幂级数展开优秀PPT.pptx

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1、第三章第三章 幂级数绽开幂级数绽开(4)(4)函数有精确表示和近似表示：函数有精确表示和近似表示：精确表示（解析表示）精确表示（解析表示）表示为初等函数通过四则运算；表示为初等函数通过四则运算；近似表示（靠近）：将简洁近似表示（靠近）：将简洁/困难的问题，困难的问题，用通用的方法来表示。简化计算，节约时用通用的方法来表示。简化计算，节约时间。间。级数表示级数表示 探讨如何用幂级数不断的靠近探讨如何用幂级数不断的靠近原函数。原函数。13.1 复数项级数复数项级数（一）复数项级数的概念（一）复数项级数的概念3级数是无穷项的和级数是无穷项的和,复无穷级数复无穷级数原级数成为原级数成为这样复级数这样复

2、级数 归结为两个实级数归结为两个实级数 与与 ，实级数的一些性质可移用于复级数。实级数的一些性质可移用于复级数。4（二）收敛性问题（二）收敛性问题 1、收敛定义：、收敛定义：2、柯西收敛判据柯西收敛判据 （级数收敛的（级数收敛的充分必要条件充分必要条件）：）：对于任给的小正数对于任给的小正数 必有必有N 存在，使得存在，使得 nN 时，时，式中式中 p 为任意正整数。为任意正整数。前前n+1项和项和 当当n ，有确定的极限，有确定的极限，便称便称级数级数收敛收敛，S称为级数和称为级数和；若极限不存在，；若极限不存在，则称级数则称级数发散发散。53、确定收、确定收敛级敛级数数若若 收收敛敛，则则

3、 确定收确定收敛敛.确定收敛级数变更各项先后次序，和不变确定收敛级数变更各项先后次序，和不变.两个确定收敛级数逐项相乘，得到的级数也是确定收敛两个确定收敛级数逐项相乘，得到的级数也是确定收敛的，级数的和为两级数和之积的，级数的和为两级数和之积.6(三三)复变复变函数函数项项级数级数的每一项都是复变函数。事实上，对于的每一项都是复变函数。事实上，对于 z 的一个的一个确定值，复变项级数变成一个复数项级数。确定值，复变项级数变成一个复数项级数。复变复变函数函数项项级数有一个级数有一个定义域定义域 B。收敛收敛-复变复变函数函数项项级数在其定义域级数在其定义域 B 中每一点都收中每一点都收敛，则称在

4、敛，则称在 B 中收敛。中收敛。7柯西收敛判据柯西收敛判据(复变项级数收敛的充分必要条件复变项级数收敛的充分必要条件)：对对B内每点内每点 z，任给小正数，任给小正数 0，必有，必有 N(,z)存在，存在，使得当使得当 nN(,z)时，时，式中式中 p 为随意正整数。为随意正整数。N一般随一般随 z不同而不同。不同而不同。但如果对任给小正数但如果对任给小正数 0，存在与，存在与 z无关的无关的 N(),使得使得 nN()时，上式成立，便说时，上式成立，便说 在在B内内一致收敛一致收敛。8（四）一样收敛级数的性质（四）一样收敛级数的性质记级数和为记级数和为w(z)w(z)。在在B B内一样收敛的

5、级数，假如级数的每一项内一样收敛的级数，假如级数的每一项 wk(z)wk(z)都是都是B B内的连续函数，则级数的和内的连续函数，则级数的和w(z)w(z)也是也是B B内的内的连续函数。连续函数。逐项求积分逐项求积分 在曲线在曲线 l 上一样收敛的级数，假如上一样收敛的级数，假如级数的每一项级数的每一项 wk(z)都是都是l上的连续函数，则级数上的连续函数，则级数的和的和w(z)也是也是l上的连续函数，而且级数可沿上的连续函数，而且级数可沿 l 逐逐项求积分。项求积分。9逐项求导数逐项求导数设级数设级数 在在 中一致收敛，中一致收敛，wk(z)(k=0,1,2,)在在 中中单值解析单值解析，

