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1、三、模典范题分析例1求分析将这类征询题转化为定积分要紧是判定被积函数跟积分上上限假设对题目中被积函数难以想到，可采用如下方法：先对区间中分写出积分跟，再与所求极限比较拟来寻出被积函数与积分上上限解将区间中分，那么每个小区间长为，然后把的一个因子乘入跟式中各项因此将所求极限转化为求定积分即=例2=_解法1由定积分的几多何意思知，等于上半圆周()与轴所围成的图形的面积故=解法2此题也可开门见山用换元法求解令=，那么=例3比较，分析关于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时那么只能使用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来判定积分值的大小解法1在上，有而令，那么事前
2、，在上单调递增，从而，可知在上，有又，从而有解法2在上，有由泰勒中值定理得留心到因此例4估计定积分的值分析要估计定积分的值,关键在于判定被积函数在积分区间上的最大年夜值与最小值解设,由于,令，求得驻点,而,故,从而,因此.例5设，在上连续，且，求解由于在上连续，那么在上有最大年夜值跟最小值由知，又，那么由于，故=例6求,为自然数分析这类征询题假设先求积分然后再求极限屡屡特不艰辛，处置此类征询题的常用方法是使用积分中值定理与夹逼准那么解法1使用积分中值定理设,显然在上连续,由积分中值定理得,事前,而,故解法2使用积分不等式由于,而,因此例7求解法1由积分中值定理可知=，又且，故解法2由于，故有因
3、此可得又由于因此=例8设函数在上连续，在内可导，且证明在内存在一点，使分析由条件跟结论随便想到使用罗尔定理，只需再寻出条件即可证明由题设在上连续，由积分中值定理，可得，其中因此由罗尔定理，存在，使得证毕例91假设，那么=_；2假设，求=_分析这是求变限函数导数的征询题，使用上面的公式即可解1=；2由于在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，那么可得=例10设连续，且，那么=_解对等式单方关于求导得，故，令得，因此例11函数的单调递减开区间为_解，令得，解之得，即为所求例12求的极值点解由题意先求驻点因此=令=，得，列表如下：-故为的极大年夜值点，为极小值点例13曾经明白两曲线与在点处的切
4、线一样，其中，试求该切线的方程并求极限分析两曲线与在点处的切线一样，隐含条件，解由曾经明白条件得，且由两曲线在处切线歪率一样知故所求切线方程为而例14求；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法那么解=注此处使用等价无穷小交流跟多次使用洛必达法那么例15试求正数与，使等式成破分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法那么解=，由此可知必有，得又由，得即，为所求例16设，那么事前，是的A等价无穷小B同阶但非等价的无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小解法1由于故是同阶但非等价的无穷小选B解法2将展成的幂级数，再逐项积分，掉丢掉，那么例17证明：假设函数在区间上连续且单调增加，那么有证法1令=，事前，那么=故
5、单调增加即，又，因此，其中从而=证毕证法2由于单调增加，有，从而即=故例18打算分析被积函数含有绝对值标志，应先去丢掉绝对值标志然后再积分解注在使用牛顿莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上称心可积条件如，那么是差错的差错的缘故那么是由于被积函数在处连续且在被积区间内无界.例19打算分析被积函数在积分区间上理论是分段函数解例20设是连续函数，且，那么分析此题只需要留心到定积分是常数为常数解因连续，必可积，从而是常数，记，那么，且因此，即，从而，因此例21设，求,并讨论的连续性分析由因此分段函数,故对也要分段讨论解1求的表达式的定义域为事前，,因此事前，,因此,那么=，故(2)在及上连续,在
6、处，由于,因此,在处连续,从而在上连续错歪曲答1求的表达式,事前，事前，有=故由上可知(2)在及上连续,在处，由于,因此,在处不连续,从而在上不连续错解分析上述解法虽然留心到了是分段函数，但1中的解法是差错的，因为事前，中的积分变量的取值范围是，是分段函数，才精确例22打算分析由于积分区间关于原点对称，因此起首应考虑被积函数的奇偶性解=由因此偶函数，而是奇函数，有,因此=由定积分的几多何意思可知,故例23打算分析被积函数中含有及，考虑凑微分解=例24打算解=注此题为三角有理式积分的典范，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试例25打算，其中解=，令，那么=注假设定积分中的被积函数含有，一般令
