常系数线性微分方程的解法.pptx

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1、其中其中 为任意常数，而且这个通解（为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（）包括了方程（4.1）的）的所有解。所有解。定理定理7 设设 为方程（为方程（4.2）的基本解组，而）的基本解组，而 是方程是方程 （4.1）的某一个解，则方程（）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为）的通解可表为定理定理6 如果如果 是方程（是方程（4.2）的）的n个线性无关的解，则方个线性无关的解，则方程（程（4.2）的通解可表为：）的通解可表为：（4.11）其中其中 是任意常数。且通解（是任意常数。且通解（4.11）包括了方程（）包括了方程（4.2）的所有解。）的所有解。齐次线性微分方程通解结构定理非

2、齐次线性微分方程通解结构定理4.2 常系数线性微分方程的解法第1页/共63页 因此，关于线性微分方程的通解结构问题，从理论上说，已经解决了，但是，求方程通解的方法还没有具体给出。事实上，对于一般的线性微分方程是没有普遍解法的。但通过寻求一些特殊类型方程的解法对求解一般方程的解还是有帮助和启发的。所以，介绍求解问题能够彻底解决的一类方程常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程；同时将看到，为了求得常系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算。对于某些特殊的非齐线性微分方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解。以及注意到物理问题提供微分方程很直观的物理背景，而微分方程为

3、更深刻地理解物理现象提供有力的工具。4.2 常系数线性微分方程的解法第2页/共63页具体内容复值函数与复值解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法应用分析：质点振动第3页/共63页4.2.1 引子:复值函数和复值解1、复数及其相等的定义；2、有关定义：复值函数的连续、可导性等。第4页/共63页1、复值函数在点连续的定义如果 ，就称 在 连续。如果对于区间 中的每一实数t，有复数 与它对应，其中 和 是在区间 上定义的实函数，i是虚单位，就说在区间 上给定了一个复值函数 。如果实函数 ，,当t趋于 时有极限，就称复值函数 当t趋于 时有极限，并且定义

4、第5页/共63页复值函数在区间上连续的定义：即表示在区间上每一点都连续。注：复值函数在点连续意为着对应的两个实函数也在该点连续。第6页/共63页2、复值函数在点有导数的定义如果 极限存在，就称z(t)在 点有导数（可微）,且记此极限为 或者 。显然 在 处有导数相当于 ,在 处有导数，且 第7页/共63页3、复值函数的微分运算性质注意注意：同实值函数的微分运算法则一样。：同实值函数的微分运算法则一样。线性性乘积性第8页/共63页4、复指数函数的运算性质设 是任意一复数，这里 是实数，而 为实变量。基本性质重要性质第9页/共63页5、复值解的定义定义于 区间上的实变量复值函数 称为方程（4.1）

5、的复值解。如果对于 恒成立。第10页/共63页6、两个重要定理定理8 如果方程（4.2）中所有系数 都是实值函数，而 是方程（4.2）的复值解，则 的实部 、虚部 和共轭复值函数 也是方程（4.2）的解.定理9 若方程有复值解 ，这里 及 都是实函数，那么这个解的实部 和虚部 分别是虚部对应方程和实部对应方程的解.第11页/共63页问题：常系数线性微分方程的求解常系数齐线性微分方程的求解-如果？常数变易法(至少)比较系数法Laplace变换法有无其它方法？?欧拉指数法第12页/共63页4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程常系数齐线性方程欧拉（Euler）待定指数函数法 特征根是单根的情形 有

6、复根的情形 特征根是重根的情形 应用欧拉方程1、框架第13页/共63页2、常系数齐线性微分方程其中 是常数。此时，称（4.19）为n阶常系数齐线性微分方程。若齐线性微分方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式：第14页/共63页3、欧拉（Euler）待定指数函数法n一阶微分方程 有指数形式的解：.对于n阶齐线性方程（4.19）是否也有类似形式的解？下面用试探法进行讨论。n提问引言：一阶齐次线性微分方程解的启示第15页/共63页假如有下面形式（4.20）是方程（4.19）的解于是有：要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的