6、则，则级数的和级数的和w(z)也是也是 中的中的单值解析函数单值解析函数,w(z)的各阶导数的各阶导数可由可由 逐项求导数得到，即：逐项求导数得到，即：且最后的级数且最后的级数 在在 内的任意一个闭区域内的任意一个闭区域中一致收敛。中一致收敛。10（五）级数一致收敛的外氏（五）级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法（）判别法（p34）如果对于某个区域如果对于某个区域 B(或曲线或曲线 l)上所有各点上所有各点 z,复复变项级数变项级数 各项的模各项的模 （mk是与是与 z 无关的正常数无关的正常数)，而正的常数项级数，而正的常数项级数 收敛，则收敛，则 在区域在区域B(或曲线或曲线

7、 l )上上绝对绝对且一致收敛且一致收敛。113.2 幂级数幂级数（一）定义（一）定义(3.2.1)最最简洁简洁的解析函数的解析函数项级项级数是数是幂级幂级数，其各数，其各项项均均为幂为幂函数函数其中其中 z0,a0,a1,a2,为为复常数。复常数。这样这样的的级级数数叫作以叫作以 z0为为中心的中心的幂级幂级数。数。12(3.2.3)(3.2.4)引入记号引入记号 若若 则实幂级数则实幂级数(3.2.2)收敛收敛，复幂级数复幂级数(3.2.1)绝对收敛绝对收敛若若 则则(3.2.2)发散发散（二）幂级数敛散性（二）幂级数敛散性 1、比值判别法（达朗贝尔判别法）、比值判别法（达朗贝尔判别法）(

8、3.2.2)13R收敛发散故当故当 ，绝对收敛绝对收敛 当当 ，发散发散R：收敛半径收敛半径CR:收敛圆收敛圆2、根式判别法：、根式判别法：143、幂级幂级数在收数在收敛圆敛圆内部确定且一内部确定且一样样收收敛敛幂级数在收敛圆内确定且一样收敛！幂级数在收敛圆内确定且一样收敛！作作 ，在，在收敛发散R有有对正的常数项级数对正的常数项级数 应用比值判别法，有应用比值判别法，有15（三）例题（三）例题例例1 求求 的收敛圆。的收敛圆。t 为复数为复数收敛圆内部为解：解：收敛圆半径其实，对于16例例 2 求求 的收敛圆，的收敛圆，z 为复数。为复数。解：解：z 平面收敛圆平面收敛圆t 平面收敛圆平面收

9、敛圆17（四）幂级数在收敛圆内的性质（四）幂级数在收敛圆内的性质1、幂级数每一项均是、幂级数每一项均是z的解析函数，而且的解析函数，而且在收敛圆内任一闭区域中一样收敛，所在收敛圆内任一闭区域中一样收敛，所以级数的和以级数的和w(z)是收敛圆内的一个解析函是收敛圆内的一个解析函数。数。2、幂级数在收敛圆内可逐项积分、幂级数在收敛圆内可逐项积分3、幂级数在收敛圆内可逐项求导、幂级数在收敛圆内可逐项求导且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。且幂级数逐项求导或积分后收敛半径不变。19本节作业：第本节作业：第37页页第第3题（题（1，3，4）。）。20（一）泰勒定理：设（一）泰勒定理：设 f(z)在以在

10、以 z0 为圆心的为圆心的圆圆 CR 内解析，则对圆内的随意内解析，则对圆内的随意 z 点点,f(z)可展为幂级数，可展为幂级数，其中绽开系数为其中绽开系数为 为圆为圆CR 内包含内包含z且与且与CR 同心的圆。同心的圆。为为 上的点，上的点，z0称为该称为该级数级数的展开中心。的展开中心。3.3 泰勒（泰勒（Taylor）级级数数绽绽开开21其中其中证明：证明：作作 ,因为因为f(z)在在单闭区域单闭区域上上解析，由柯西公式解析，由柯西公式(2.4.3)展开（注意展开（注意）(3.3.1)22将（）代入（）逐项积分将（）代入（）逐项积分 即即以以 z0 为中心的泰勒级数。为中心的泰勒级数。(

11、3.3.3)可以证明（可以证明（p39），以），以 z0 为中心的泰勒级数是唯一的。为中心的泰勒级数是唯一的。泰勒级数的收敛半径泰勒级数的收敛半径R等于绽开中心等于绽开中心 z0至被绽开函数至被绽开函数的最近奇点的最近奇点b的距离，即的距离，即 R=b-z023例例 在在 z0=0的邻域上将的邻域上将 ez 展开。展开。解解 因为因为故故收敛半径收敛半径 （二）将解析函数展成泰勒级数的方法（二）将解析函数展成泰勒级数的方法1 1、干脆求、干脆求、干脆求、干脆求导计导计导计导计算算算算最一般的方法最一般的方法最一般的方法最一般的方法24例例 在在 z0=1的邻域上将的邻域上将ez 绽开。绽开。解

