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1、1 1 1 1、求幂级数收敛半径的方法、求幂级数收敛半径的方法、求幂级数收敛半径的方法、求幂级数收敛半径的方法2 2 2 2、复变函数泰勒绽开条件与绽开方法、复变函数泰勒绽开条件与绽开方法、复变函数泰勒绽开条件与绽开方法、复变函数泰勒绽开条件与绽开方法3 3 3 3、复变函数洛朗绽开条件与绽开方法、复变函数洛朗绽开条件与绽开方法、复变函数洛朗绽开条件与绽开方法、复变函数洛朗绽开条件与绽开方法4 4 4 4、极点阶的确定、极点阶的确定、极点阶的确定、极点阶的确定第三章第三章 幂级数绽开幂级数绽开重点内容重点内容重点内容重点内容3.1 3.1 复数项级数复数项级数一、复数项级数定义及其收敛判据一、
2、复数项级数定义及其收敛判据一、复数项级数定义及其收敛判据一、复数项级数定义及其收敛判据1.复数项级数定义：复数项级数定义：每一项均为复数每一项均为复数说明：说明：实数项级数是复数项级数的特例实数项级数是复数项级数的特例一个复数项级数可转化为两个实数项级数来探讨一个复数项级数可转化为两个实数项级数来探讨2、复数项级数的收敛判据、复数项级数的收敛判据-Cauchy收敛判据收敛判据 （1）实数项级数的收敛定义）实数项级数的收敛定义 如果实数项级数如果实数项级数的部分和序列的部分和序列有极限有极限S S，即，即 .极限极限S S称为级数的和称为级数的和.反之，称为发散。反之，称为发散。则称级数则称级数
3、 收敛。收敛。（2）复数项级数的收敛定义复数项级数的收敛定义如果复数项级数如果复数项级数的部分和序列的部分和序列有极限有极限S S，即，即 .则称级数则称级数 收敛。收敛。极限极限S S称为级数的和称为级数的和.反之，称为发散。反之，称为发散。（3）实数项级数）实数项级数Cauchy收敛原理收敛原理级数级数收敛的充分必要条件为：收敛的充分必要条件为：成立。成立。对于任意给定的正数对于任意给定的正数,总存在自然数总存在自然数N 使得当使得当n N 时，时，对于随意的自然数对于随意的自然数p p 都有：都有：证明见高等数学教材。证明见高等数学教材。（4）复数项级数）复数项级数Cauchy收敛原理收
4、敛原理说明说明nN后面项的和为一小数，则级数收敛。后面项的和为一小数，则级数收敛。证明略证明略函数项级数函数项级数收敛的充分必要条件为：收敛的充分必要条件为：成立。成立。对于任意给定的正数对于任意给定的正数,总存在自然数总存在自然数N(z)使得当使得当n N(z)时，时，对于随意的自然数对于随意的自然数p p 都有：都有：二、确定收敛与一样收敛的概念及性质二、确定收敛与一样收敛的概念及性质二、确定收敛与一样收敛的概念及性质二、确定收敛与一样收敛的概念及性质1 1 1 1、确定收敛确定收敛确定收敛确定收敛 确定收敛的定义确定收敛的定义，a.如果级数如果级数是绝对收敛的，则该级数收敛。是绝对收敛的
5、，则该级数收敛。充分条件充分条件常用推断级数确定值收敛的方法来推断级数的收敛常用推断级数确定值收敛的方法来推断级数的收敛由复数级数由复数级数的各项模的各项模 、.组成的新级数组成的新级数或写为或写为 、收敛，则称这个级数收敛，则称这个级数为绝对收敛级数。为绝对收敛级数。性质：性质：b.如果级数如果级数和和是绝对收敛的，将它们逐项相乘，是绝对收敛的，将它们逐项相乘，得到的级数得到的级数 也是绝对收敛的。也是绝对收敛的。c.c.变更确定收敛级数各项的先后次序其和不变。变更确定收敛级数各项的先后次序其和不变。和相同和相同成立。成立。则称级数则称级数 为一致收敛。为一致收敛。2 2 2 2、一样收敛、
6、一样收敛、一样收敛、一样收敛 一样收敛的定义一样收敛的定义 假如级数定义在区域假如级数定义在区域B（或某曲线（或某曲线l）上，则在区域）上，则在区域B（或（或l）上的各点）上的各点z，对于给定的小正数，对于给定的小正数，存在与，存在与z无无关的正整数关的正整数N,使得使得n N时，对于随意的自然数时，对于随意的自然数p恒有：恒有：性质：性质：b、在、在B上一样收敛的级数的每一项都是上一样收敛的级数的每一项都是B上的连续函数，上的连续函数，则级数的和也是则级数的和也是B上的连续函数。上的连续函数。在在l上一样收敛的级数的每一项都是上一样收敛的级数的每一项都是l上的连续函数，则上的连续函数，则级数
