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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：假如动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义,就可先设出轨迹方程,再依据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程； 2. 直译法：假如动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判定,但点P 满意的等量关系易于建立,就可以先表示出点 P 所满意的几何上的等量关系,再用点 P的坐标（ x, y）表示该等量关系式,即可得到轨迹方程； 3. 参数法：假如采纳直译法求轨迹方程难以奏效,就可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t ,以此量作
2、为参变数,分别建立 P 点坐标 x,y 与该参数 t 的函数关系 xf （t ）,yg（t ）,进而通过消参化为轨迹的一般方程 F（x, y） 0； 4. 代入法（相关点法）：假如动点 P 的运动是由另外某一点 P 的运动引发的,而该点的运动规律已知,（该点坐标满意某已知曲线方程）,就可以设出P（x, y）,用（ x,y）表示出相关点P 的坐标,然后把P 的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P 的轨迹方程；5：交轨法：在求动点轨迹时,有时会显现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题通常 通过解方程组得出交点（含参数）的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程（如能直接消 去两方程的参数,也可直接消去参
3、数得到轨迹方程）,该法常常与参数法并用；一：用定义法求轨迹方程例 1：已知ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为（-4 ,0）,（ 4,0）, C 为动点,且满意sinBsinA5sinC,求点 C的轨迹；M1,圆的圆心为M2,一动圆4【变式】： 已知圆的圆心为与这两个圆外切,求动圆圆心 P的轨迹方程；二：用直译法求轨迹方程 此类问题重在查找数量关系；例 2：一条线段两个端点A 和 B 分别在x 轴和 y 轴上滑动,且BM=a ,AM=b ,求 AB 中点 M 的轨迹方程？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式】
4、:动点P（ x,y）到两定点A（ 3,0）和B（3, 0）的距离的比等于2（即|PA|2）,求动点P 的轨迹方程？|PB|三：用参数法求轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最终消参,化为一般方程；留意参数 的取值范畴；例 3 过点 P（2,4）作两条相互垂直的直线 点,求线段 AB的中点 M的轨迹方程；四：用代入法求轨迹方程l 1,l 2,如 l 1 交 x 轴于 A 点, l 2 交 y 轴于 B例 4.点 B 是椭圆x2y21 上的动点,A 2 a, 为定点,求线段 AB 的中点 M的a2b2轨迹方程；【变式】 如下列图,已知P4,0是圆 x 2+y2=36 内的一点,
5、 A、B 是圆上两动点,且满意APB=90 ,求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程yBQRA名师归纳总结 oPx第 2 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 五、用交轨法求轨迹方程例 5. 已知椭圆x2y21（ab o）的两个顶点为A 1a ,0,A a 2 ,0,与 y 轴平行的a22 b直线交椭圆于P1、P2,求 A1P1与 A2P2 交点 M的轨迹方程 .六、用点差法求轨迹方程名师归纳总结 例 6. 已知椭圆x2y21,第 3 页,共 12 页2（1）求过点P1,12 2且被 P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2 的平行弦的
6、中点轨迹方程；（3）过A2,引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习1. 在ABC 中, B,C 坐标分别为（ -3 , 0）,（ 3,0）,且三角形周长为16,就点 A 的轨迹方程是 _. 2.两条直线 x my 1 0 与 mx y 1 0 的交点的轨迹方程是 _. 3.已知圆的方程为 x-1 2+y 2=1,过原点 O 作圆的弦 0A,就弦的中点 M 的轨迹方程是 _ 4.当参数 m 随便变化时,就抛物线 y x 2 2 m 1 x m 2 1 的顶点的轨迹方程为_；5:点 M 到点F（4,0）的距离比它到
7、直线x50的距离小1,就点M 的轨迹方程为_；6:求与两定点 O O 1,0、A3,0距离的比为1：2 的点的轨迹方程为_ C7.抛物线y24 x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点,动点在抛物线上,求ABC 重心 P 的轨迹方程；8. 已知动点 P 到定点 F（ 1,0）和直线 x=3 的距离之和等于4,求点 P 的轨迹方程；9. 过原点作直线l 和抛物线yx24x6交于 A、B 两点,求线段AB的中点 M的轨迹方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高二（上）求轨迹方程的常用方法答案例
