求轨迹方程的常用方法文档.pdf

《求轨迹方程的常用方法文档.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求轨迹方程的常用方法文档.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 1 求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1.待定系数法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2.直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐

2、标 x，y 与该参数 t 的函数关系 x f（t），y g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。4.代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 P（x，y），用（x，y）表示出相关点 P 的坐标，然后把 P 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出

3、交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律，即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。)()()(0)(.2 为参数 又可用参数方程 表示 程 轨迹方程既可用普通方 tt g yt f x，y x，F 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解

4、。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身：1.P 是椭圆5 92 2y x=1 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M，则 PM 中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）【答案】：B A、15 9422 yx B、154922 yx C、120 92 2 y x D、5 362 2y x【解答】:令中点坐标为),(y x,则点 P 的坐标为()2,y x代入椭圆方程得154922 yx,选 B 2.圆心在抛物线)0(22 y x y上，并且与抛物线的准线

5、及x轴都相切的圆的方程是 2 A 04122 2 y x y x B 0 1 22 2 y x y x C 0 1 22 2 y x y x D 04122 2 y x y x【答案】：D【解答】:令圆心坐标为(),22aa,则由题意可得2122 aa,解得1 a,则圆的方程为04122 2 y x y x,选 D 3:一动圆与圆 O：12 2 y x外切，而与圆 C：0 8 62 2 x y x内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【答案】：D【解答】令动圆半径为 R，则有 1|1|R MCR MO，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选 D

6、。4:点 P(x0，y0)在圆 x2+y2=1上运动，则点 M（2x0，y0）的轨迹是（）A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y轴上的椭圆 C.焦点在 y轴上的双曲线 D.焦点在 X 轴上的双曲线【解】:令 M 的坐标为),(y x则y yxxy yx x000022代入圆的方程中得1422 yx,选 A 名师点题一：用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待

7、定系数法就可以直接得出方程。例 1：已知ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin45sin sin C A B 求点 C 的轨迹。【解析】由,sin45sin sin C A B 可知1045 c a b，即10|BC AC，满足椭圆 的 定 义。令 椭 圆 方 程 为12222 byax，则3 4,5 b c a，则 轨 迹 方 程 为19 252 2 y x（)5 x，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1）圆：到定点的距离等于定长 3（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离

8、）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）到定点与定直线距离相等。【变式 1】:1:已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得：，。动圆圆心 P的轨迹是以 M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求轨迹方程为 2:一动圆与圆 O：12 2 y x外切，而与圆 C：0 8 62 2 x y x内切，那么动圆的圆心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为 R，则有 1|1|R MCR MO，则|MO|-|MC|=

9、2，满足双曲线定义。故选 D。二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。例 2：一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y轴上滑动，求 AB中点 P的轨迹方程？解 设 M 点的坐标为),(y x 由平几的中线定理：在直角三角形 AOB 中，OM=,22121a a AB 2 2 2 2 2,a y x a y x M点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=AB21这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化

10、的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其 4 数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式 2】:动点 P（x,y）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即2|PBPA），求动点 P的轨迹方程？【解答】|PA

11、|=2 2 2 2)3(|,)3(y x PB y x 代入2|PBPA得2 2 2 22 22 24)3(4)3(2)3()3(y x y xy xy x 化简得（x 5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例 3 过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1交 x 轴于 A 点，l2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M的轨迹方程。【解析】分析 1：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1引发的，可设出 l1的斜率 k

12、作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满足的参数方程。解法 1：设 M（x，y），设直线 l1的方程为 y 4 k（x 2），（k）)2(142 2 1 xky l，l l 的方程为 则直线 由，A x l)0k42(1 的坐标为 轴交点 与，k，B y l)24 0(2 的坐标为 轴交点 与 M为 AB的中点，)(1222421242为参数 kkkykkx 消去 k，得 x 2y 5 0。另外，当 k 0时，AB 中点为 M（1，2），满足上述轨迹方程；当 k不存在时，AB 中点为 M（1，2），也满足上述轨迹方程。5 综上所述，M 的轨迹方程为 x 2y 5 0。分析 2：解法 1 中在利

