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1、三、模模范题剖析例1求剖析将这类咨询题转化为定积分要紧是断定被积函数跟积分上下限假定对标题中被积函数难以想到，可采纳如下办法：先对区间平分写出积分跟，再与所求极限比拟拟来寻出被积函数与积分上下限解将区间平分，那么每个小区间长为，而后把的一个因子乘入跟式中各项因而将所求极限转化为求定积分即=例2=_解法1由定积分的多少多何意思知，即是上半圆周()与轴所围成的图形的面积故=解法2此题也可单刀直入用换元法求解令=，那么=例3比拟，剖析对于定积分的巨细比拟，能够先算出定积分的值再比拟巨细，而在无奈求出积分值时那么只能运用定积分的性子经过比拟被积函数之间的巨细来断定积分值的巨细解法1在上，有而令，那么事
2、先，在上枯燥递增，从而，可知在上，有又，从而有解法2在上，有由泰勒中值定理得留意到因而例4估量定积分的值剖析要估量定积分的值,要害在于断定被积函数在积分区间上的最大年夜值与最小值解设,因为,令，求得驻点,而,故,从而,因而.例5设，在上延续，且，求解因为在上延续，那么在上有最大年夜值跟最小值由知，又，那么因为，故=例6求,为天然数剖析这类咨询题假定先求积分而后再求极限每每特不艰苦，处理此类咨询题的常用办法是运用积分中值定理与夹逼准那么解法1运用积分中值定理设,显然在上延续,由积分中值定理得,事先,而,故解法2运用积分不等式因为,而,因而例7求解法1由积分中值定理可知=，又且，故解法2因为，故有
3、因而可得又因为因而=例8设函数在上延续，在内可导，且证实在内存在一点，使剖析由前提跟论断随意想到运用罗尔定理，只要再寻出前提即可证实由题设在上延续，由积分中值定理，可得，此中因而由罗尔定理，存在，使得证毕例91假定，那么=_；2假定，求=_剖析这是求变限函数导数的咨询题，运用下面的公式即可解1=；2因为在被积函数中不是积分变量，故可提到积分号外即，那么可得=例10设延续，且，那么=_解平等式双方对于求导得，故，令得，因而例11函数的枯燥递加开区间为_解，令得，解之得，即为所求例12求的极值点解由题意先求驻点因而=令=，得，列表如下：-故为的极大年夜值点，为极小值点例13已经清楚两曲线与在点处的
4、切线一样，此中，试求该切线的方程并求极限剖析两曲线与在点处的切线一样，隐含前提，解由已经清楚前提得，且由两曲线在处切线歪率一样知故所求切线方程为而例14求；剖析该极限属于型不决式，可用洛必达法那么解=注此处运用等价无量小交换跟屡次运用洛必达法那么例15试求负数与，使等式成破剖析易见该极限属于型的不决式，可用洛必达法那么解=，由此可知必有，得又由，得即，为所求例16设，那么事先，是的A等价无量小B同阶但非等价的无量小C高阶无量小D低阶无量小解法1因为故是同阶但非等价的无量小选B解法2将展成的幂级数，再逐项积分，失落丢失落，那么例17证实：假定函数在区间上延续且枯燥添加，那么有证法1令=，事先，那
5、么=故枯燥添加即，又，因而，此中从而=证毕证法2因为枯燥添加，有，从而即=故例18计划剖析被积函数含有相对值标记，应先去丢失落相对值标记而后再积分解注在运用牛顿莱布尼兹公式时,应保障被积函数在积分区间上满意可积前提如，那么是过失的过失的缘故那么是因为被积函数在处延续且在被积区间内无界.例19计划剖析被积函数在积分区间上实际是分段函数解例20设是延续函数，且，那么剖析此题只要求留意到定积分是常数为常数解因延续，必可积，从而是常数，记，那么，且因而，即，从而，因而例21设，求,并探讨的延续性剖析由因而分段函数,故对也要分段探讨解1求的表白式的界说域为事先，,因而事先，,因而,那么=，故(2)在及上
6、延续,在处，因为,因而,在处延续,从而在上延续错曲解答1求的表白式,事先，事先，有=故由上可知(2)在及上延续,在处，因为,因而,在处不延续,从而在上不延续错解剖析上述解法尽管留意到了是分段函数，但1中的解法是过失的，因为事先，中的积分变量的取值范畴是，是分段函数，才准确例22计划剖析因为积分区间对于原点对称，因而起首应思索被积函数的奇偶性解=由因而偶函数，而是奇函数，有,因而=由定积分的多少多何意思可知,故例23计划剖析被积函数中含有及，思索凑微分解=例24计划解=注此题为三角有理式积分的模范，也可用全能代换公式来求解，请读者无妨一试例25计划，此中解=，令，那么=注假定定积分中的被积函数含