7、或例26打算，其中解法1令，那么=解法2令，那么=又令，那么有=因此，=注假设先打算不定积分，再使用牛顿莱布尼兹公式求解,那么比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一例27打算分析被积函数中含有根式，不易开门见山求原函数，考虑作适当变卦去丢掉根式解设，那么=例28打算，其中连续分析恳求积分上限函数的导数，但被积函数中含有，因此不克不迭开门见山求导，必须先换元使被积函数中不含，然后再求导解由于=故令，事前；事前，而，因此=，故=错歪曲答错解分析这里差错地使用了变限函数的求导公式，公式中恳求被积函数中不含有变限函数的自变量，而含有，因此不克不迭开门见山求导，而应先换元例29打算分析被积函数中
8、出现幂函数与三角函数乘积的状况，素日采用分部积分法解例30打算分析被积函数中出现对数函数的状况，可考虑采用分部积分法解=例31打算分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的状况素日要多次使用分部积分法解由于，1而，2将2式代入1式可得,故例32打算分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的状况，素日用分部积分法解1令，那么2将2式代入1式中得例33设在上存在二阶连续导数，且，求分析被积函数中含有抽象函数的导数方法，可考虑用分部积分法求解解由于故例3497研设函数连续，且为常数，求并讨论在处的连续性分析求不克不迭开门见山求，由于中含有的自变量，需要通过换元将从被积函数中不离出来，然后使用积分上限
9、函数的求导法那么，求出，最后用函数连续的定义来判定在处的连续性解由知，而连续，因此，事前，令，；，那么，从而又由于，即因此=由于=从而知在处连续注这是一道综合调查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题而有些读者在做题过程中常会犯如下两种差错：1开门见山求出，而不使用定义去求，就掉丢掉结论不存在或无定义，从而得出在处不连续的结论2在求时，不是去拆成两项求极限，而是破刻用洛必达法那么，从而导致又由用洛必达法那么掉丢掉=，出现该差错的缘故是由于使用洛必达法那么需要有条件：在的邻域内可导但题设中仅有连续的条件，因此上面出现的是否存在是不克不迭判定的例35
10、00研设函数在上连续，且，试证在内至多存在两个差其余点使得分析此题有两种证法：一是使用罗尔定理，需要构造函数，寻出的三个零点，由曾经明白条件易知，为的两个零点，第三个零点的存在性是此题的难点另一种方法是使用函数的单调性，用反证法证明在之间存在两个零点证法1令，那么有又，由积分中值定理知，必有，使得=故又当，故必有因此在区间上对分不使用罗尔定理，知至多存在，使得，即证法2由曾经明白条件及积分中值定理知必有，那么有假设在内，仅有一个根，由知在与内异号，不妨设在内，在内，由，以及在内单调减，可知：=由此得出冲突故至多另有另一个实根，且使得例36打算分析该积分是无穷限的的正常积分，用定义来打算解=例3
11、7打算解例38打算分析该积分为无界函数的正常积分，且有两个瑕点，因此由定义，当且仅当跟均收敛时，原正常积分才是收敛的解由于=因此例39打算分析此题为混淆型正常积分，积分上限为，上限为被积函数的瑕点解令，那么有，再令，因此可得例40打算解由于，可令，那么事前，；事前，；事前，；事前，；故有注有些正常积分通过换元可以变成非正常积分，如例32、例37、例39；而有些非正常积分通过换元却会变成正常积分，如例40，因此在对积分换元时肯定要留心此类状况例41求由曲线，所围成的图形的面积分析假设选为积分变量，需将图形联络成三部分去求，如图51所示，此做法留给读者去完成上面拔取以为积分变量解拔取为积分变量，其
12、变卦范围为，那么面积元素为=因此所求面积为=例42抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比解抛物线与圆的交点分不为与，如下列图52所示，抛物线将圆分成两个部分，记它们的面积分不为，那么有图5151图52=，=，因此=例43求心形线与圆所围大年夜众部分的面积分析心形线与圆的图形如图53所示由图形的对称性，只需打算上半部分的面积即可解求得心形线与圆的交点为=，由图形的对称性得心形线与圆所围大年夜众部分的面积为图53=例44求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线，跟曲线所围成立体图形的面积最小如图54所示分析恳求立体图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式解设所求切线与曲线相切于点，那么切线方