12、解故故收敛半径收敛半径 例例 在在 z0=0 邻域的上将邻域的上将 f1(z)=sin z 和和 f2(z)=cos z绽开绽开.解解2526类似类似收敛半径收敛半径收敛半径收敛半径27例例 在在 z0=1 邻域的上将邻域的上将 绽开。绽开。解解 lnz 是是多值函数多值函数，各分，各分支在支点支在支点 0,相连。但相连。但 z0=1 不是支点，在其不是支点，在其 z-z01的邻域各分支相互独立。的邻域各分支相互独立。多多值函数在确定了单值分支后，值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开分支上作泰勒展开。oyx128收敛半径收敛半径 R=1。n

13、=0的那一支为的那一支为主值分支主值分支。例例 在在 z0=0的邻域上将的邻域上将 展开展开(m不是整数不是整数).解解 29于是于是收敛半径收敛半径 R=1。式中。式中n=0为主值分支为主值分支。(3.3.11)非非整数二项式定理。整数二项式定理。(3.3.11)31若存在若存在R,使使f(z)在以在以 z=0为圆心，为圆心，R为半径的圆外（包为半径的圆外（包括括 ）解析，）解析，2*2*、无、无、无、无穷远穷远穷远穷远点点点点邻邻邻邻域内的泰勒域内的泰勒域内的泰勒域内的泰勒绽绽绽绽开开开开有有作变换作变换3 3、利用初等函数的泰勒、利用初等函数的泰勒、利用初等函数的泰勒、利用初等函数的泰勒

14、级级级级数数数数进进进进行行行行绽绽绽绽开开开开基本公式基本公式对于其他对于其他函数，总是函数，总是尽量利用这尽量利用这些基本公式些基本公式3233例例(1)例例(2)以以z=0为中心，将有理函数为中心，将有理函数 Taylor展开展开有理函数先化为部分分式后再利用公式有理函数先化为部分分式后再利用公式解：解：例例(3)以以z=0为中心，将函数为中心，将函数 泰勒展开泰勒展开344 4、在收敛圆内逐项求导或逐项积分、在收敛圆内逐项求导或逐项积分、在收敛圆内逐项求导或逐项积分、在收敛圆内逐项求导或逐项积分例例(4)以以z=0为中心，将函数为中心，将函数 展开展开解：解：例例(5)以以z=1为中心

15、为中心,将函数将函数 在区域在区域 展开展开级数的形式为级数的形式为 ,先将先将f(z)化成宗量为化成宗量为(z-1)的函数的函数解：解：35例例(6)在在z=0的邻域上将多值函数的邻域上将多值函数 ln(1+z)绽开绽开设设 f(z)=ln(1+z)，则，则 ，因此，因此在区域在区域 解：解：n=0为主值分支，在主值分支为主值分支，在主值分支 ln1=0。36另解：另解：利用公式利用公式 p40（）（）（）（）有有例例(6)在在z=0的邻域上将多值函数的邻域上将多值函数 ln(1+z)绽开绽开37本节作业：第本节作业：第41页页(1)利用利用 级数逐项积分级数逐项积分,取主值取主值arctg

16、0=0；(2)利用（利用（3.3.11）绽开；）绽开；(8)利用利用 cos z 或或 sin z 级数绽开。级数绽开。3.5 洛朗（洛朗（Laurent）级级数数绽绽开开（一）双（一）双边幂级边幂级数数正幂部分有收敛半径，正幂部分有收敛半径，R1，引入新变量，引入新变量 负幂部负幂部分成为分成为有收敛半径，有收敛半径，其在其在 内部收敛内部收敛,即在即在 的外部收敛。的外部收敛。若若 R2 R1 级数发散。级数发散。4041（二）定理（二）定理设设f(z)在环形区域在环形区域 的的内部单值解析，则对环域上任一点内部单值解析，则对环域上任一点 z，f(z)可展为幂级数可展为幂级数z其中其中路径