13、用 k1k2 1 时，需注意 k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用 PAB 为直角三角形的几何特性：|21|AB MP 解法 2：设 M（x，y），连结 MP，则 A（2x，0），B（0，2y），l1 l2，PAB 为直角三角形|21|AB MP，由直角三角形的性质 2 2 2 2)2()2(21)4()2(y x y x 化简，得 x 2y 5 0，此即 M的轨迹方程。分析 3：设 M（x，y），由已知 l1 l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2 1，即可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B两点坐标。事实上，由 M为 AB 的中点，易找出它们的坐标

14、之间的联系。解法 3：设 M（x，y），M 为 AB 中点，A（2x，0），B（0，2y）。又 l1，l2过点 P（2，4），且 l1 l2 PA PB，从而 kPAkPB 1，0 22 42 20 4y，kxkPB PA而 0 5 2 122 42 24 y xyx，化简，得 注意到 l1 x 轴时，l2 y 轴，此时 A（2，0），B（0，4）中点 M（1，2），经检验，它也满足方程 x 2y 5 0 综上可知，点 M的轨迹方程为 x 2y 5 0。【点评】1）解法 1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了kPAkPB 1，|21|AB MP这些等量关系。用参数法

15、求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式 3】过圆 O：x2+y2=4 外一点 A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M的轨迹。解法一：“几何法”设点 M 的坐标为（x,y）,因为点 M 是弦 BC的中点，所以 OM BC,所以|OM|，即(x2+y2)+(x)2+y2=16 化简得：（x 2）2+y2=4.由方程 与方程 x2+y2=4 得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 M的轨迹方程为（x 2）2+y2

16、=4（0 x 1）。所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。解法二：“参数法”设点 M 的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线 AB 的方程为 y=k(x 4),6 由直线与圆的方程得（1+k2）x2 8k2x+16k2 4=0.(*),由点 M 为 BC 的中点，所以 x=222 1142 kk x x.(1),又 OM BC，所以k=xy.(2)由方程（1）（2）消去 k得（x 2）2+y2=4,又由方程（*）的 0得 k2 31,所以 x 1.所以点 M 的轨迹方程为（x 2）2+y2=4（0 x 1）所以 M的轨迹是以（2，0）为圆心

17、，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程 例 4.的 的中点 求线段 为定点 上的动点 是椭圆 点 M AB，a，AbyaxB)0 2(12222 轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求动点 M的轨迹方程。【解析】设动点 M的坐标为（x，y），而设 B 点坐标为（x0，y0）则由 M 为线段 AB 中点，可得 y ya x xyyxa x22 220220000 即点 B 坐标可表为（2x 2a，2y）上 在椭圆

18、 点 又 1)(22220 0 byax，y x B，byaa xbyax1)2()2 2(12222220220 从而有 14)(42222 byaa xM，的轨迹方程为 得动点 整理【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式 4】如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足 APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 BQRAPoyx 7【解析】：设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 Rt ABP 中，|AR|=|PR|又因为 R 是弦AB的中点，依垂径定理 在 Rt OAR中，|AR|2=|AO|2

19、|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=2 2)4(y x 所以有(x 4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y2 4x 10=0 因此点 R在一个圆上，而当 R在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=20,241 yyx,代入方程 x2+y2 4x 10=0,得 244)2()24(2 2 x y x 10=0 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程【备选题】已知双曲线2 22 x y 的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的动直线与双曲线相交于A B，两点（I）若动点M满足1 1 1

20、1FM FA FB FO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II）在x轴上是否存在定点C，使CACB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 解：由条件知1(2 0)F，2(2 0)F，设1 1()A x y，2 2()B x y，解法一：（I）设()M x y，则 则1(2)FM x y，1 1 1(2)FA x y，1 2 2 1(2)(20)F B x y FO，由1 1 1 1FM FA FB FO 得 1 21 22 6 x x xy y y，即1 21 24 x x xy y y，于是AB的中点坐标为42 2x y，当AB不与x轴垂直时，1 21 224822yy

