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1、第三章 幂级数展开第1页，本讲稿共31页复数项级数复数项级数意义意义:级数在某项后的级数在某项后的任意项之和趋于零任意项之和趋于零.收敛判据收敛判据:给定给定 ,必有必有N N存在存在,当当 n nNN时时,有有这里这里 为任意正整数为任意正整数.必要条件：必要条件：第2页，本讲稿共31页复函数级数的运算复函数级数的运算1.1.两级数相乘两级数相乘2.2.级数的倒数级数的倒数 如级数的各项在曲线上连续如级数的各项在曲线上连续,则级数和的则级数和的积分可逐项积分后求和积分可逐项积分后求和(积分与求和可交换次序积分与求和可交换次序).如级数的各项在区域内解析如级数的各项在区域内解析,则级数和的则级
2、数和的微分可逐项微分后求和微分可逐项微分后求和(求导与求和可交换次序求导与求和可交换次序).3.3.级数的积分级数的积分4.4.级数的微分级数的微分两级数各项相乘后按对角线项组合两级数各项相乘后按对角线项组合.级数的倒数或除法按多项式除法进行级数的倒数或除法按多项式除法进行.第3页，本讲稿共31页两级数相乘两级数相乘第4页，本讲稿共31页 一个一个幂级数幂级数必有一个以必有一个以 为圆心为圆心,以以 R R为半径为半径的收敛圆的收敛圆.圆内幂级数收敛圆内幂级数收敛,圆外幂级数发散圆外幂级数发散,圆周上幂级数的敛散性要具体判断圆周上幂级数的敛散性要具体判断.收敛半径：一一.幂级数幂级数第5页，本
3、讲稿共31页解析函数在其解析点的邻域可以展开成解析函数在其解析点的邻域可以展开成 泰勒级数泰勒级数(正幂项幂级数正幂项幂级数).及其邻域内单值解析及其邻域内单值解析在在意义意义-解析函数在解析函数在 为中心的为中心的圆域内可以用正幂圆域内可以用正幂 级数表示级数表示.二二.泰勒级数泰勒级数条件条件:第6页，本讲稿共31页科希公式科希公式泰勒展开公式泰勒展开公式等比级数等比级数由于由于泰勒公式的泰勒公式的证明证明:第7页，本讲稿共31页代入科希公式中有代入科希公式中有同时同时(再比较再比较 )科希公式科希公式第8页，本讲稿共31页第9页，本讲稿共31页第10页，本讲稿共31页级数形式应是级数形式
4、应是第11页，本讲稿共31页级数形式应是级数形式应是第12页，本讲稿共31页主要部分主要部分(负幂项负幂项)解析部分解析部分(正幂项正幂项)条件:在环域在环域内单值解析内单值解析 解析函数在除去其奇点的环域可以展开成解析函数在除去其奇点的环域可以展开成 罗朗级数罗朗级数(含有正负幂项的幂级数含有正负幂项的幂级数).).意义意义:解析函数在以 为中心的环域可以用含有正负幂项含有正负幂项的幂级数表示.三三.罗朗级数罗朗级数第13页，本讲稿共31页关于罗朗级的说明关于罗朗级的说明:是级数的奇点是级数的奇点,但不一定是但不一定是 的奇点。的奇点。展开系数展开系数若仅有环心是若仅有环心是 的奇点的奇点,
5、则内园半径可任意小。则内园半径可任意小。罗朗级数具有唯一性。罗朗级数具有唯一性。第14页，本讲稿共31页解析延拓解析延拓 一、解析延拓的含意一、解析延拓的含意 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。二、解析延拓的唯一性二、解析延拓的唯一性 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。数都完全等同。第15页，本讲稿共31页例例1的环域上将函数在展开为罗朗级数.解:环域中心为z=0,展开区域为().等比级
