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1、求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（ x， y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量 t ，以此量作为参变数，分别建立P点坐标 x，y 与该参数t 的函数关系xf
2、 （t ），yg（t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x， y） 0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x， y），用（ x，y）表示出相关点P 的坐标，然后把P 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。一：用定义法求轨迹方程例 1：已知ABC
3、的顶点 A，B的坐标分别为（-4 ，0），（ 4，0）， C 为动点，且满足,sin45sinsinCAB求点 C的轨迹。【变式】： 已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。二：用直译法求轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例 2：一条线段两个端点A 和 B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且BM=a ，AM=b ，求 AB 中点 M 的轨迹方程？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页【变式】 :动点P（ x,y）到两定点A（ 3，0）和B（3， 0）的距离的比等于2（即2|PBPA
4、），求动点P的轨迹方程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3 过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若 l1交 x 轴于 A 点， l2交 y 轴于 B点，求线段AB的中点 M的轨迹方程。四：用代入法求轨迹方程例 4.的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB，a，AbyaxB)02(12222轨迹方程。【变式】 如图所示，已知P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程BQRAPoyx精选学习资料 - - - - -
5、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页五、用交轨法求轨迹方程例 5. 已知椭圆22221xyab（ab o）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2，求 A1P1与 A2P2交点 M的轨迹方程 .六、用点差法求轨迹方程例 6. 已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 1
6、2 页练习1. 在ABC中， B ，C 坐标分别为（ -3 ， 0），（ 3，0），且三角形周长为16，则点 A的轨迹方程是 _. 2.两条直线01myx与01ymx的交点的轨迹方程是_. 3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦0A，则弦的中点M 的轨迹方程是 _ 4.当参数m 随意变化时，则抛物线yxmxm22211的顶点的轨迹方程为_。5:点 M 到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则点M 的轨迹方程为_。6:求与两定点O OA1030，、，距离的比为1：2 的点的轨迹方程为_ 7.抛物线xy42的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B 两
7、点，动点C在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。8. 已知动点P到定点 F（ 1，0）和直线x=3 的距离之和等于4，求点 P的轨迹方程。9. 过原点作直线l和抛物线642xxy交于 A、B两点，求线段AB的中点 M的轨迹方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页高二（上）求轨迹方程的常用方法答案例 1：已知ABC的顶点A，B 的坐标分别为（-4 ，0），（ 4，0）， C 为动点，且满足,sin45sinsinCAB求点 C的轨迹。【解读】由,sin45sinsinCAB可知1045cab，即10|BCAC，
8、满足椭圆的定义。令椭圆方程为12222byax，则34, 5bca，则轨迹方程为192522yx（)5x，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】 熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）到定点与定直线距离相等。【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2， b2=
9、12。故所求轨迹方程为2: 一动圆与圆O ：122yx外切，而与圆C：08622xyx内切，那么动圆的圆心 M的轨迹是：A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】 令动圆半径为R，则有1|1|RMCRMO，则 |MO|-|MC|=2 ，满足双曲线定义。故选D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例 2：一条线段AB 的长等于2a,两个端点A和 B 分别在 x 轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页和 y轴上滑动，求AB中点 P 的轨迹方程？解设M点 的 坐 标 为),(yx由 平 几 的 中
10、线 定 理 ： 在 直 角 三 角 形AOB 中 ，OM=,22121aaAB22222,ayxayxM 点的轨迹是以O 为圆心， a为半径的圆周. 【点评】 此题中找到了OM=AB21这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定
