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1、 专题5 函数与方程一、考情分析零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与
2、方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.二、考点梳理1.确定函数f(x)零点个数(方程f(x)0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)0的判别式0，0，0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题(3)若函数f(x)在a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)f(b)0，则yf(x)在区间(a，b)内有唯一零点2.导数研究函数图象交点及零点问题
3、利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：构造函数；求导；研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；解不等式得解.探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.三、题型突破重难点题型突破1 二分法求函数零点所在区间例1（1）（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）函数的一个零点所在的区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B【解析】由题得，所以所以函数的一个零点所在的区间是.故选：B（2）、（2020淮北市树人高级
4、中学高一月考）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）ABCD【答案】C【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案【详解】解：设，当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，又（2），（3），故（2）（3），故方程在区间上有解，即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.故选：C【变式训练1-1】（2019浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ）A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】B【解析】函数是上的增函数,是上的增函数,故函数是上的增函数.,则时,;时,因为,所以函数在区间上存在
5、零点.故选:B.【变式训练1-2】（2020全国高一课时练习）f(x)2x(xa)1在(0，)内有零点，则a的取值范围是（ ）A(，)B(2，)C(0，)D(1，)【答案】D【解析】由题意可得ax(x0).令g(x)x，因为都是增函数，所以该函数在(0，)上为增函数（增函数+增函数=增函数），所以，可知g(x)的值域为(1，)，故当a1时，f(x)在(0，)内有零点.故选：D.重难点题型突破2 求函数零点的个数与方程的解个数例2（1）函数的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点（2）函数的零点个数为A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】因为在
6、内单调递增，又，所以在内存在唯一的零点【变式训练2-1】（2020张家口市第一中学高一月考）函数的零点个数为（）A0B1C2D3【答案】C【分析】由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解【详解】函数，由，可得，作出和的图象，由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.【变式训练2-2】（2020北京大兴高三期末）已知，函数若，则的值域为_；若方程恰有一个实根，则的取值范围是_.【答案】 【解析】当时，当时，当时，故时，的值域为；当方程恰有一个实根即函数与图象只有一个交点，的图像如图所示由图可知，解之得，故的取值范围是，故答案为：；.重难点题型突破3 根据零点个数或零点所在
7、区间，求参数的范围例3（1）、（2022全国高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.【详解】和在上是增函数，在上是增函数，只需即可，即，解得.故选：D.（2）（2020昭通市昭阳区第一中学高一月考（理）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值为_【答案】0或【分析】由题知方程的解仅有一个，注意按和分类讨论【详解】当时，函数为一次函数，则1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当时，函数为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程有两个相等实根，解得综上，当或时，函数仅有一个零点故答案为：0或
8、.【变式训练3-1】（2021全国）已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是_【答案】【分析】于的方程恰有两个不同实根等价于函数与的图象恰有两个不同的交点，作出函数的图象，数形结合即可求出结果.【详解】若关于的方程恰有两个不同实根，则函数与的图象恰有两个不同的交点，作出的图象如图：当时，所以当时，当时，当时，此时最大值为，由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点，所以实数的取值范围是，故答案为：.【变式训练3-2】（2021陕西高二期末（文）已知函数，若方程有且仅有两个不等的实数根，则实数的取值范围为_.【答案】【分析】作出函数的图象，得出函数的趋势，由图象可得结论【详解