7、的和也是级数的和也是l上的连续函数上的连续函数,而且级数可以沿而且级数可以沿l逐项积分。逐项积分。c、在、在 中一致收敛的级数的每中一致收敛的级数的每一项都在一项都在 中单值解析，则中单值解析，则级数的和也是级数的和也是 中的单值解析函数，其各阶导数可由级数中的单值解析函数，其各阶导数可由级数逐项求导得到，且导数的级数在逐项求导得到，且导数的级数在 内的任意一个闭区域中内的任意一个闭区域中一致收敛。一致收敛。a、一样收敛是对、一样收敛是对B或或l而言，或者说是对复函数而言的。而言，或者说是对复函数而言的。三、级数确定收敛性的常用判别法：三、级数确定收敛性的常用判别法：三、级数确定收敛性的常用判
8、别法：三、级数确定收敛性的常用判别法：达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembent）判别法判别法对于级数对于级数如果（至少当如果（至少当n充分大时）充分大时）则级数则级数 绝对收敛。反之，发散。绝对收敛。反之，发散。柯西柯西(Cauchy)判别法判别法 如果（至少当如果（至少当n充分大时）充分大时）1 1，则级数，则级数 是绝对收敛的，反之，发散。是绝对收敛的，反之，发散。高斯（高斯（Gauss）判别法）判别法假如（至少当假如（至少当n n充分大时）充分大时）常数常数时，级数时，级数 绝对收敛；绝对收敛；其中其中p1，而，而n 是有界的。是有界的。当当时级数发散。时级数发散。3.2 3.2 幂级数幂
9、级数一、幂级数表示一、幂级数表示一、幂级数表示一、幂级数表示其中其中 都是复常数，这样的级数称为以都是复常数，这样的级数称为以z0为为中心的幂级数。中心的幂级数。二、幂级数的收敛半径及其求法：二、幂级数的收敛半径及其求法：二、幂级数的收敛半径及其求法：二、幂级数的收敛半径及其求法：1、收敛半径、收敛半径R：应用正项级数的比值判别法可知应用正项级数的比值判别法可知,假如假如则幂级数确定收敛。否则发散。则幂级数确定收敛。否则发散。引入记号引入记号R，于是，若于是，若则幂级数绝对收敛。若则幂级数绝对收敛。若则幂级数发散。则幂级数发散。以为圆心作一个半径为以为圆心作一个半径为的圆，幂级数在圆的内部绝的
10、圆，幂级数在圆的内部绝对收敛，在圆外发散。这个圆称为幂级数的收敛圆，它的半对收敛，在圆外发散。这个圆称为幂级数的收敛圆，它的半径称为收敛半径。径称为收敛半径。1 1 幂级数绝对收敛；若幂级数绝对收敛；若1 1则发散。则发散。R=收敛半径为收敛半径为 对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）2、Cauchy法求收敛半径法求收敛半径应用正项级数的根值判别法可知应用正项级数的根值判别法可知,假如假如解：解：解：解：故级数在故级数在1 1的圆内收敛。的圆内收敛。级数的和为（几何级数）级数的和为（几何级数）例例例例 求级数求级数的收敛圆，的
11、收敛圆，t 为复变数。为复变数。令令解解解解收敛半径为收敛半径为级数为级数为级数的和为级数的和为例例例例2 2 2 2 求级数求级数的收敛半径。的收敛半径。z为复变数。为复变数。例例例例3 3 3 3 求下列级数的收敛半径；求下列级数的收敛半径；（并讨论（并讨论z=1的情况）的情况）1）（并讨论（并讨论z=0，z=2时的情况）时的情况）2）解：解：解：解：=1），这是实数项级数，为收敛级数（，这是实数项级数，为收敛级数（P 级数）。级数）。z=1时，级数为时，级数为2）在收敛圆周上在收敛圆周上当当z=0=0时，级数为：时，级数为：当当z=2时，级数为时，级数为:-调和级数，级数发散调和级数，级
12、数发散-交织级数，由莱布尼茨准则知级数收敛交织级数，由莱布尼茨准则知级数收敛三、幂级数性质三、幂级数性质三、幂级数性质三、幂级数性质1、级数在收敛圆内确定且一样收敛、级数在收敛圆内确定且一样收敛证明证明 （其中（其中 ）由由收敛，收敛，根据根据WeierstrassWeierstrass判别法，判别法，可知可知绝对且一致收敛。绝对且一致收敛。知级数知级数而由而由构成的正项级数构成的正项级数 （常数项级数），（常数项级数），2 2、级数的和在收敛圆内部是解析函数（无奇点）、级数的和在收敛圆内部是解析函数（无奇点）证明证明 该级数在该级数在 上仍一致收敛，可以沿上仍一致收敛，可以沿 逐项积分，再应