7、根称为特征根。第16页/共63页求解常系数线性微分方程问题转化为求解一个代数方程问题于是有第17页/共63页 设 是特征方程（4.17）的n个彼此不相等的根，则相应地方程（4.16）有如下n个解：可以证明这n个解在区间上线性无关（？），从而组成方程（4.19）的基本解组。于是有 如果 均为实数，则(4.22)是方程(4.19)的n个线性无关的实值解，而方程(4.19)的通解可表示为其中 为任意常数。3.1 特征根是单实根的情形第18页/共63页例1 求方程 的通解。解：(单实根)特征方程为：特征根：通解：对应的基本解组：第19页/共63页3.2 特征根是单虚根的情形设有单复根 ，此时，由定理8

8、，可以求得两个实值解：为什么？第20页/共63页例2 求方程 的通解解：(复单根)特征方程为：特征根通解对应的基本解组第21页/共63页3.3 特征根是重根的情形设特征方程有k重根 ，由代数学基本知识有：下面分三步来讨论基本解组的构成：先讨论，此时，有线性无关的函数组：讨论把这种情况通过变换 化为第一种情况。再构成线性无关的函数组：第22页/共63页特征根 的重数分别为：则有线性无关的函数组：第23页/共63页对于特征方程有复重根的情况，结合前面的两种情况就可以讨论了。譬如假设是k重特征根 ，则 也是k重特征根，仿1一样处理，将得到方程（15）的2k个实值解：第24页/共63页例6 求方程 的

9、通解特征方程：解：复重根的情形对应的基本解组：通解：特征根：是2重根。第25页/共63页4、欧拉方程u定义：形如的微分方程被称为欧拉方程。欧拉方程的求解方法是通过变换变为常系数齐线性方程，因而求解问题很容易解决。引进变换：得到常系数齐线性微分方程：利用齐线性方程的求解方法可求得其解，然后带回变量变换即可完成欧拉方程的求解。第26页/共63页及由数学归纳法，不难证明其中 都是常数。事实上，由 ，有注：如果 ，则用 所得结果一样，为方便，设 ，但最后结果应以 代回。第27页/共63页于是对应于欧拉方程（4.23）的齐线性方程有形如 的解，从欧拉方程有形如 的解。若 以代入欧拉方程，得到其对应的特征

10、方程：方程（4.25）的m重实根，对应于方程（25）的m个解方程（4.25）的m重复根，对应于方程（4.23）的2m个实值解u欧拉方程的解第28页/共63页例5 求解方程解：分析原方程为欧拉方程，于是有：得到确定的代数方程：方程的通解为其中 是任意常数。特征根为二重实根：寻找方程的形式解，法一：利用欧拉方程求解过程进行求解；法二：可以直接利用欧拉方程的求解方法求解：第29页/共63页例6 求解方程分析：这个方程是一个典型的常系数齐线性微分方程，于是由 欧拉待定指数方法求解。特征方程为：即有其特征根为（二重）（二重）第30页/共63页于是可以给出这个方程的一个基本解组为于是可以给出这个方程的通解

11、其中 是任意常数。第31页/共63页4.2.3 非齐次线性微分方程的解法：比较系数法和拉普拉斯变换法求特解考虑常系数非齐线性方程其实，该方程（4.26）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（4.1）的求解问题，即比（4.26）更一般的微分方程（4.1）的通解问题是这样解决的：（常数变易法）用先求出对应齐线性方程（4.2）的一个基本解组，然后找出（4.1）的某一个解，根据前面的定理7就可以写出（4.1）的通解。于是也就完成了（4.26）的求解问题，只是用常数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算。（注：大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性。）但是，在解决实际问

