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1、函数与方程基础知识1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法4.规律总结a辨明三个易误点(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横
2、坐标(2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件(3)精确度不是近似值b会用判断函数零点个数的三种方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点c明确三个等价关系(三者相互转化)经典例题（理解定义）1若函数f(x)axb有一个零点是2，那
3、么函数g(x)bx2ax的零点是()A0，2B0，C0， D2，2函数yf(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)f(4)0，取区间(2，4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间为_3函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2) 函数零点所在区间的确定例1.(2014高考北京卷)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4) D(4，)例2.(1)(2015广东揭阳联考)下列说法，正确的是() A对于函数f(x)，因为f(1)f(1)0，所以函数f(
4、x)在区间(1，2)内没有零点C对于函数f(x)x33x23x1，因为f(0)f(2)0，所以函数f(x)在区间(0，2)内必有零点D对于函数f(x)x33x22x，因为f(1)f(3)0，所以函数f(x)在区间(1，3)内有唯一零点(2)(2013高考重庆卷)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内 函数零点个数的问题(高频考点)规律方法判断函数yf(x)零点个数的三种常用方法：(1) 直接法令f(x)0，则方程实根的个数就是函数零点的个
5、数(2) 零点存在性定理法判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数(3)数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)注意若已知f(x)有几个零点，则用数形结合法，转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解例1.(2014高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，3例2.已知0a1，k0，函数f(x)若函数g(
6、x)f(x)k有两个零点，则实数k的取值范围是_例3.(1)已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0 B2，0C. D0(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的解的个数是()A0 B2C4 D6 与二次函数有关的零点分布例1.已知关于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围例2.是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点？
7、若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由练习题：1设f(x)x3bxc是1，1上的增函数，且ff0，则方程f(x)0在1，1内()A可能有3个实数根B可能有2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数根2函数f(x)|x5|2x1的零点所在的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)3函数f(x)(x22 014x2 015)ln(x2 015)的零点有()A0个 B1个C2个 D3个4(2015广东六校联考(一)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为()A. B.C.D.5若函数f(x)x22a|x|4a
8、23的零点有且只有一个，则实数a()A.或 BC. D以上都不对6函数f(x)的零点个数是_7若函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是_8函数ym有两个零点，则m的取值范围是_9已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.10已知a是正实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1，1上有零点，求a的取值范围高考水平训练1(2015湖北武汉模拟)若函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分()A5次 B6次C7次 D8次2(2015皖西七校联考)已知函数f(x)e|x
9、|x|，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A(0，1) B(1，)C(1，0) D(，1)3 (2015南宁模拟)已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，则ab_4(2015北京西城期末)设函数f(x)则ff(1)_；若函数g(x)f(x)k存在两个零点，则实数k的取值范围是_5设函数f(x)(x0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围6(选做题)(1)已知f(x)x22mx3m4.m为何值时，有两个零点且均比1大；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围