6、数等比级数罗朗展开系数罗朗展开系数级数形式应是级数形式应是第16页，本讲稿共31页第17页，本讲稿共31页例2 在 z=1 的邻域将函数的邻域将函数作幂级数展开作幂级数展开.作代换作代换z-1=u,z-1=u,有有z=u+1,z=u+1,则则由于由于z=1z=1是函数的奇点是函数的奇点,所以展开式为罗朗级数所以展开式为罗朗级数 解:级数形式应是级数形式应是第18页，本讲稿共31页例例3 3 将函数将函数在在分别展开成罗朗级数分别展开成罗朗级数.内内,(1)(1)在在 内内,(2)(2)在在内内,内内,(3)(3)在在级数形式应是级数形式应是解解:第19页，本讲稿共31页练习练习.将函数将函数在
7、下列区域分别展开成罗朗级数在下列区域分别展开成罗朗级数.解解3).3).作代换作代换z+1=u,z+1=u,有有z=u-1,z=u-1,则则4).4).作代换作代换z+1=u,z+1=u,有有z=u-1,z=u-1,则则第20页，本讲稿共31页物理和工程的近似计算中常用的级数展开式物理和工程的近似计算中常用的级数展开式1.1.泰勒公式泰勒公式2.2.牛顿二项式牛顿二项式3.等比级数等比级数第21页，本讲稿共31页例()第22页，本讲稿共31页四四.孤立奇点性质的分类孤立奇点性质的分类在该点的幂级数展开中主要部分有在该点的幂级数展开中主要部分有无穷多项无穷多项.在该点的幂级数展开中主要部分的最在
8、该点的幂级数展开中主要部分的最高幂项为高幂项为:在该点的幂级数展开中主要部分只有在该点的幂级数展开中主要部分只有负一次幂一项负一次幂一项:在该点的幂级数展开中没有主要部分在该点的幂级数展开中没有主要部分(没有负幂项没有负幂项).).(一阶极点一阶极点)单极点单极点:可去奇点可去奇点:m m阶极点阶极点:本性奇点本性奇点:第23页，本讲稿共31页判定孤立奇点性质的方法判定孤立奇点性质的方法1.1.先找出函数先找出函数的奇点的奇点2.2.把函数在把函数在的环域作罗朗展开的环域作罗朗展开 如果负幂项的最高项为如果负幂项的最高项为2).2).如果展开式中有无穷多负幂项如果展开式中有无穷多负幂项,则则1
9、).1).如果展开式中没有负幂项如果展开式中没有负幂项,则则为可去奇点为可去奇点为本性奇点为本性奇点3).3).如果展开式中只有有限项负幂项如果展开式中只有有限项负幂项,则则为极点为极点,则为为m m阶极点阶极点(一一).).基本方法基本方法-罗朗展开罗朗展开第24页，本讲稿共31页(二二)不作罗朗展开时判定孤立奇点性质的步骤不作罗朗展开时判定孤立奇点性质的步骤:1.1.先找出函数先找出函数的奇点的奇点3.3.对于极点对于极点,再按下述方法判断极点的阶再按下述方法判断极点的阶:第25页，本讲稿共31页1 1).).直接作直接作:极点的阶的判断方法极点的阶的判断方法2).第26页，本讲稿共31页
10、用罗朗展开法第27页，本讲稿共31页用罗朗展开z=1是本性奇点第28页，本讲稿共31页用罗朗展开3).奇点是z=0z=0是1阶极点第29页，本讲稿共31页补充习题补充习题找出奇点并判断其性质找出奇点并判断其性质(4).第30页，本讲稿共31页二二.幂级数的形式幂级数的形式幂级数小结幂级数小结一一.级数的运算级数的运算(级数的收敛、乘、除、微分、积分级数的收敛、乘、除、微分、积分)四四.解析函数在除去其奇点的环域可以展开成解析函数在除去其奇点的环域可以展开成含有正负幂项含有正负幂项 的幂级数的幂级数(叫叫罗朗级数罗朗级数-罗朗级数在环域内收敛罗朗级数在环域内收敛).).三三.解析函数在其解析点的邻域解析函数在其解析点的邻域(圆域圆域)可以展开成正幂项幂可以展开成正幂项幂 级数级数(叫泰勒级数叫泰勒级数-泰勒级数在泰勒级数在圆内收敛圆内收敛,在圆外发散在圆外发散).五五.解析函数展开成级数的方法解析函数展开成级数的方法:1.1.在其解析点作泰勒展开在其解析点作泰勒展开3.3.利用已知的展开公式利用已知的展开公式(作代换作代换 )2.2.在除去奇点的环域在除去奇点的环域,利用利用等比级数公式展开等比级数公式展开第31页，本讲稿共31页