12、题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即带有特殊形式的微分方程，为此，在这里，介绍两种常用的方法：比较系数法和拉普拉斯变换法，它们的共同特点是不需要通过积分而用代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解。第32页/共63页类型那么，方程（4.26）有形如 如果不是特征根是特征根 如果作变量变换，（4.26）化为特征方程 的根 对应于（4.27）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有：的特解。其中k为特征方程 的根 的重数，而 是待定系数，可以通过比较系数来确定。一、求特解-比较系数法第33页/共63页 如果不是特征根,取k=0,有如下形式的特解：则比较t的同次幂的系数，得到常数应满

13、足的方程组为第34页/共63页 如果是k重特征根，即，方程（4.26）将为作变换：，则方程（4.28）化为对于（4.29），已不是它的特征根。因此，由前面的讨论，有形如下列形式的特解。第35页/共63页这表明 是t的m+k次多项式，其中t的幂次 的项带有任意常数。但因只需要知道一个特解就够了。特别地取这些任意常数均为零，于是得到方程（4.28）（或方程（4.26）的一个特解因而方程（4.28）有特解 满足：第36页/共63页 如果作变量变换，（4.26）化为特征方程 的根 对应于（4.27）的特征方程的零根，并且重数相同。于是利用上面的结论有：在 不是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：在

14、 是特征方程的根的情形，（4.26）有特解：其中k为重数.第37页/共63页利用比较系数法求解非齐线性常系数微分方程的一般步骤：1、求对应齐线性常系数微分方程的特征根；2、分析 f(t)的形式；3、判定上述 f(t)中的指数是否为特征根？4、然后利用比较系数法求得.第38页/共63页例7 求解方程解：对应齐线性方程的通解为再求非齐线性方程的一个特解。这里并且不是特征根，故可取特解形如将代入原方程，得到：比较系数得原方程的通解为第39页/共63页例8 求方程通解分析:主要目的-求一特解。故根据比较系数法有特解形如 ，通过代入，化简求得于是原方程的通解为：这里，且，特征根为：其中 正是单特征根:第

15、40页/共63页类型设 ，其中 为常数，而 是带实系数的t t的多项式，其中一个的次数为m，而另一个的次数不超过m，那么有如下结论：方程（4.224.22）有形如的特解。这里k为特征根 的重数，而P(t)，Q(t)均为待定的实系数的次数不高于m关于t的多项式，可以通过比较系数的方法来确定。第41页/共63页的解之和必为方程（4.26)4.26)的解。与则根据非齐线性方程的叠加原理有：通过分析,（4.26）有解形如：改写 f(t)的形式如下其中第42页/共63页利用非齐线性方程的叠加原理和类型I类型II的求解思想注意：正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。第43页/共63页例9 9 求方程通解

16、解：很容易求得原方程对应齐线性方程的通解为：再求非齐线性方程的一个特解。因为 不是特征根，求形如 的特解，将它代入原方程并化简得到通过比较同类项的系数，得到原方程的通解：第44页/共63页类型的特殊情形例10 10 用复数法求解例9 9解：由例9 9已知对应齐线性方程的通解为：为求非齐线性方程的一个特解,先求方程的特解。这属于类型，而2 2i不是特征根，故可设特解为：将它代入方程并消去因子 得 ，因而 ，由定理9，这是原方程的特解，于是原方程的通解为于是：复数法求解第45页/共63页二、拉普拉斯变换法定义（拉普拉斯变换）：由积分 设给定微分方程及初始条件其中 是常数，而f(t)为连续函数且满足

17、原函数的条件。所定义的确定于复平面 上的复变数s的函数F(s)，称为函数 的拉普拉斯变换，其中 于 有定义，且满足不等式这里 为某两个正常数，将称 为原函数，而称F(s)为象函数。第46页/共63页 拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数的代数方程（组）。通过一些代数运算，一般地利用拉普拉斯变换表，很容易求出微分方程（组）的解。方法十分简单，为工程技术人员所普遍采用。当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不再适用了。第47页/共63页那么，按原函数微分性质有可以证明，如果函数 是方程（4.22）的任意解，则

