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1、求轨迹方程的常用方法一求轨迹方程的一般方法：1.待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线 如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2.直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标x，y表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标 x，y 与该参数 t
2、的函数关系 xft，ygt，进而通过消参化为轨迹的普通方程Fx，y0。4.代入法相关点法：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运动规律已知，该点坐标满足某已知曲线方程，则可以设出 Px，y，用x，y表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。5.几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质 如线段的垂直平分线，角平分线的性质等，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程 假设能直接消去两方程
3、的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程，该法经常与参数法并用。二求轨迹方程的注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。x f(t)2.轨迹方程既可用普通方程F(x，y)0表示，又可用参数方程(t为参数)y g(t)来表示，假设要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上，又要检验是否丢解。即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的
4、特殊情形或极端情形。4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身：x2y21.P 是椭圆=1 上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM 中点的轨迹95中点的轨迹方程为：【答案】【答案】：Bx2y242y2x242x2y21B、y1C、1D、A、x 9595920365x242y1,选B【解答】【解答】:令中点坐标为(x,y),则点 P 的坐标为(x,2y)代入椭圆方程得952.圆心在抛物线y 2x(y 0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是12Ax y x 2y 22221 042Bx y x 2y 1 0222Cx y x 2y 1 0Dx y x 2y
5、1：D 0【答案】【答案】4a2a21,a),则由题意可得a,解得a 1,则圆的方程为【解答】【解答】:令圆心坐标为(222x2 y2 x 2y 1 0,选 D422223 3:一动圆与圆 O：x y1外切，而与圆C：x y 6x 8 0内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【答案】【答案】：D【解答】【解答】令动圆半径为 R，则有|MO|R 1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选 D。|MC|R 14:点 P(x0，y0)在圆 x2+y2=1 上运动，则点M2x0，y0的轨迹是x 轴上的椭圆B.焦点在 y 轴上的椭圆C.焦点在 y 轴上的
6、双曲线D.焦点在 X 轴上的双曲线xx 2x0 x2x0 y21,选 A【解】【解】:令 M 的坐标为(x,y),则2代入圆的方程中得4y y0y y0名师点题一：用定义法求曲线轨迹一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例 1：已知ABC的顶点 A，B 的坐标分别为-4，0，4，0，C 为动点，且满足5sin B sin A si
7、nC,求点 C 的轨迹。455【解析】由【解析】由sin B sin A sinC,可知b a c 10，即|AC|BC|10，满足椭44圆的定义。令椭圆方程为x2a2y2b21，则a 5,c 4 b 3，则轨迹方程为x2y21x 5)，图形为椭圆不含左，右顶点。259【点评】【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1）圆：到定点的距离等于定长2（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数大于两定点的距离（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数小于两定点的距离（4）到定点与定直线距离相等。【变式【变式 1 1】:1:已知圆的圆心为 M1，圆一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P
8、的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得：。，的圆心为 M2，。动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为22222:一动圆与圆 O：x y1外切，而与圆 C：x y 6x 8 0内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】【解答】令动圆半径为 R，则有|MO|R 1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选 D。|MC|R 1二：用直译法求曲线轨迹方程二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例 2：一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别
9、在 x 轴和 y轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？解 设 M 点的坐标为(x,y)由平几的中线定理：在直角三角形 AOB 中，OM=11AB 2a a,22x2y2 a,x2 y2a2M 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】【点评】此题中找到了OM=1AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有2以下几种情况：1代入题设中的已知等量关系：假设动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3运用有关公式：有时要运用符合题设