8、1：已知 ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为（-4 ,0）,（ 4,0）, C 为动点,且满意5sin B sin A sin C , 求点 C的轨迹；4【解读】由 sin B sin A 5sin C , 可知 b a 5 c 10,即 | AC | | BC | 10,满意椭4 42 2圆的定义；令椭圆方程为 x 2 y 2 1,就 a ,5 c 4 b 3,就轨迹方程为a b2 2x y1（x 5 ,图形为椭圆（不含左,右顶点）；25 9【点评】 熟识一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键；（1）圆：到定点的距离等于定长的圆心为M2,一（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两
9、定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的肯定值为常数（小于两定点的距离）（4）到定点与定直线距离相等；【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1,圆动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P 的轨迹方程；解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：,；动圆圆心P 的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2, b 2=12；故所求轨迹方程为2: 一动圆与圆O：2 xy21外切,而与圆C：2 xy26x80内切,那么动圆的圆心 M的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】 令动圆半径为R,就有|MO|R1,就 |MO|-|MC|=2 ,满意双曲线定义；应选1|MC|RD；二：
10、用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在查找数量关系；名师归纳总结 例 2：一条线段AB 的长等于2a,两个端点A 和 B 分别在 x 轴第 5 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 和 y 轴上滑动,求 AB 中点 P 的轨迹方程？解 设 M 点 的 坐 标 为 x , y 由 平 几 的 中 线 定 理 ： 在 直 角 三 角 形 AOB 中 ,OM= 1 AB 1 2 a a ,2 22 2 2 2 2x y a , x y aM 点的轨迹是以 O 为圆心, a 为半径的圆周 . 【点评】 此题中找到了 OM= 1 AB 这一等量关系是此题
11、胜利的关键所在；一般直译法有下2列几种情形：1）代入题设中的已知等量关系：如动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,就采纳直接将数量关系代数化的方法求其轨迹；2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再依据题设条件列出等式,得出其轨迹方程；3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即得其轨迹方程；4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 2（
12、即【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（ 3,0）和B（ 3,0）的距离的比等于|PA|2）,求动点P 的轨迹方程？|PB|【解答】 |PA|=x3 2y2|,PB|x3 2y2代入|PA|2得x32y22x32y24 x3 24y2|PB|x32y2化简得（ x5）2+y 2=16,轨迹是以（ 5,0）为圆心, 4 为半径的圆 . 三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最终消参,化为一般方程；留意参数的取值范畴；例 3 过点 P（2,4）作两条相互垂直的直线 点,求线段 AB的中点 M的轨迹方程；【解读】l1,l2,如 l1 交 x 轴于 A 点, l2
13、 交 y 轴于 B分析 1：从运动的角度观看发觉,点 M 的运动是由直线 l1 引发的,可设出 l 1 的斜率 k 作为参数,建立动点 M坐标（ x,y）满足的参数方程；解法 1：设 M（x,y）,设直线l 1 的方程为y 4k（x2）,（ k ）名师归纳总结 由l1l2,就直线l2 的方程为y41x2第 6 页,共 12 页k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - l1 与x 轴交点A的坐标为24,kl2 与y 轴交点B的坐标为0,2,kM为 AB的中点,x22412 k 为参数kky42221kk消去 k,得 x2y50；另外,当 k0 时, AB中点为