9、】作出函数的图象，如图，由图象可知当时，的图象与直线有两个交点，即方程有且仅有两个不等的实数根故答案为：重难点题型突破4 根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系例4（1）（2021安徽安庆高三月考（文）已知函数，若函数有四个不同的零点，且满足：，则的值是（ ）A-4B-3C-2D-1【答案】B【分析】画出与的图象，结合图象求得，从而求得正确结论.【详解】函数的四个不同零点，就是函数与图象交点的横坐标，作出与的函数图象如下：由图象知，.所以.故选：B.（2）（2021普宁市第二中学高三月考）已知函数若(互不相等)，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】先画函数图象，再进行数形结合得
10、到和，结合对勾函数单调性解得的范围，即得结果.【详解】作出函数的图象，如图所示:设，则.因为，所以，所以，所以，即.当时，解得或，所以.设，因为函数在上单调递增，所以，即，所以.故选：D.【变式训练4-1】（2021北京市延庆区教育科学研究中心）已知函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是_.【答案】【分析】画出函数的图象和直线的图象，考察有四个交点的条件，根据对称性求得的值，根据图象，结合二次方程，韦达定理计算，判定的取值范围，从而得到的取值范围.【详解】如图所示，画出函数的图象和直线的图象，有四个交点，从左到右四个交点的横坐标分别是，由对称性可知.当时，是方程,即的两个实数根，,
11、.取得最大值，当时，直线与函数在y轴右侧的对勾函数图象相切，切点为(1,2),此时，所以函数的图象和直线的图象有4个交点时，是，故答案为：.【变式训练4-2】（2022全国高三专题练习（理）已知函数，若方程有四个不同的根、，且，则的取值范围是_.【答案】【分析】作出函数的图象，计算得出，利用二次函数图象的对称性得出，求出的取值范围，可求得的取值范围，由此求得结果.【详解】作出函数的图象如下图所示：方程有四个不同的实根，等价于直线与函数的图象有四个交点，不妨设，由图可知，只有当时，直线与函数的图象有四个交点.当时，由图可知，所以，即，即，所以，当时，表示对称轴为直线，开口向上的抛物线，所以，且，
12、则，所以，所以，因此，.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围重难点题型突破5 “嵌套”函数的零点问题例5（1）、（2021吉林长春外国语学校（理）已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】分、两种情况讨论，由可得出的值或取值范围，再分、两类讨论，利用代数法或数形结合思想，利用关
13、于的方程有且只有一个实数根可求得实数的取值范围.【详解】令，则.当时，若，；若，得.所以，由可得或.如下图所示：满足的有无数个，方程只有一个解，不合乎题意；当时，若，则；若，得.所以，由可得，当时，由，可得，因为关于的方程有且只有一个实数根，则方程在时无解，若且时，故；若且时，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.（2）（2022全国高三专题练习）设，函数，若函数恰有个零点，则实数的值为_.【答案】【分析】分和两种情况讨论，由解出的值，然后分、解关于的方程，结合已知条件可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】当时，由，可得，当时，由，可得或，当时，.即当时，函数只有个零点，
14、不合乎题意；当时，由，可得或.当时，由，可得或，方程无解，当时，由，即，解方程可得，其中合乎题意，舍去，所以，方程在时有唯一解，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，当时，故，解得.综上所述，.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围【变式训练5-1】（2022全国高三专题练习（理）已知函数则函数的所有零点之和为_.【答案】【分析
15、】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解【详解】解：时，由，可得或，或；时，由，可得或，或；函数的所有零点为，所以所有零点的和为故答案为：【变式训练5-2】（2022全国高三专题练习（理）已知函数，若函数，则下列结论正确的是（ ）A若没有零点，则B当时，恰有1个零点C当恰有2个零点时，的取值范围为D当恰有3个零点时，的取值范围为【答案】D【分析】作出的图象，令，可得或，分别讨论在、和情况下，和图象与图象交点个数，即可得零点个数，综合分析，即可得答案.【详解】作出的图象，如图所示：令，即，可得或，即或，当时，和均无解，此时无零点，当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零
16、点，故A错误；当时，图象与图象有2个交点，即有2个根， ，图象与无交点，即无解，此时有2个零点；当时，图象与图象有3个交点，即有3个根，图象与无交点，即无解，此时有3个零点；当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，图象与图象有1个交点，即有1个
17、根，此时有2个零点，故C错误；综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确.故选：D【点睛】解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点问题，分别讨论m的范围，数形结合，即可得答案，考查分段讨论，分析整理的能力，属中档题.重难点题型突破5 复合函数的零点问题（与二次函数有关）例6（1）、（2021河北保定高三月考（理）已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】作出图象，令，数形结合，可得时有1个根，时有2个根，将所求转化为，结合题意，可得两根的范围，解不等式，即可得答案.【详解】作出图象，如图所示，令，当时，与图象有1个交点，即有1个根，当时，