7、有，普通令或例26计划，此中解法1令，那么=解法2令，那么=又令，那么有=因而，=注假定先计划不定积分，再运用牛顿莱布尼兹公式求解,那么比拟庞杂，由此可看出定积分与不定积分的差异之一例27计划剖析被积函数中含有根式，不易单刀直入求原函数，思索作恰当变更去丢失落根式解设，那么=例28计划，此中延续剖析央求积分下限函数的导数，但被积函数中含有，因而不克不及单刀直入求导，必需先换元使被积函数中不含，而后再求导解因为=故令，事先；事先，而，因而=，故=错曲解答错解剖析这里过失地运用了变限函数的求导公式，公式中央求被积函数中不含有变限函数的自变量，而含有，因而不克不及单刀直入求导，而应先换元例29计划剖
8、析被积函数中呈现幂函数与三角函数乘积的情况，平日采纳分部积分法解例30计划剖析被积函数中呈现对数函数的情况，可思索采纳分部积分法解=例31计划剖析被积函数中呈现指数函数与三角函数乘积的情况平日要屡次运用分部积分法解因为，1而，2将2式代入1式可得,故例32计划剖析被积函数中呈现反三角函数与幂函数乘积的情况，平日用分部积分法解1令，那么2将2式代入1式中得例33设在上存在二阶延续导数，且，求剖析被积函数中含有笼统函数的导数办法，可思索用分部积分法求解解因为故例3497研设函数延续，且为常数，求并探讨在处的延续性剖析求不克不及单刀直入求，因为中含有的自变量，需求经过换元将从被积函数中不离出来，而后
9、运用积分下限函数的求导法那么，求出，最初用函数延续的界说来断定在处的延续性解由知，而延续，因而，事先，令，；，那么，从而又因为，即因而=因为=从而知在处延续注这是一道综合考察定积分换元法、对积分下限函数求导、按界说求导数、探讨函数在一点的延续性等常识点的综合题而有些读者在做题进程中常会犯如下两种过失：1单刀直入求出，而不运用界说去求，就失落丢失落论断不存在或无界说，从而得出在处不延续的论断2在求时，不是去拆成两项求极限，而是破刻用洛必达法那么，从而招致又由用洛必达法那么失落丢失落=，呈现该过失的缘故是因为运用洛必达法那么需求有前提：在的邻域内可导但题设中仅有延续的前提，因而下面呈现的能否存在是
10、不克不及断定的例3500研设函数在上延续，且，试证在内至少存在两个差其他点使得剖析此题有两种证法：一是运用罗尔定理，需求结构函数，寻出的三个零点，由已经清楚前提易知，为的两个零点，第三个零点的存在性是此题的难点另一种办法是运用函数的枯燥性，用反证法证实在之间存在两个零点证法1令，那么有又，由积分中值定理知，必有，使得=故又当，故必有因而在区间上对分不运用罗尔定理，知至少存在，使得，即证法2由已经清楚前提及积分中值定理知必有，那么有假定在内，仅有一个根，由知在与内异号，无妨设在内，在内，由，以及在内枯燥减，可知：=由此得出抵触故至少尚有另一个实根，且使得例36计划剖析该积分是无量限的的畸形积分，
11、用界说来计划解=例37计划解例38计划剖析该积分为无界函数的畸形积分，且有两个瑕点，因而由界说，当且仅当跟均收敛时，原畸形积分才是收敛的解因为=因而例39计划剖析此题为混杂型畸形积分，积分下限为，下限为被积函数的瑕点解令，那么有，再令，因而可得例40计划解因为，可令，那么事先，；事先，；事先，；事先，；故有注有些畸形积分经过换元能够酿成非畸形积分，如例32、例37、例39；而有些非畸形积分经过换元却会酿成畸形积分，如例40，因而在对积分换元时确信要留意此类情况例41求由曲线，所围成的图形的面积剖析假定选为积分变量，需将图形联系成三局部去求，如图51所示，此做法留给读者去实现下面拔取认为积分变量
12、解拔取为积分变量，其变更范畴为，那么面积元素为=因而所求面积为=例42抛物线把圆分红两局部，求这两局部面积之比解抛物线与圆的交点分不为与，如以下图52所示，抛物线将圆分红两个局部，记它们的面积分不为，那么有图5151图52=，=，因而=例43求心形线与圆所围大年夜众局部的面积剖析心形线与圆的图形如图53所示由图形的对称性，只要计划上半局部的面积即可解求得心形线与圆的交点为=，由图形的对称性得心形线与圆所围大年夜众局部的面积为图53=例44求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线，跟曲线所围成平面图形的面积最小如图54所示剖析央求平面图形的面积的最小值，必需先求露面积的表白式解设所求切线与曲线