14、 M（1,2）,满意上述轨迹方程；当 k 不存在时, AB中点为 M（1,2）,也满意上述轨迹方程；综上所述, M的轨迹方程为 x2y50；分析 2：解法 1 中在利用 k1k2 1 时,需留意k1、k2是否存在,故而分情形争论,能否避开争论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性：1| MP | | AB |2解法 2： 设 M（x, y）,连结 MP,就 A（2x,0）, B（0,2y）,l 1l 2, PAB为直角三角形由直角三角形的性质2,MP|21|AB|y22x2 2y41222x化简,得 x2y50,此即 M的轨迹方程；分析 3： 设 M（x,y）,由已知 l1l2,联想到两直线
15、垂直的充要条件：k1k2 1,即可列出轨迹方程,关键是如何用 M点坐标表示 A、B 两点坐标；事实上,由 M为 AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系；解法 3：设 M（x,y）, M为 AB中点, A（2x,0）, B（0,2y）；又 l 1,l 2 过点 P（2,4）,且 l 1l 2 PAPB,从而 kPAk PB 1,x2y50而kPA40,kPB42y22x2024x42y1,化简,得22留意到 l 1x 轴时, l 2y 轴,此时 A（2, 0）, B（0,4）中点 M（ 1,2）,经检验,它也满意方程 x2y50 综上可知,点 M的轨迹方程为 x2y 50；【点评】名师归纳总结
16、1） 解法 1 用了参数法,消参时应留意取值范畴；解法2, 3 为直译法,运用了k PAk PB第 7 页,共 12 页1,|MP|1|AB|这些等量关系；2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等；也可以没有详细的意义,选定参变量仍要特殊留意它的取值范畴对动点坐标取值范畴的影响【变式 3】过圆 O：x2 +y2= 4 外一点 A （4,0）,作圆的割线,求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹；解法一：“ 几何法”设点 M 的坐
17、标为（ x,y）,由于点 M 是弦 BC 的中点,所以 OM BC, 所以 |OM | | | | | , 即x 2 +y 2+x 2 +y 2 =16 化简得：（ x2）2+ y 2 =4. 由方程 与方程 x 2 +y 2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1,所以点 M 的轨迹方程为（ x2）2+ y 2 =4 （0x1）；所以 M 的轨迹是以（ 2,0）为圆心,2 为半径的圆在圆 O 内的部分；解法二：“ 参数法”设点 M 的坐标为（ x,y）, B（ x1,y1）,C（x2,y2）直线 AB 的方程为 y=kx 4, 由直线与圆的方程得（1+k2）x28k2x +16k 24=0.*,
18、2由点 M 为 BC 的中点,所以 x= x 1 x 2 4 k2 .1 , 又 OM BC ,所以2 1 kyk= .2由方程（ 1）（ 2）x消去 k 得（ x2）2+ y 2 =4,又由方程（ *）的 0 得 k 2 1,所以 x1. 3所以点 M 的轨迹方程为（x 2）2+ y 2 =4 （0x1）所以 M 的轨迹是以（2, 0）为圆心,2 为半径的圆在圆 O 内的部分；四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 4.点 B 是椭圆x2y21 上的动点,A 2 a, 为定点,求线段 AB 的中点 M的a2b2轨迹方程；分析： 题中涉及了三个点 A、B、M,其中 A 为定点,而 B、M为动点,且
19、点 B 的运动是有规律的,明显 M的运动是由 B 的运动而引发的,可见 M、 B为相关点,故采纳相关点法求动点M的轨迹方程；【解读】 设动点 M的坐标为（ x,y）,而设 B 点坐标为（ x0,y0）就由 M为线段 AB中点,可得x022 ayxx02x2ay020y02y即点 B 坐标可表为（ 2x2a,2y）名师归纳总结 又点Bx 0,y0在椭圆x2y21 上第 8 页,共 12 页a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 02y021从而有2xa2a22y 21,a2b22b2整理,得动点M的轨迹方程为4x2a24y21ab2【点评】 代入法
20、的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式 4】如下列图,已知 P4, 0是圆 x 2+y 2=36 内的一点, A、B 是圆上两动点,且满意 APB=90 ,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程yB Q【解读】 ：设 AB 的中点为 R,坐标为 x,y,就在 Rt ABP中, |AR|=|PR| 又由于 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理 在 RtROAR 中, |AR| 2=|AO| 2|OR| 2=36 x 2+y 2Ao P x 又|AR|=|PR|= x 4 2y 2所以有 x42+y 2=36 x 2+y 2,即 x 2+y 24x10=0 因此点 R 在一个圆上,而当