13、用逐项积分，再应用Cauchy公式，有公式，有取取 内任一点内任一点z，用，用 同乘以等式两边，同乘以等式两边，这就是说，幂级数的和可以用连续函数的回路积分来表示，这就是说，幂级数的和可以用连续函数的回路积分来表示，而连续函数的回路积分可在积分号下求导随意多次。所以，而连续函数的回路积分可在积分号下求导随意多次。所以，幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数。幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数。3 3、幂级数在收敛圆内部可以逐项求导随意多次。、幂级数在收敛圆内部可以逐项求导随意多次。1 1、解析函数在收敛圆内可以绽开幂级数、解析函数在收敛圆内可以绽开幂级数证明证明f(z)在在CR内解析，则应用内解析
14、，则应用Cauchy公式，在公式，在CR内有内有将将展为以展为以z0为圆心的收敛圆内的幂级数：为圆心的收敛圆内的幂级数：3.3 3.3 泰勒级数绽开泰勒级数绽开1、解析函数以幂级数绽开问题、解析函数以幂级数绽开问题、解析函数以幂级数绽开问题、解析函数以幂级数绽开问题由（由（3.2.73.2.7）有）有应用应用Cauchy公式，逐项积分，有公式，逐项积分，有内的点，内的点，上的点，上的点，z 是是是是解析函数在收敛圆内绽开的级数称为泰勒级数。解析函数在收敛圆内绽开的级数称为泰勒级数。1）解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是）解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是 唯一的。（证明
15、略）唯一的。（证明略）2）若函数）若函数f(z)在收敛圆上或外部不解析，则函数与绽开在收敛圆上或外部不解析，则函数与绽开 的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等。的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等。2 2、说明、说明二、解析函数展为泰勒级数举例二、解析函数展为泰勒级数举例二、解析函数展为泰勒级数举例二、解析函数展为泰勒级数举例1、干脆绽开法：、干脆绽开法：在在的邻域上把的邻域上把展开。展开。例例例例1 1 1 1解：解：也是解析的，而也是解析的，而在整个复平面上解析，在在整个复平面上解析，在的邻域上的邻域上故有：故有：收敛半径：收敛半径：在在的邻域上将的邻域上将展开。展开。例例例例2 2 2 2（1
16、1）在整个复平面上解析的，在在整个复平面上解析的，在的邻域上解析，的邻域上解析，解：解：同理同理：请同学们自己证明。请同学们自己证明。解：解：例例例例3 3 3 3 求求在在z=0z=0处的泰勒级数。处的泰勒级数。2 2、间接绽开法、间接绽开法 f(z)=ln(1+z)解解求函数求函数在在z=0的泰勒展开。的泰勒展开。例例例例4 4 4 43.4 3.4 解析延拓解析延拓一、问题的提出与解析延拓的概念一、问题的提出与解析延拓的概念一、问题的提出与解析延拓的概念一、问题的提出与解析延拓的概念1 1、问题的提出、问题的提出（除（除以外）以外）上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的，只有在上式的左
17、端的函数在很大的区域内都是解析的，只有在 点不解析，但上式右端泰勒级数只在点不解析，但上式右端泰勒级数只在 区区域解析，这样，我们可以说有两个函数：域解析，这样，我们可以说有两个函数：两函数的关系：两函数的关系：函数函数 的解析区域大于的解析区域大于 的解析区域的解析区域在小区域上在小区域上能否通过能否通过 找到找到 呢？呢？2.2.解析延拓：解析延拓：若已知若已知f(z)在某个邻域在某个邻域b上解析，若能找到另一个函上解析，若能找到另一个函数数F(z)，使它在含有区域，使它在含有区域b的一个较大的邻域上是解析的，的一个较大的邻域上是解析的，并且在区域并且在区域b上等同于上等同于f(z)，这一
18、过程称为解析延拓。，这一过程称为解析延拓。解析延拓就是使得解析函数定义域扩大。解析延拓就是使得解析函数定义域扩大。二、解析延拓的方法：二、解析延拓的方法：二、解析延拓的方法：二、解析延拓的方法：利用泰勒级数方法进行。选区域利用泰勒级数方法进行。选区域b的内点的内点z0，在，在z0的邻域上把解析函数绽开。假如这收敛区域有一部的邻域上把解析函数绽开。假如这收敛区域有一部分超出分超出b，函数，函数f(z)定义域就扩大了一步，再在超出部定义域就扩大了一步，再在超出部分的区域选定一点为中心绽开，这样反复下去就可以分的区域选定一点为中心绽开，这样反复下去就可以找到函数全部的解析区域了。找到函数全部的解析区