13、相切于点，那么切线方程为又切线与直线，跟曲线所围成的平面图形的面积为图54=因为=，令，解得驻点事先，而事先故事先，获得极小值因为驻点独一故事先，获得最小值如今切线方程为：例45求圆域此中绕轴改动而成的平面的体积解如图55所示，拔取为积分变量，得上半圆周的方程为，下半圆周的方程为图55那么体积元素为=因而所求改动体的体积为=注可思索拔取为积分变量，请读者自行实现例4603研过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形1求的面积；2求绕直线改动一周所得改动体的体积剖析先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积，改动体积可用大年夜的平面体积减去小的平面体积进展图56计划，如图56所示解1设
14、切点横坐标为，那么曲线在点处的切线方程是由该切线过原点知，从而，因而该切线的方程是从而的面积2切线与轴及直线围成的三角形绕直线改动所得的改动体积为，曲线与轴及直线围成的图形绕直线改动所得的改动体积为因而，所求体积为例47有一平面以抛物线与直线所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面全然上等边三角形，如图57所示求其体积解选为积分变量且过轴上坐标为的点作垂直于轴的平面，与平面相截的截面为等边三角形，其底边长为，得等边三角形的面积为图57=因而所求体积为=例48求以下曲线的弧长1，此中；2，此中；3，此中剖析1曲线是星形线，能够化为参数方程办法即：，此中运用公式此中来计划2曲线是心形线，运用公式
15、来计划3曲线是直角坐标办法下的表白办法，那么运用公式来计划解1因为曲线对于轴跟轴对称，依照其对称性有=2心形线对于极轴对称，所求心形线的全长是极轴上方局部弧长的倍，因而=3，故所求弧长为=例4903研某修建工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克制土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的巨细与桩被打进地下的深度成反比比例系数为，汽锤第一次击打进地下，依照计划计划，央求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数咨询：1汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？2假定击打次数不限，汽锤至少能将桩打进地下多深？注：表现长度单元米剖析此题属于变力作功咨询题，可用定积分来求解1设
16、第次击打后，桩被打进地下，第次击打时，汽锤所作的功为，由题设，当桩被打进地下的深度为时，土层对桩的阻力的巨细为，因而，由得，即，由得，即从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下2咨询题是央求，为此先用归结法证实：假定，那么由，得从而.因而假定不限攻打次数，汽锤至少能将桩打进地下例50有一等腰梯形水闸上底为6米，下底为2米，高为10米试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力解树破如图58所示的坐标系，拔取为积分变量那么过点，的直线方程为因而闸门上对应小区间的窄条所接受的水压力为故闸门所受水压力为=，图58此中为水密度，为重力减速率例51设有一平均细杆，长为，品质为，尚有一品质为的质点位于细杆的延伸线上，质点到杆的近真个间隔为，求细杆对证点的引力剖析如图59所示，树破坐标系依照万有引力定律，两个品质为跟，间隔为的两质点之间的引力巨细为图59，此中为万有引力常数细杆对证点的引力，不克不及用万有引力定律求，需用微元法：把细杆分红假定干局部，每一局部近似地看作一个质点，用万有引力定律算出它们对证点的引力，而后再对相加，失落丢失落总引力因为细杆各局部对证点的引力偏向一样，故只要计划引力的巨细解拔取为积分变量且在小区间上，将图中暗影局部看作质点，其品质为，位于点处，与质点相距为，此中是细杆的线密度依照万有引力定律，得引力元素=，那么引力的巨细为=