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1、函数零点与方程问题乌鲁木齐一中 马仲勋 电话 邮编 一概念1方程的根与函数的零点函数零点对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确
2、定区间，验证，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：若=，则就是函数的零点；若，则令=（此时零点）；若0，函数f(x)单调递增；当x(1,3)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的极小值为f(3)24，极大值为f(1)8；而f(2)1，f(5)8，函数图象大致如图所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3个零点，只需函数f(x)在2,5内的函数图象与直线ym有3个交点故即m1,8)答案D解决此类问题主要依据函数图象的特征，利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数的不等式注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响如该题中f(2)与f(5)这两个端点值决定着方程
3、g(x)f(x)m在x2,5上的零点个数，若m8或24m8或m24时，则该方程没有实根5. 求函数零点的近似值（或方程的近似解）思路：利用“二分法”的操作步骤例7 利用二分法求方程的近似解（精确度）.解：令，所以是方程的一个近似解.又，所以；又，所以；又，所以由于又，故是原方程的一个近似解；同理可得6. 零点存在性定理例8设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。解析：（1）函数f(x)=xln(x+m),x(m,+)连续，且当x(m,1m)时,f （x）f(1m)当x(1m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1m)根据函数极值判别方法，f(1m)=1m为极小值，而且对x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m故当整数m1时，f(x) 1m0(2)证明：由（I）知，当整数m1时，f(1m)=1-m1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根该题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。