19、域了。三三三三.函数解析延拓的唯一性函数解析延拓的唯一性函数解析延拓的唯一性函数解析延拓的唯一性 函数函数f(z)通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数是唯一的。是唯一的。证明证明 3.5 3.5 洛朗级数绽开洛朗级数绽开一、一、一、一、洛朗级数的定义洛朗级数的定义洛朗级数的定义洛朗级数的定义含有负幂的幂级数称为洛朗级数。含有负幂的幂级数称为洛朗级数。二、洛朗级数的收敛环二、洛朗级数的收敛环二、洛朗级数的收敛环二、洛朗级数的收敛环洛朗级数通常有两部分组成：洛朗级数通常有两部分组成：解析部分：解析部分：主要部分：主要部分：收敛环：收敛环：如果解析部分收敛半径
20、为如果解析部分收敛半径为，其收敛域，其收敛域对主要部分做复数代换对主要部分做复数代换在在z平面的问题转化为在平面的问题转化为在内探讨。内探讨。在在平面内看来，它也是泰勒级数，收敛半径为平面内看来，它也是泰勒级数，收敛半径为收敛域即：收敛域即：回到回到z平面上，收敛域为平面上，收敛域为解析部分和主要部分都收敛的区域，洛朗级数才可能收敛。解析部分和主要部分都收敛的区域，洛朗级数才可能收敛。因此，洛朗级数的收敛域为：因此，洛朗级数的收敛域为：三、洛朗定理三、洛朗定理三、洛朗定理三、洛朗定理 有时须要探讨一个函数在它的奇点旁边的性质，须要把有时须要探讨一个函数在它的奇点旁边的性质，须要把函数绽开为幂级
21、数进行探讨。在这种状况下，明显不能做函数绽开为幂级数进行探讨。在这种状况下，明显不能做泰勒绽开，而洛朗级数将解决这一问题。泰勒绽开，而洛朗级数将解决这一问题。1.1.洛朗定理：洛朗定理：设设f(z)在环形区域在环形区域的内部单值解析，则对环域上任意点的内部单值解析，则对环域上任意点z0，f(z)可展为幂级数：可展为幂级数：证明证明 取取 比外境界线稍小，比外境界线稍小，比内境界线稍大，以不考虑比内境界线稍大，以不考虑圆周上的问题。圆周上的问题。由复通区域的由复通区域的Cauchy公式，有公式，有对于第一项有对于第一项有其中其中 c是内外境界线，为正方向。是内外境界线，为正方向。所以有所以有在在
22、 上上 对于第二项，对于第二项，（3）如果只有环心是）如果只有环心是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小。的奇点，则内圆半径可以任意小。这时的展开称为孤立奇点这时的展开称为孤立奇点 的邻域内展开。的邻域内展开。四、函数的洛朗绽开法：四、函数的洛朗绽开法：四、函数的洛朗绽开法：四、函数的洛朗绽开法：几点说明几点说明（1 1）洛朗级数既可以在奇点旁边绽开，也可以在非奇点附）洛朗级数既可以在奇点旁边绽开，也可以在非奇点附 近绽开。近绽开。与泰勒级数不完全相同与泰勒级数不完全相同（2 2）例例例例1 1 1 1 将函数将函数在在z=0z=0处展开为洛朗级数。处展开为洛朗级数。解解：z=0处是函数的奇点
23、，其余在复平面上收敛，处是函数的奇点，其余在复平面上收敛，则收敛域为则收敛域为例例例例2 2 2 2 将函数将函数在在区域中展成洛朗级数。区域中展成洛朗级数。解解：函数：函数f(z)存在两个奇点：存在两个奇点：z=1，z=2，函数在上述两环域，函数在上述两环域中均解析。中均解析。级数中心均指定为级数中心均指定为z=1。（1）在环域）在环域中中（2）在区域）在区域中中例例例例3 3 求求求求ctgzctgz在在在在z=0z=0的邻域内的洛朗绽开。的邻域内的洛朗绽开。的邻域内的洛朗绽开。的邻域内的洛朗绽开。解解：用待定系数法。：用待定系数法。ctgz是奇函数，设是奇函数，设有有由此推得：由此推得：
24、将将分别在环域分别在环域展开。展开。例例例例4 4 4 4解解函数有两个奇点函数有两个奇点 z=0,z=-1。函数在给定的区域解析。函数在给定的区域解析。对于对于D1区域：区域：对于对于D2区域，请同学们自己求解。区域，请同学们自己求解。3.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类一、孤立奇点与非孤立奇点一、孤立奇点与非孤立奇点一、孤立奇点与非孤立奇点一、孤立奇点与非孤立奇点 函数函数f(z)在在z0不行导，而在不行导，而在z0点的邻域内到处可导，点的邻域内到处可导，此此z0称为称为f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。2.2.非孤立奇点：非孤立奇点：一点使一点使f(z)在该点处不行导，此点称为非孤