11、理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（ 3，0）和B（ 3，0）的距离的比等于2（即2|PBPA），求动点P的轨迹方程？【解答】 |PA|=2222)3(| ,)3(yxPByx代入2|PBPA得222222224)3(4) 3(2) 3() 3(yxyxyxyx化简得（ x5）2+y2=16，轨迹是以（ 5，0）为圆心， 4为半径的圆 . 三：用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参
12、数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3 过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若 l1交 x 轴于 A 点， l2交 y 轴于 B点，求线段AB的中点 M的轨迹方程。【解读】分析 1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率 k 作为参数，建立动点M坐标（ x，y）满足的参数方程。解法1：设 M （x，y），设直线l1的方程为y 4k（x2），（ k）)2(14221xkyl，ll的方程为则直线由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页，Axl)0k4
13、2(1的坐标为轴交点与，k，Byl)240(2的坐标为轴交点与M为 AB的中点，)(1222421242为参数kkkykkx消去 k，得 x2y50。另外，当k0 时， AB中点为 M （1，2），满足上述轨迹方程；当 k 不存在时， AB中点为 M （1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述， M的轨迹方程为x2y50。分析 2：解法 1 中在利用k1k2 1 时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB为直角三角形的几何特性：|21|ABMP解法 2： 设 M （x， y），连结MP ，则 A（2x，0）， B （0，2y），l1l2， PAB为直角三角形|2
14、1|ABMP，由直角三角形的性质2222)2()2(21)4()2(yxyx化简，得 x2y50，此即 M的轨迹方程。分析 3： 设 M （x，y），由已知l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2 1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B 两点坐标。事实上，由M为 AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 3：设 M （x，y）， M为 AB中点， A（2x，0）， B（0，2y）。又 l1，l2过点 P（2，4），且 l1l2 PAPB ，从而 kPAkPB 1，02242204y，kxkPBPA而0521224224yxyx，化简，得注意到 l1x 轴时， l2y 轴
15、，此时A（2， 0）， B（0，4）中点 M （ 1，2），经检验，它也满足方程x2y50 综上可知，点M的轨迹方程为x2y 50。【点评】1） 解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2， 3 为直译法，运用了kPAkPB1，|21|ABMP这些等量关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式 3
16、】过圆 O：x2 +y2= 4 外一点 A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹。解法一：“几何法”设点 M 的坐标为（ x,y）,因为点 M 是弦 BC 的中点，所以OM BC, 所以 |OM | | | | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16 化简得：（ x2）2+ y2 =4.由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为1，所以点 M 的轨迹方程为（ x2）2+ y2 =4 （0 x1）。所以M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆O 内的部分。解法二：“参数法”设点 M 的坐标为（ x,y）， B（x1,y1）,C（x
17、2,y2）直线 AB 的方程为y=k(x 4), 由直线与圆的方程得（1+k2）x28k2x +16k24=0.(*), 由点M 为BC 的中点，所以x=2221142kkxx.(1) , 又OM BC ，所以k=xy.(2)由方程（ 1）（ 2）消去 k 得（ x2）2+ y2 =4,又由方程（ *）的 0 得 k2 31,所以 x1. 所以点M 的轨迹方程为（x2）2+ y2=4 （0 x1）所以M 的轨迹是以（2， 0）为圆心，2 为半径的圆在圆O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 4.的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB，a，AbyaxB)02(12222轨迹方程。分
18、析： 题中涉及了三个点A、B、M ，其中 A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M 、 B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解读】 设动点 M的坐标为（ x，y），而设 B点坐标为（ x0，y0）则由 M为线段 AB中点，可得yyaxxyyxax22220220000即点 B坐标可表为（ 2x2a，2y）上在椭圆点又1)(222200byax，yxB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页，byaaxbyax1)2()22(12222220220从而有14)(