21、 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动设 Qx,y,Rx1,y1,由于 R 是 PQ 的中点,所以x1=x24,y 1y20, 代入方程 x2+y24x10=0,得x242y24x2410=0 2整理得 x2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程五、用交轨法求轨迹方程x2y21a2b2六、用点差法求轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法名师归纳总结 解： 设弦两端点分别为Mx 1,y 1,Nx 2,y 2,线段 MN 的中点Rx,y,就第 9 页,共 12 页2 x 12 2 y 12,得x 1x 2x 1x 22y 1y 2y 1y 20由 题 意 知x
22、 1x 2, 就 上 式 两 端 同 除 以x 1x2, 有2 x 22 2 y 22,y2y 1y20,x 1x 22 x,x 1x22y 1x 1x2y 1y 22 y,x2yy 1y20将代入得（ 1 ） 将x1,x 1x2y1代 入 , 得y 1y 21, 故 所 求 直 线 方 程 为 ：22x 1x22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x4y30 将代入椭圆方程x22y22得6y26y10,0364610符合题意,442x4y30为所求4y（椭圆内部分）（2）将y 1y22代入得所求轨迹方程为：xx 1x2x22y22 x2y0（椭圆内部
23、（3）将y 1y2y1代入得所求轨迹方程为：x 1x2x2分）练习 1【正确解答】ABC 为三角形,故 A, B, C 不能三点共线；轨迹方程里应除去点2 2x y 5 , 0 . 5 , 0 ,即轨迹方程为 1 x 5 25 162.两条直线 x my 1 0 与 mx y 1 0 的交点的轨迹方程是 . 【解答】 :直接消去参数 m 即得 交轨法 : x 2y 2x y 03:已知圆的方程为 x-1 2+y 2=1,过原点 O 作圆的弦 0A,就弦的中点 M 的轨迹方程是 . 【 解 答 】 : 令 M 点 的 坐 标 为 x , y , 就 A 的 坐 标 为 2 x , y , 代 入
24、 圆 的 方 程 里 面得: x 1 2y 2 1 x 0 2 42 24:当参数 m 随便变化时,就抛物线 y x 2 m 1 x m 1的顶点的轨迹方程为【分析】： 把所求轨迹上的动点坐标 x,y 分别用已有的参数 m 来表示,然后消去参数m , 便 可 得 到 动 点 的 轨 迹 方 程 ； 【 解 答 】 ： 抛 物 线 方 程 可 化 为名师归纳总结 xm12ym5第 10 页,共 12 页24它的顶点坐标为xm1,ym524消去参数m 得： yx34故所求动点的轨迹方程为4x4y30；5:点 M 到点 F（4,0）的距离比它到直线x50的距离小 1,就点 M 的轨迹方程为【分析】：
25、 点 M 到点 F（4,0）的距离比它到直线x50的距离小1,意味着点M到点 F（4,0）的距离与它到直线x40的距离相等；由抛物线标准方程可写出点M 的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轨迹方程；【解答】： 依题意,点 M 到点 F（4, 0）的距离与它到直线 x 4的距离相等；就点M 的 轨 迹 是 以 F （ 4 , 0 ） 为 焦 点 、 x 4 为 准 线 的 抛 物 线 ； 故 所 求 轨 迹 方 程 为y 2 16 x；6:求与两定点 O O 1,0、A 3,0 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为 _ 【分析】 :设动点为 P,由题意
26、PO 1,就依照点 P 在运动中所遵循的条件,可列出等PA 2量关系式；【解答】： 设 P x,y 是所求轨迹上一点,依题意得 PO 1PA 22 2由两点间距离公式得：x y 1x 3 2y 2 2化简得： x 2y 22 x 3 027 抛物线 y 4 x 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点,动点 C在抛物线上,求ABC 重心 P 的轨迹方程；2【分析】： 抛物线 y 4 x 的焦点为 F 1,；设 ABC 重心 P 的坐标为 x,y ,点 C的坐标为 x 1,y 1 ；其中 1x 1【解答】： 因点 P x,y 是重心,就由分点坐标公式得：x x 1 2,y y
27、 13 3即 x 1 3 x 2,y 1 3 y由点 C x 1,y 1 在抛物线 y 2 4 x 上,得：y 1 24x 1将 x 1 3 x 2,y 1 3 y 代入并化简,得：y 2 4x 2（x 1 3 39. 已知动点 P 到定点 F（ 1,0）和直线 x=3 的距离之和等于4,求点 P 的轨迹方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解答】 ：设点 P 的坐标为（ x,y）,就由题意可得；（1）当 x3 时,方程变为x1 2y23x4,x1 2y27x1,化简得y24x 0x3 ；x12x4,1 2x,化简得y23xy2（2）当 x3 时,方程变为；故所求的点P 的轨迹方程是yx24 x6或AB的中点 M的轨迹10. 过原点作直线l 和抛物线交于 A、B 两点,求线段方程；【解答】 ：由题意分析知直线 l 的斜率肯定存在,设直线 l 的方程 y=kx；把它代入抛物线方程,得；由于直线和抛物线相交,所以0,解得k , 4 2 6 4 2 6, ；设 A（）, B（）, M（x,y）,由韦达定理得；由 消去 k 得；名师归纳总结 又y,所以x4x,66,；第 12 页,共 12 页点 M的轨迹方程为22 xx ,66,- - - - - - -