21、 y yxx x x，即1 2 1 2()8yy y x xx 又因为A B，两点在双曲线上，所以2 21 12 x y，2 22 22 x y，两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2()()()()x x x x y y y y，即1 2 1 2()(4)()x x x y y y 将1 2 1 2()8yy y x xx 代入上式，化简得2 2(6)4 x y 当AB与x轴垂直时，1 22 x x，求得(8 0)M，也满足上述方程 8 所以点M的轨迹方程是2 2(6)4 x y（II）假设在x轴上存在定点(0)C m，使CB CA.为常数 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)

22、(1)y k x k 代入2 22 x y 有2 2 2 2(1)4(4 2)0 k x k x k 则1 2x x，是上述方程的两个实根，所以21 2241kx xk，21 224 21kx xk，于是)2)(2()(.2 122 1 x x k m x m x CB CA 2 2 2 21 2 1 2(1)(2)()4 k x x k m x x k m 2 2 2 22 22 2(1)(4 2)4(2)41 1k k k k mk mk k 22 22 22(1 2)2 4 42(1 2)1 1m k mm m mk k 因为CB CA.是与k无关的常数，所以4 4 0 m，即1 m，此

23、时CB CA.=1 当AB与x轴垂直时，点A B，的坐标可分别设为(2 2)，(2 2)，此时1)2,1).(2,1(.CB CA 故在x轴上存在定点(1 0)C，使CB CA.为常数 解法二：（I）同解法一的（I）有1 21 24 x x xy y y，当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)y k x k 代入2 22 x y 有2 2 2 2(1)4(4 2)0 k x k x k 则1 2x x，是上述方程的两个实根，所以21 2241kx xk 21 2 1 224 4(4)41 1k ky y k x x kk k 由得22441kxk 241kyk 9 当0 k时，0

24、 y，由得，4 xky，将其代入有 2 2 22444(4)(4)(4)1xy x yyx x yy 整理得2 2(6)4 x y 当0 k时，点M的坐标为(4 0)，满足上述方程 当AB与x轴垂直时，1 22 x x，求得(8 0)M，也满足上述方程 故点M的轨迹方程是2 2(6)4 x y（II）假设在x轴上存在定点点(0)C m，使CB CA.为常数，当AB不与x轴垂直时，由（I）有21 2241kx xk，21 224 21kx xk 以上同解法一的（II）【误区警示】1.错误诊断【例题 5】ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，求点 A 的轨迹

25、方程。【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为12222 byax，则由定义可知3,5 c a，则4 b，得轨迹方程为116 252 2 y x【错因剖析】ABC 为三角形，故 A，B，C不能三点共线。【正确解答】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点)0,5).(0,5(，即轨迹方程为)5(116 252 2 xy x 2.误区警示 1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案

26、”。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方 10 法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。【能力训练】9.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。【解答】：设点 P 的坐标为（x，y），则由题意可得。（1）当 x 3 时，方程变为1)1(,4 3)1(2 2 2 2 x y x x y x，化简得)3 0(42 x x y。（2）当 x3 时，方程变为x y x x y x 7)1(,4 3)1(2 2 2 2，化简得。故所求的点 P 的轨迹方程是 或 10.过原

27、点作直线 l和抛物线 6 42 x x y 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线 l的斜率一定存在，设直线 l的方程 y=kx。把它代入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所以 0，解得),6 2 4()6 2 4,(x。设 A（），B（），M（x，y），由韦达定理得。由 消去 k 得。又，所以),6()6,(x。点 M 的轨迹方程为),6()6,(,4 22 x x x y。【创新应用】11.一个圆形纸片，圆心为 O，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM交于 P，则 P 的轨迹是（）A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆【答案】：A【解答】：由对称性可知|PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R 为圆的半径），则 P 的轨迹是椭圆，选 A。