17、路径C 为为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。合曲线。(3.5.3)(3.5.4)45 关于洛朗关于洛朗级级数数绽绽开的特殊开的特殊说说明（明（p45）(1)尽管上式中含有尽管上式中含有(z-z0)的的负幂负幂次次项项，而，而这这些些项项在在z=z0 点是奇异的，但点是奇异的，但 z0点可以是也可以不点可以是也可以不是函数是函数 f(z)的奇点；的奇点；(2)尽管求尽管求绽绽开系数开系数ak 的公式与的公式与 Taylor 绽绽开系数开系数的的积积分公式形式一分公式形式一样样，但，但ak f(k)(z0)/k!,不不论论z0是否是否 f(z

18、)的奇点的奇点.若若z0 为为f(z)的奇点的奇点,则则f(k)(z0)根根本不存在本不存在;若若 z0 不是不是f(z)的奇点的奇点,则则f(k)(z0)存在存在,但仍是但仍是ak f(k)(z0)/k!。因为。因为 成立的条件是在以成立的条件是在以C为边界的区域上为边界的区域上 f(z)解析，解析，而现在区域上有而现在区域上有 f(z)的奇点（若无奇点就无需的奇点（若无奇点就无需考虑洛朗考虑洛朗 绽开了）绽开了）46洛朗洛朗 级数级数 绽开也是唯一的。绽开也是唯一的。因此可用各种方法求一个函数的洛朗绽开。因此可用各种方法求一个函数的洛朗绽开。(3)假如只有假如只有环环心心 z0 是是 f(

19、z)的奇点，的奇点，则则内内圆圆半半 径可以无限小，径可以无限小，z 可以无限接近可以无限接近 z0,这时这时称称 （3.5.3）为为f(z)在它的孤立奇点在它的孤立奇点 z0 邻邻域上的域上的 洛朗洛朗绽绽开式。下开式。下节节用以探用以探讨讨函数在其孤立函数在其孤立 奇点旁奇点旁边边的性的性质质。47 例例1 在在z0=0 的的邻邻域上将域上将 f(z)=sinz/z绽绽开开重新定义重新定义z0=0时时 f(z)无定义，但无定义，但在挖去原点的环域中在挖去原点的环域中无负幂次项48例例2 在在 的环域上将的环域上将 f(z)=1/(z2-1)绽开绽开解解f(z)的奇点不是的奇点不是绽绽开中心

20、开中心 z=0，而是，而是z=1,-1。还还是利用公式是利用公式绽绽开开无限多负幂次项49例例3 在在 z0=1 的邻域将的邻域将 f(z)=1/(z2-1)绽开绽开解：解：其中其中于是于是f(z)的奇点是的奇点是 z=1,-1，去心邻域去心邻域 ，(z-1)的幂级数的幂级数出现-1次幂项50例例4 在在z0=0 的邻域将的邻域将 绽开绽开解解无限多负幂次项51（三）求函数洛朗级数绽开方法（三）求函数洛朗级数绽开方法找出函数的奇点；找出函数的奇点；以绽开中心为圆心，以奇点到绽开中心的距离为半以绽开中心为圆心，以奇点到绽开中心的距离为半径作圆；径作圆；这些圆把复平面化分为若干个绽开区域，将函数在

21、这些圆把复平面化分为若干个绽开区域，将函数在各个区域上分别绽开。各个区域上分别绽开。（1 1）干脆法：由定义求）干脆法：由定义求.太繁杂，一般不用。太繁杂，一般不用。（2 2）间接法：）间接法：借助一些常用函数的级数绽开式，以唯一性为依据，借助一些常用函数的级数绽开式，以唯一性为依据，运用幂级数的性质、代数运算、求导和积分等得到解析运用幂级数的性质、代数运算、求导和积分等得到解析函数的洛朗绽开式。具体步骤：函数的洛朗绽开式。具体步骤：52例例 以以 z=0 为中心将为中心将 函数函数 绽开绽开(1)解 在复平面中f(z)仅有两个奇点：z=1和z=2，故在复平面中以z=0为中心，可以在以下三个区