18、与图象有2个交点，即有2个根，则关于的方程转化为，由题意得，解得，方程的两根为，因为关于的方程有三个不同的实数，则，解得，满足题意.故选：A（2）、（2021江西省乐平中学高一开学考试）已知函数的值域为，且，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】函数的值域要为，则，又，故，画出函数图象，利用数形结合的方法即可求解【详解】根据该分段函数的图象，函数的值域要为，则，但，当时，函数图象如图2所示：关于的方程有三个不同的实数根，即有三个不相等的实数根，由图象可知有两个实数根，则有一个实数根，故选：A【变式训练6-1】（2020南通市海门实验学校高一期末）已知函数
19、，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是_【答案】【分析】由分段函数的性质画出函数草图，讨论不同值域区间内解的个数，再结合题设函数有6个零点，确定对应的值域区间，利用二次函数的性质，列不等式组求参数b的范围.【详解】作出的函数图象如下：设，则当或时，方程只有1解，当时，方程有2解，当时，方程有3解，当时，方程无解关于的函数有6个不同的零点，关于的方程在上有两解，解得故答案为：【点睛】关键点点睛：根据分段函数的解析式，应用数形结合法判断不同值域区间上对应x的个数，再由关于的二次函数零点的个数确定的值域区间，应用二次函数性质求参数范围.【变式训练6-2】（2021黑龙江鹤岗一中（理）已知
20、函数，若方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】方程左边先进行因式分解得，作出函数的图象如图所示，可得，解不等式即可得到答案；【详解】,或，作出函数的图象如图所示，当，解得：，故选：A.【点睛】本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到两条直线与曲线分别要有1个交点和3个交点.四、迁移应用A卷 基础巩固1（2011北京东城区高三（理）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是ABCD【答案】B【解析】考点：函数零点的判定定理专题：计算题分析：求原函数在每个区间端点处的函数值，找出在哪个区间端点处的函数值异号，该区间即为所求解答：解：由题意
21、知：f() =(-0f() =(-0f(1)=-1 0f(2)=()- 0由零点判定定理知在区间(，)内原函数有零点故选B点评：本题考查用零点判定定理判断零点的位置，须判断区间端点处函数值的正负号属简单题2（2021息县第一高级中学高三月考）已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】分别画出和的图像，结合图像分析可得答案.【详解】恰有三个不同的实数解等价于函数的图象与直线有三个公共点.作出的图象如下图：由图可知，的图象与直线有三个公共点时有，解得，所以实数的取值范围为.故选:C.3（2021全国高二课时练习）如图是函数的大致图象，则（ ）ABC
22、D【答案】C【分析】根据给定图象求出函数的解析式，再求出其极值点x1，x2的关系式即可得解.【详解】观察函数的图象知，-1，0，2是函数的零点，且，是函数的两个极值点，于是得，求导得，因，是函数的两个极值点，则，是方程的两根，从而有，所以.故选：C4（2022全国高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.【详解】和在上是增函数，在上是增函数，只需即可，即，解得.故选：D.5（2021东莞市光明中学高二月考）已知函数，要使函数有三个解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】要使函
23、数有三个解，则与图象有三个交点，数形结合即可求解【详解】要使函数有三个解，则与图象有三个交点，因为当时，所以，可得在上递减，在递增，所以，有最小值，且时，当趋向于负无穷时，趋向于0，但始终小于0，当时，单调递减，由图像可知：所以要使函数有三个零点，则.故选：D6（2019云南省楚雄天人中学高一月考）函数的零点所在的区间是（ ）ABCD【答案】B【分析】先分析得到函数是上的增函数，再证明，即得解.【详解】因为函数是增函数，是增函数，所以函数是上的增函数，又，所以，所以函数的零点所在的区间为.故选：B7（2021咸丰春晖学校）定义在的奇函数满足，且当时，则函数在区间上的零点个数为（ ）A10B11
24、C12D13【答案】B【分析】由奇函数的性质周期函数的性质结合函数在上的解析式，确定函数的零点.【详解】当时，又函数为奇函数， 当时， 函数是周期函数，且周期为4， 函数在的零点有4个，即，函数在的零点有4个，又函数在的零点有2,3,4，函数在区间上的零点个数为11个，故选：B.8（2021湖南）已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【分析】由，得，所以问题转化为函数的图象与直线有4个不同的交点，所以画出函数图象，利用图象求解即可【详解】由，得，所以问题转化为函数的图象与直线有4个不同的交点，函数的图象如图所示，所以，得，所以的取值范围为，故选：D9（2020云南高
25、一期末）函数零点的个数为（ ）ABCD【答案】D【分析】在坐标系中画出两个函数，的图象，由图象交点的个数即为函数的零点的个数.【详解】由可得，所以函数零点的个数为方程的根的个数，也即为两个函数，的图象交点的个数，在坐标系中画出两个函数，的图象，由图知：函数，的图象有个交点，所以函数零点的个数为，故选：D.10（2021贵州省思南中学（理）已知函数，若方程有4个零点，则的可能的值为（ ）ABCD【答案】B【分析】求得解析式，令，将问题转化为的图象与的图象有四个不同的交点来求解出的取值范围，由此确定正确选项.【详解】当，所以.令，得，依题意，的图象与的图象有四个不同的交点，画出和的图象如下图所示.