10、的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其3数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式【变式 2 2】:动点 P x,y 到两定点 A 3，0 和 B 3，0 的距离的比等于 2 即求动点 P 的轨迹方程？【解答】【解答】|PA|=(x 3)2 y2,|PB|PA|2，|PB|(x 3)2 y2(x 3)2 y2|PA|2 (x 3)2 y2 4(x 3)2 4y2 2得代入|PB|(x
11、3)2 y2化简得x52+y2=16，轨迹是以5，0为圆心，4 为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例例 3 3过点 P2，4作两条互相垂直的直线 l1，l2，假设 l1交 x 轴于 A 点，l2交 y 轴于 B点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。【解析】【解析】分析分析 1 1：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1引发的，可设出 l1的斜率 k作为参数，建立动点 M 坐标x，y满足的参数方程。解法解法 1 1：设 Mx，y，设直线 l1的方程为 y4kx2
12、，k由l1 l2，则直线l2的方程为y 4 1(x 2)k4，0)，k2l2与y轴交点B的坐标为(0，4)，kl1与x轴交点A的坐标为(2M 为 AB 的中点，42k12x 2k(k为参数)24k 21y 2k消去 k，得 x2y50。另外，当 k0 时，AB 中点为 M1，2，满足上述轨迹方程；当 k 不存在时，AB 中点为 M1，2，也满足上述轨迹方程。4综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。分析分析 2 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB 为直角三角形的几何特性：|MP|1|AB|2解法解法 2 2：设 M
13、x，y，连结 MP，则 A2x，0，B0，2y，l1l2，PAB 为直角三角形由直角三角形的性质，|MP|(x 2)(y 4)221|AB|21(2x)2(2y)22化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。分析分析 3 3：设 Mx，y，由已知 l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法解法 3 3：设 Mx，y，M 为 AB 中点，A2x，0，B0，2y。又 l1，l2过点 P2，4，且 l1l2PAPB，从而 kPAkPB1，而kPA40，k2 2x
14、PB4 2y2044 2y 1，化简，得x 2y 5 02 2x2注意到 l1x 轴时，l2y 轴，此时 A2，0，B0，4中点 M1，2，经检验，它也满足方程x2y50综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。【点评】【点评】1）解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了kPAkPB11，|MP|AB|这些等量关系。2用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式【变式 3 3】过圆 O：x
15、2+y2=4 外一点 A4，0，作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹。解法一：解法一：“几何法”“几何法”设点 M 的坐标为x,y,因为点 M 是弦 BC 的中点，所以 OMBC,所以|OM|，即(x2+y2)+(x)2+y2=16化简得：x22+y2=4.由方程 与方程 x2+y2=4 得两圆的交点的横坐标为1，所以点 M 的轨迹方程为x22+y2=4 0 x1。所以 M 的轨迹是以2，0为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。解法二：解法二：“参数法”“参数法”设点 M 的坐标为x,y，Bx1,y1,Cx2,y2直线 AB 的方程为 y=k(x4),5由直线与圆的方程得
16、1+k2x28k2x+16k24=0.(*),x1 x24k2由点 M 为 BC 的中点，所以x=.(1),又 OMBC，所以21 k2k=y.(2)由方程1 2x消去 k 得x22+y2=4,又由方程*的0 得 k21,所以 x1.3所以点 M 的轨迹方程为x22+y2=4 0 x1所以 M 的轨迹是以2，0为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程四：用代入法等其它方法求轨迹方程x2y20)为定点，求线段 AB的中点 M的例例 4.4.点B是椭圆221上的动点，A(2a，ab轨迹方程。分析：分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为
17、动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见M、B 为相关点，故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。【解析】【解析】设动点 M 的坐标为x，y，而设 B 点坐标为x0，y0则由 M 为线段 AB 中点，可得x0 2a xx0 2x 2a2y0 2yy00 y2即点 B 坐标可表为2x2a，2yx0y0 x2y2(2x2a)2(2y)2又点B(x0，y0)在椭圆221上221从而有21，aba2bab224(x a)24y221整理，得动点M的轨迹方程为2ab【点评】【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式【变式 4 4】如下图，已知P
18、(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程yBQRAoPx6【解析】【解析】：设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 RtABP 中，|AR|=|PR|又因为 R 是弦AB 的中点，依垂径定理在 RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=(x 4)2 y2所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的