22、域进行绽开。(2)(3)54本节作业：第本节作业：第47页页（3，10，14）。）。553.6 孤立奇点的分孤立奇点的分类类在不同在不同类类型的奇点旁型的奇点旁边边，函数具有不，函数具有不同的性同的性质质.(一一)孤立奇点的定孤立奇点的定义义若函数若函数 f(z)在某点在某点 z0 不行不行导导。而在。而在 z0 的随意小的随意小邻邻域内除域内除z0 外到外到处处可可导导，便称便称 z0 为为 f(z)的孤立奇点。若在的孤立奇点。若在 z0 点的无点的无论论多么小的多么小的邻邻域内，域内，总总可以可以找到除找到除 z0 以外的不行以外的不行导导的点，便称的点，便称 z0 为为 f(z)的非孤立

23、奇点。的非孤立奇点。例例1 z=0 是是 函数函数 f(z)=z(z-1)-1的孤立奇点，因为在以的孤立奇点，因为在以z=0 为圆心，为圆心，R1 的圆内，除的圆内，除 z=0 外，无其它不行导点。外，无其它不行导点。例例2 z=0 是函数是函数 sin(1/z)-1 的非孤立奇点，因为该函数的的非孤立奇点，因为该函数的 奇点为奇点为 zn=1/n,n=0,1,2.,只要只要 n 足够大，足够大，1/n 可以随意接近于可以随意接近于 z=0,即在即在 z=0 的无论多么小的邻域内，的无论多么小的邻域内，总可以找到函数的其它奇点。总可以找到函数的其它奇点。56(二二)孤立奇点的分类孤立奇点的分类

24、设设z0 是单值函数是单值函数 f(z)的孤立奇点，则在的孤立奇点，则在 z0 的去心的去心邻域邻域 0|z-z0|R 上上,可展成可展成 洛朗洛朗 级数：级数：正幂部分：正幂部分：解析部分解析部分，负幂部分：，负幂部分：主要部分主要部分若展式不含负幂项：若展式不含负幂项：z0为为 f(z)的的可去奇点可去奇点若展式含有限个负幂项：若展式含有限个负幂项：z0 为为f(z)的的极点极点若展式含无限个负幂项：若展式含无限个负幂项：z0 为为f(z)的的本性奇点本性奇点（三）函数在孤立奇点邻域的性质（三）函数在孤立奇点邻域的性质1、可去奇点、可去奇点57有有定义定义则则为为Taylor 绽开。例绽开

25、。例p45（sin z/z）,可去奇点今后将不可去奇点今后将不作为奇点看待作为奇点看待.2、极点、极点58m：极点的阶，一阶极点称单极点：极点的阶，一阶极点称单极点有有设设 z0 是是 f(z)的极点，则当的极点，则当z0 满足以下三条中任一条时，满足以下三条中任一条时，均为均为 f(z)的的m阶极点。阶极点。，其中(z)在 中解析,(z0)0；(z)=f(z)-1以 z=z0 为m阶零点；若(z)在z0点解析，且(z0)=0，称z0点为(z)的零点；若(z0)=(z0)=(m-1)(z0)=0 ,(m)(z0)0,z0点称为(z)的m阶零点。非零的有限值。593、本性奇点、本性奇点极限极限

26、与与 zz0 的方式有关，或称无极限。的方式有关，或称无极限。例例 z=0是函数是函数 e1/z 的本性奇点，在的本性奇点，在|z|的环域内，的环域内，其洛朗其洛朗 级数为级数为当 (1)z 沿正实轴0 时，1/z ,故 e1/z ；(2)z 沿负实轴0 时，1/z ,故 e1/z ；(3)z 沿虚轴，按i/(2n)序列 0 时，e1/z 1。60（四）无穷远点（四）无穷远点1、无穷远点为孤立奇点的定义、无穷远点为孤立奇点的定义 设设f(z)在在点的去心邻域点的去心邻域 解析，解析，则则点为点为f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。其洛朗其洛朗 级数为级数为负幂部分为负幂部分为解析部分解析部分，正幂部分为，正幂部分为主要部分主要部分613）假如洛朗）假如洛朗绽绽开包含无限个正开包含无限个正幂项幂项，z=为为 f(z)的本性奇点。当的本性奇点。当 z ，f(z)之之值值不定。不定。1）假如洛朗）假如洛朗绽绽开不含正开不含正幂项幂项，z=为为 f(z)的可去奇点；的可去奇点；2）假如洛朗）假如洛朗绽绽开包含有限个正开包含有限个正幂项幂项，z=为为f(z)的极点；的极点；2、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类