26、由图可知，要使的图象与的图象有四个不同的交点，需，即.四个选项中只有B选项符合.故选： B11（2021陕西省洛南中学高二月考（理）函数有三个零点，则的取值范围为_.【答案】【分析】利用导数讨论函数的单调性，求出函数的极大值和极小值，结合题意列出不等式组，解不等式组即可.【详解】因为函数，所以，令或，所以函数在和上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得极小值，且，当时，取得极大值，且，又函数有三个零点，所以，解得.故答案为：12（2021山西祁县中学高三月考（理）关于函数有下述四个结论：是偶函数；在区间单调递减；在有4个零点；的最大值为2.其中所有正确结论的编号是_【答案】【分析】利用函数奇偶
27、性的概念即可判断；由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断；由函数是偶函数，则只需要考虑0，上的零点个数，再根据正弦函数的零点即可判断；由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断【详解】函数的定义域为R，又，函数是偶函数，故正确；当时，在上单调递减，故正确；函数是偶函数，只需要考虑0，上的零点个数，此时，在0，上有2个零点，为x0和x，在，有3个零点，为x0、x和x，故错误；函数是偶函数，考虑x0的情况即可，当时，的最大值为2，故正确故答案为：13（2021全国高三开学考试（理）已知函数是定义域在R上的偶函数，当时，若关于x的方程有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值
28、范围是_【答案】【分析】由已知作出函数的图象，题设方程的根的个数即和的根的个数，由图象易得参数范围【详解】画出函数的图象，如图所示由，可得或，因为由图象知当时，方程有2个根，又关于x的方程有且仅有6个不同实数根，所以有4个根，由图知，当时，方程有4个根故答案为：B卷 能力提升14（2022浙江高三专题练习）设函数，若互不相等的实数、满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】作出函数的图象，设，求出的取值范围，利用对称性求得，由此可得出的取值范围.【详解】因为，即，设，作出函数的图象如下图所示：由图象可知，点、关于直线对称，则，由图可知，因此，.故选：B.15（2020淮北市树人高级中
29、学高一月考）已知函数，若方程有4个解时，实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】设，做出函数图像，分析的实根情况，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论【详解】根据函数，做出其大致图像如下：设，根据函数图像有：当时，方程有2个实数根；当时，方程有3个实数根；当时，方程有2个实数根；当时，方程有1个实数根；当时，方程没有实数根；当若的零点个数为4个时，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；令，当时，则，即，解得；当时，则，即，无解；当，时，则，即，解得，综上：，故选：A.17（2021湖南周南中学高一开学考试）已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关
30、于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】首先画出的图象，令，化简题目所给方程，结合图象求得的取值范围.【详解】依题意，画出图象如下图所示，当时，依题意关于的方程有且只有个不同实数根.设，则方程必有两个根，且，所以.故选：B18（2021河北保定高三月考（理）已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【分析】作出图象，令，数形结合，可得时有1个根，时有2个根，将所求转化为，结合题意，可得两根的范围，解不等式，即可得答案.【详解】作出图象，如图所示，令，当时，与图象有1个交点，即有1个根，当时，与图象有2个交点，即有2个
31、根，则关于的方程转化为，由题意得，解得，方程的两根为，因为关于的方程有三个不同的实数，则，解得，满足题意.故选：A19（2022全国高三专题练习）已知函数f(x)，若在该函数的定义域0，6上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得，则实数k的取值范围是_.【答案】【分析】根据给定条件可得方程在0，6上有3个互异的根，转化成直线y=kx与函数y=f(x)的图象有3个公共点，数形结合即可得解.【详解】在0，6上存在互异的3个数x1，x2，x3，使得，即方程在0，6上有3个互异的根，于是得直线y=kx与函数y=f(x)的图象在0，6上有3个公共点，函数y=f(x)，x0，6的图象如图所示，直线y=kx
32、随着k从0开始不断增大而围绕原点逆时针旋转，当k=0时，直线y=kx与函数y=f(x)的图象只有一个公共点，直线y=kx与函数y=f(x)的图象的公共点为时，当时，直线y=kx与函数y=f(x)的图象始终有3个公共点，当时，直线y=kx与函数y=f(x)的图象最多有2个公共点，所以实数k的取值范围是.故答案为：20（2020江苏省平潮高级中学高一月考）已知函数，若abc互不相等，且，则的取值范围是_.【答案】【分析】由函数的解析式作出函数f（x）的图象，设f（a）=f（b）=f（c）=m，且abc，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a+b=1以及c的范围，即可得出a+b+c的取值范围【详解
33、】作出函数的图象如图，直线y=m交函数图象于如图，不妨设abc，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1当直线y=m=1时，由，解得x-1=2020，即x=2021，若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由abc可得2c2021，因此可得3a+b+c2022，即a+b+c3，2022）故答案为： 21（2021天津滨海高新技术产业开发区第一学校高二期末）已知函数是偶函数，当时，关于x的方程有且仅有6个不同的实根，则实数a的范围是_.【答案】【分析】根据题意作出的图象，令，则方程为，若方程有且仅有6个不同的实根，则方程有两个实数根，即可得出答案.【详解】根据题意作出的图象， 令，则方程为，若方程有且仅有6个不同的实根，则方程有两个实数根，所以其中一个根为0，且另一根在区间，所以，解得，所以a的取值范围.故答案为：.37