19、中点，所以 x1=代入方程 x2+y24x10=0,得x 4y 0,y122x 42yx 410=0)()24222整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程【备选题】【备选题】(已知双曲线x y 2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于22A，B两点I假设动点M满足FM，求点M的轨迹方程；F1AF1BFO11其中O为坐标原点II在x轴上是否存在定点C，使CACB为常数？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)解：由条件知F1(2，解法一：I设M(x，y)，则则FM(x2，y)，F1A(x12，y1)，1
20、F1B(x22，y2)，FO(2，0)，由FM F1AF1BFO111得x2 x1 x26，x1 x2 x4，即y y1 y2y1 y2 y于是AB的中点坐标为 x4 y，22yy y2yy2当AB不与x轴垂直时，1，即y1 y2(x1 x2)x4x8x1 x22x822222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1 y1 2，x2 y2 2，两式相减得(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)，即(x1 x2)(x4)(y1 y2)y将y1 y2y(x1 x2)代入上式，化简得(x6)2 y2 4x8当AB与x轴垂直时，x1 x2 2，求得M(8，0)，也满足上述方程7所以点M的轨
21、迹方程是(x6)2 y2 4II假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CA.CB为常数当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y k(x2)(k 1)代入x2 y2 2有(1k2)x24k2x(4k2 2)04k2则x4k221，x2是上述方程的两个实根，所以x1 x2k21，x1x2k21，于是CA.CB (x1m)(x2m)k2(x12)(x22)(k21)x1x2(2k2 m)(x1 x2)4k2 m2(k21)(4k22)4k2(2k2m)k21k214k2m22(12m)k22244mk21m 2(12m)k21m2因为CA.CB是与k无关的常数，所以44m 0，即m 1，此时CA.C
22、B=1当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，2)，此时CA.CB (1,2).(1,2)1故在x轴上存在定点C(1，0)，使CA.CB为常数解法二：I同解法一的I有x1 x2 x4，y1 y2 y当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y k(x2)(k 1)代入x2 y2 2有(1k2)x24k2x(4k2 2)0 x4k2则1，x2是上述方程的两个实根，所以x1 x2k21y y x 4k24k12 k(x124)kk 14k21由得x4 4k24kk21y k218当k 0时，y 0，由得，x4 k，将其代入有yx44y(x4)y22y(x6)y 4整理得222(
23、x4)(x4)y1y24当k 0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程当AB与x轴垂直时，x1 x2 2，求得M(8，0)，也满足上述方程故点M的轨迹方程是(x6)y 4II假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CA.CB为常数，224k24k22当AB不与x轴垂直时，由I有x1 x221，x1x22kk 1以上同解法一的II【误区警示】【例题【例题 5 5】ABC中，B，C 坐标分别为-3，0，3，0，且三角形周长为16，求点 A 的轨迹方程。x2y2【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为221，abx2y21则由定义可知a 5,c 3，则b 4，得
24、轨迹方程为2516【错因剖析】【错因剖析】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。【正确解答】【正确解答】ABC 为三角形，故A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).(5,0)，x2y21(x 5)即轨迹方程为25161：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方9法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分
25、。【能力训练】9.已知动点 P 到定点 F1，0和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。【解答】【解答】：设点 P 的坐标为x，y，则由题意可得。1当 x3 时，方程变为(x 1)2 y23 x 4,(x 1)2 y2 x 1，化简得y2 4x(0 x 3)。2当 x3 时，方程变为(x 1)2 y2 x 3 4,(x 1)2 y2 7 x，化简得。故所求的点 P 的轨迹方程是或10.过原点作直线l和抛物线y x2 4x 6交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M的轨迹方程。【解答】【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程 y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得x(,4 2 6)(4 2 6,)。设 A，B，Mx，y，由韦达定理得。由又消去 k 得。，所以x(,6)(6,)。点 M 的轨迹方程为y 2x2 4x,x(,6)(6,)。【创新应用】11.一个圆形纸片，圆心为 O，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设 CD 与 OM 交于 P，则 P 的轨迹是A:椭圆B:双曲线C:抛物线D:圆【答案】【答案】：A A【解答】【解答】：由对称性可知|PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=RR 为圆的半径，则P 的轨迹是椭圆，选 A。10