13、程为又切线与直线，跟曲线所围成的立体图形的面积为图54=由于=，令，解得驻点事前，而事前故事前，取得极小值由于驻点唯一故事前，取得最小值现在切线方程为：例45求圆域其中绕轴改变而成的立体的体积解如图55所示，拔取为积分变量，得上半圆周的方程为，下半圆周的方程为图55那么体积元素为=因此所求改变体的体积为=注可考虑拔取为积分变量，请读者自行完成例4603研过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成立体图形1求的面积；2求绕直线改变一周所得改变体的体积分析先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积，改变体积可用大年夜的立体体积减去小的立体体积停顿图56打算，如图56所示解1设切点横坐标为，那么曲
14、线在点处的切线方程是由该切线过原点知，从而，因此该切线的方程是从而的面积2切线与轴及直线围成的三角形绕直线改变所得的改变体积为，曲线与轴及直线围成的图形绕直线改变所得的改变体积为因此，所求体积为例47有一立体以抛物线与直线所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面根本上等边三角形，如图57所示求其体积解选为积分变量且过轴上坐标为的点作垂直于轴的立体，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为，得等边三角形的面积为图57=因此所求体积为=例48求以下曲线的弧长1，其中；2，其中；3，其中分析1曲线是星形线，可以化为参数方程方法即：，其中使用公式其中来打算2曲线是心形线，使用公式来打算3曲线是直角坐
15、标方法下的表达方法，那么使用公式来打算解1由于曲线关于轴跟轴对称，按照其对称性有=2心形线关于极轴对称，所求心形线的全长是极轴上方部分弧长的倍，因此=3，故所求弧长为=例4903研某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将抑制土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比比例系数为，汽锤第一次击打进地下，按照方案方案，恳求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数征询：1汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？2假设击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？注：表示长度单位米分析此题属于变力作功征询题，可用定积分来求解1设第次击打后，桩被打进
16、地下，第次击打时，汽锤所作的功为，由题设，当桩被打进地下的深度为时，土层对桩的阻力的大小为，因此，由得，即，由得，即从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下2征询题是恳求，为此先用归纳法证明：假设，那么由，得从而.因此假设不限攻击次数，汽锤至多能将桩打进地下例50有一等腰梯形水闸上底为6米，下底为2米，高为10米试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力解树破如图58所示的坐标系，拔取为积分变量那么过点，的直线方程为因此闸门上对应小区间的窄条所承受的水压力为故闸门所受水压力为=，图58其中为水密度，为重力加速度例51设有一均匀细杆，长为，质量为，另有一质量为的质点位于细杆的延长线上，质点到杆的近端的距离为，求细杆对质点的引力分析如图59所示，树破坐标系按照万有引力定律，两个质量为跟，距离为的两质点之间的引力大小为图59，其中为万有引力常数细杆对质点的引力，不克不迭用万有引力定律求，需用微元法：把细杆分成假设干部分，每一部分近似地看作一个质点，用万有引力定律算出它们对质点的引力，然后再对相加，掉丢掉总引力由于细杆各部分对质点的引力倾向一样，故只需打算引力的大小解拔取为积分变量且在小区间上，将图中阴影部分看作质点，其质量为，位于点处，与质点相距为，其中是细杆的线密度按照万有引力定律，得引力元素=，那么引力的大小为=