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4.2 常系数线性微分方程的解法,一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性微分方程的解法 三、常系数非齐线性微分方程的解法,一、常系数齐线性微分方程的解法,I: 特征根是单根的情形 II: 特征根有重根的情形,I: 特征根是单根的情形,II: 特征根有重根的情形,解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.,一、欧拉方程,的方程(其中,形如,叫欧拉方程.,为常数),特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同,作变量变换,将自变量换为,上述结果可以写为,将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量,的常系数,线性微分方程.,一般地，,特征方程的根为,所以所求方程的通解为,原方程的特征方程为,例,求欧拉方程,解,作变量变换,的通解,欧拉方程解法思路,变系数的线性微分方程,常系数的线性微分方程,变量代换,注意：欧拉方程的形式,练 习 题,练习题答案,