25、立奇点。在该点处不行导，此点称为非孤立奇点。1.1.孤立奇点：孤立奇点：函数函数f(z)在在z0的邻域内除在的邻域内除在z0点不行导以外，还至少存在点不行导以外，还至少存在解解例例例例1 1 1 1是否是函数是否是函数的孤立奇点的孤立奇点.是否是函数是否是函数的孤立奇点的孤立奇点.判断判断判断判断留意留意:孤立奇点确定是奇点孤立奇点确定是奇点,但奇点不确定是孤立奇点但奇点不确定是孤立奇点.函数函数在在z=0的邻域内除了该点以外，的邻域内除了该点以外，因此，因此，z=0是这两个函数的孤立奇点。是这两个函数的孤立奇点。同理：同理：z=-1是函数是函数 的孤立奇点。的孤立奇点。不再有不再有其它奇点。
26、其它奇点。例例例例2 2 2 2 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性.解解函数的奇点为函数的奇点为即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,总有总有 的奇点存在的奇点存在,不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以因为因为（1 1）可去奇点：）可去奇点：该点称为可去奇点。该点称为可去奇点。幂幂项）：项）：的环域内，可展为（没有负的环域内，可展为（没有负若函数若函数 f(z)在在二、孤立奇点的分类及性质：二、孤立奇点的分类及性质：二、孤立奇点的分类及性质：二、孤立奇点的分类及性质：1.1.孤立奇点的分类：孤立奇点的分类：说明说明:据此明显有据此明显有是有限的。即函数在可去奇点的
27、领域上是有界的。是有限的。即函数在可去奇点的领域上是有界的。如果定义函数如果定义函数 代替代替 ，f(z)不再是函数不再是函数 的奇点。可去奇点今后将不作的奇点。可去奇点今后将不作为奇点看待。为奇点看待。可去奇点的判定可去奇点的判定 由定义推断由定义推断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.推断极限推断极限若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.假如补充定义假如补充定义:时时,那么那么在在解析解析.级数中不含负幂项级数中不含负幂项,所以所以是是的可去奇点的可去奇点.例例例例3 3 3 3 考察考察z=0是否为函数是否为函
28、数 的可去奇点。的可去奇点。解解例例例例4 4 4 4 说明说明为为的可去奇点的可去奇点.解解 所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项另解另解 的可去奇点的可去奇点.为为0=z所以所以（2 2）极点：）极点：若函数若函数 f(z)在在的环域上的洛朗展开为的环域上的洛朗展开为（只有有限项负幂项），（只有有限项负幂项），z0称为极点，称为极点，m称为极点的阶。称为极点的阶。的极点的极点,则则为函数为函数显然，如果显然，如果极点的判定方法极点的判定方法的负幂项。的负幂项。的洛朗展开式中含有有限项的洛朗展开式中含有有限项在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻
29、域内解析,且且 由定义判别由定义判别 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别 利用极限利用极限判断。判断。是二级极点是二级极点,是一级极点。是一级极点。例例例例5 5 5 5 有理分式函数有理分式函数在复平面上有几个在复平面上有几个极点，并说明它们的级数。极点，并说明它们的级数。解解是解析函数。是解析函数。解解解解=+-1123zzz由于由于所以所以1是函数的一级极点是函数的一级极点-=z1是函数的二级极点是函数的二级极点=z的奇点的奇点,假如是极点假如是极点,指出它的级数。指出它的级数。求求例例例例6 6 6 6（3 3）本性奇点）本性奇点那么孤立奇点那么孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z z 的负幂项的负幂项 特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不为不存在且不为同时同时不存在不存在.所以所以z=0为本性奇点，为本性奇点，综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在且不存在且不为不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为