18、x(t)及其各阶导数 均是原函数。记第48页/共63页借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换成复变数S的代数方程（组）。优点：通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的解。方法简便，为工程技术工作者所普遍采用。缺点：要求微分方程右端的函数是一个原函数(满足条件（*）)。拉普拉斯变换法的主要思想注意：拉普拉斯变换存在是有条件的。第52页/共63页4.2.4 应用：质点振动振动振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式，例是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式，例如钟摆的往复摆动，弹簧的振动、乐器中弦线的振动，如钟摆的往复摆动，弹簧的振动、乐器中弦线的振动

19、，机床主轴的振动，电路中的电磁振荡等等。振动问题的机床主轴的振动，电路中的电磁振荡等等。振动问题的研究，在一定条件下，可以归为二阶常系数线性微分方研究，在一定条件下，可以归为二阶常系数线性微分方程的问题来讨论。下面以数学摆为物理模型，利用常系程的问题来讨论。下面以数学摆为物理模型，利用常系数线性方程的理论，讨论有关自由振动和强迫振动的问数线性方程的理论，讨论有关自由振动和强迫振动的问题，并阐明有关一些物理现象。题，并阐明有关一些物理现象。第53页/共63页数学摆的一般微分方程无阻尼自由振动有阻尼自由振动无阻尼强迫振动有阻尼强迫振动MQOAPmg第54页/共63页无阻尼自由振动：周期运动有阻尼自

20、由振动无阻尼强迫振动：共振现象有阻尼强迫振动：共振现象小阻尼振动大阻尼振动临界阻尼振动振动第55页/共63页无阻尼自由振动：周期运动通解为：第56页/共63页小阻尼振动大阻尼振动临界阻尼振动有阻尼自由振动小阻尼振动大阻尼振动或临界阻尼振动通解为：第57页/共63页得知，当t足够大时，的符号与 的符号相反。因此，经过一段时间后，摆就单调地趋于平衡位置，因而在大阻尼的情形，运动不是周期的且不再具有振动的性质。摆的运动规律的图形如图（4.3）所示。通解为：第58页/共63页无阻尼强迫振动：共振现象这个通解（50）由两部分组成，第一部分是无阻尼自由振动的解 ，它代表固有振动，第二部分是振动频率与外力频

21、率相同，而振幅不同的项 ，它代表由外力引起的强迫振动，从（50）还可以看出，如果外力的圆频率愈接近固有圆频率，则强迫振动项的振幅就愈大。第59页/共63页如果 ，则通解为（51）表示随着时间的增大，摆的偏离将无限增加，这种现象称为共振现象，但是，实际上，随着摆的偏离的增加，到了一定程度，方程（48）就不能描述摆的运动状态了。第60页/共63页小结 讨论了高阶常系数微分方程和特殊的变系数微分方讨论了高阶常系数微分方程和特殊的变系数微分方程（欧拉方程）的求解问题，以及微分方程的应用实例程（欧拉方程）的求解问题，以及微分方程的应用实例分析：质点振动问题分析，得到常系数齐次线性微分方分析：质点振动问题分析，得到常系数齐次线性微分方程的待定指数求解方法和非齐次线性微分方程的比较系程的待定指数求解方法和非齐次线性微分方程的比较系数法和拉普拉斯变换法等求解方法，为研究微分方程的数法和拉普拉斯变换法等求解方法，为研究微分方程的通解问题给出了一些可借鉴的方法。通解问题给出了一些可借鉴的方法。第61页/共63页高阶微分方程及其求解方法（思路）高阶微分方程齐线性微分方程非齐线性微分方程欧拉待定指数法解的结构非线性微分方程求解方法常数变易法比较系数法拉普拉斯变换法欧拉方程及其求解线性微分方程作业：P164-166 1（思考），2，3，4，7第62页/共63页谢谢大家观赏！第63页/共63页