19、42222byaaxM，的轨迹方程为得动点整理【点评】 代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如图所示，已知P(4， 0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、B 是圆上两动点，且满足 APB=90，求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程【解读】 ：设 AB 的中点为R，坐标为 (x,y)，则在 Rt ABP中， |AR|=|PR| 又因为R 是弦 AB 的中点，依垂径定理在 RtOAR 中， |AR|2=|AO|2|OR|2=36 (x2+y2)又|AR|=|PR|=22)4(yx所以有 (x4)2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点R 在
20、一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以x1=20,241yyx, 代入方程 x2+y24x10=0,得244)2()24(22xyx10=0 整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程五、用交轨法求轨迹方程22221xyab六、用点差法求轨迹方程分析： 此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解： 设弦两端点分别为11yxM，22yxN，线段MN的中点yxR，则，yyyxxxyxyx222222212122222121得0221212121yyyyxxxx由 题 意 知21xx， 则 上 式
21、 两 端 同 除 以21xx， 有0221212121xxyyyyxx，将代入得022121xxyyyx（ 1 ） 将21x，21y代 入 ， 得212121xxyy， 故 所 求 直 线 方 程 为 ：BQRAPoyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页0342yx 将代入椭圆方程2222yx得041662yy，0416436符合题意，0342yx为所求（2）将22121xxyy代入得所求轨迹方程为：04yx（椭圆内部分）（3）将212121xyxxyy代入得所求轨迹方程为：022222yxyx（椭圆内部分）练习1
22、【正确解答】ABC 为三角形，故A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点)0,5).(0,5(，即轨迹方程为)5(1162522xyx2.两条直线01myx与01ymx的交点的轨迹方程是. 【解答】 :直接消去参数m即得 (交轨法 ):022yxyx3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦0A，则弦的中点M 的轨迹方程是. 【 解 答 】 :令M点 的 坐 标 为 (), yx, 则A 的 坐 标 为 (2)2, yx, 代 入 圆 的 方 程 里 面得:)0(41)21(22xyx4:当参数 m 随意变化时，则抛物线yxmxm22211的顶点的轨迹方程为【分析】：
23、把所求轨迹上的动点坐标x，y 分别用已有的参数m 来表示，然后消去参数m ， 便 可 得 到 动 点 的 轨 迹 方 程 。 【 解 答 】 ： 抛 物 线 方 程 可 化 为xmym12542它的顶点坐标为xmym1254，消去参数m 得：yx34故所求动点的轨迹方程为4430 xy。5:点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则点 M 的轨迹方程为【分析】： 点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，意味着点M到点 F（4，0）的距离与它到直线x40的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M 的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
24、 - - - - - - -第 10 页，共 12 页轨迹方程。【解答】： 依题意，点M 到点 F（4， 0）的距离与它到直线x4的距离相等。则点M 的 轨 迹 是 以F（ 4， 0） 为 焦 点 、x4为 准 线 的 抛 物 线 。 故 所 求 轨 迹 方 程 为yx216。6:求与两定点O OA1030，、，距离的比为1：2 的点的轨迹方程为_ 【分析】 :设动点为P，由题意POPA12，则依照点P 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】： 设P xy，是所求轨迹上一点，依题意得POPA12由两点间距离公式得：xyxy2222312化简得：xyx222307 抛物线xy42的通径
25、（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B 两点，动点C在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。【分析】： 抛物线xy42的焦点为01 ，F。设 ABC 重心 P的坐标为()xy，点 C的坐标为()xy11，。其中11x【解答】： 因点P xy，是重心，则由分点坐标公式得：33211yyxx，即yyxx32311，由点C xy11，在抛物线xy42上，得：1214xy将yyxx32311，代入并化简，得：32342xy（)1x9. 已知动点P到定点 F（ 1，0）和直线x=3 的距离之和等于4，求点 P的轨迹方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
26、- - - - -第 11 页，共 12 页【解答】 ：设点 P的坐标为（ x，y），则由题意可得。（1）当 x3 时，方程变为1)1(,43)1(2222xyxxyx，化简得)30(42xxy。（2）当 x3 时，方程变为xyxxyx7)1(,43) 1(2222，化简得。故所求的点P的轨迹方程是或10. 过原点作直线l和抛物线642xxy交于 A 、B两点，求线段AB的中点 M的轨迹方程。【解答】 ：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程 y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以0，解得(, 42 6)( 42 6,)k。设 A（）， B（）， M （x，y），由韦达定理得。由消去 k 得。又，所以),6()6,(x。点 M的轨迹方程为),6()6,(,422xxxy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页