轨迹方程2（2006年郑州）已知两点在y轴上的射影为H，且使与分别是公比为2的等比数列的第三、四项求动点P的轨迹方程3（2006年广州）设过点能作抛物线的两条切线MA、MB，切点为
4、A、B（1）求；（2）若，求点M的轨迹方程；（3）若为锐角，求点M所在的区域（提示：设切点为，写出切线方程，点M在切线上，得到两切点的参数t所满足的关系式）2定义法定义法就是把求轨迹方程中轨迹所满足的条件转化为符合某特殊曲线定义的条件，从而依该曲线的定义得出轨迹方程的方法例2根据下列条件求动圆圆心M的轨迹方程（1）动圆M与圆外切，与内切；（2）动圆M与圆与都外切；（3）动圆M与圆外切，与直线相切练习：4（2005年山东）已知动圆过定点（，且与直线相切（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）设A、B是曲线C上异于原点O的两个不同的点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值时，证明直线恒过定
5、点，并求出该定点的坐标5（2006年南京）在中，且BC在x轴上，BC的中点为坐标原点，如果，求顶点的轨迹6（2005年江苏）已知，O为坐标原点，点M满足（1）求点M的轨迹C的方程；（2）是否存在直线过点，与轨迹C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由3待定系数法所求方程是直线、圆、椭圆、又曲线、抛物线等已知曲线时，可使用待定系数法应用此法应先根据已知条件判断动点轨迹的类型，然后设出所求待定系数的曲线方程，最后根据其它条件确定方程的系数，从而求得轨迹方程例3如图，在面积为18的中，AB=5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点，已知（1）建立适当的坐标
6、系，求双曲线E的方程；（2）是否存在过点的直线，使与双曲线E交于不同的两点M、N，且，如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由例3设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离为的点坐标练习7已知，过点A作直线交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与圆相切，求椭圆的方程8已知的面积为，且，若以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求双曲线的方程（提示：设）9已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，点是抛物线内的一定点，点P为抛物线上的一动点，且的最小值为（1）求抛物线的方程；（
7、2）若点O为坐标原点，问是否存在点M，使过M的动直线交抛物线于B，C不同两点，且，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由4坐标转移法（代入法、相关点法）若动点随已知曲线C上的另一动点而运动，则可用去表示出即，然后将点代入曲线C的方程中，即得点P的轨迹方程这种方法叫做坐标转移法例4已知两点和圆的动点C，求的重心G的轨迹方程练习：10（2001年上海）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程11（2006年武汉）P是椭圆上的一动点，是它的两焦点，O为坐标原点，若，求动点Q的轨迹方程12已知抛物线C：，F为抛物线的焦点，过点作直线交抛物线C于P、Q两点，且，求动
8、点R的轨迹方程5参数法当动点的坐标之间的关系不易发现，而通过另一变数t间接地表示之间的关系较为方便时，我们便设出这一变数t以寻求关于的轨迹方程，这种通过第三个变量间接地表示动点两坐标之间的关系，进而得到动点轨迹方程的方法就是参数法第三变量通常称为参变数，简称为参数在具体问题中，往往以直线的斜率k，倾斜角，时间t等作为参数例5（2006年陕西）三定点；三动点满足，（1）求动直线DE斜率的变化范围；（2）求动点M的轨迹方程练习：13（2006年全国）已知椭圆的焦点为，离心率为，设椭圆在第一象限内的部分为曲线C，动点P在C上，C在P处的切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量求（1）动点M的轨迹方
9、程；（2）的最小值14（2005年江西）M是抛物线上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB（1）若M为定点，证明直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且，求的重心的轨迹方程15（2005年广东）抛物线上异于坐标原点O的两不同点A、B满足（1）求重心的轨迹方程；（2）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由6几何法几何法就是依据动点的几何性质寻求动点轨迹的方法，即根据动点满足的条件，利用平面几何的定理，或找出直译法中第二步所要写出的适合条件P（M）关系式，或直接判断出动点的轨迹类型是某种曲线，从而求出轨迹方程的方法例6已知M是双曲线上的一动点，F1，
10、F2是双曲线的两焦点，过其中一焦点作的平分线的垂线，垂足为P，求点P的轨迹方程练习：16已知点和圆，在圆上另取点B、C，使，求的垂心M的轨迹方程17（2006年黄冈）已知圆，定点，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）若过定点的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在F、H之间），且满足，求的取值范围7交轨法当动点是两条动曲线的交点时，可使用交轨法求出动点的轨迹方程，即写出含参数的已知两动曲线的方程或选定刻画两动曲线交点的同一参数，分别求出两动曲线的参数方程，然后消去参数得到所求动点的轨迹方程的方法（不需解交点）例7（85年全国）已知两
11、点以及一条直线，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程练习：18作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点，是椭圆的长轴的端点，求直线与直线交点M的轨迹方程19（2000年春季全国）OA、OB是抛物线过顶点的两条动弦，M在线段AB上，且满足（1）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；（2）求点M的轨迹方程8设而不求法（两点法）设而不求法可以看作是多参数法的一种特殊形式，它尤其在求与斜率、弦中点等有关的轨迹方程中经常采用例8已知长为的线段的两端点A、B均在抛物线上移动（1）求线段AB的中点M的轨迹方程；（2）求中点M到y轴的最小距离练习：20过点作圆的弦AB，求弦AB的中点M的轨迹方程21已知长为线段的两端点在椭圆上移动，求线段AB的中点P的轨迹方程22求双曲线以为斜率的平行弦的中点M的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线