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1、 7.3 统计量的分布统计量的分布 确定统计量的分布确定统计量的分布 抽样分布抽样分布,是数理是数理统计的基本问题之一统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量由于样本容量一般不止一般不止 2 或或 3(甚至还可能是随机的甚至还可能是随机的),故计故计算往往很复杂算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工有时还需要特殊技巧或特殊工具具.由于正态总体是最常见的总体由于正态总体是最常见的总体,故本节介故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言绍的几个抽样分布均对正态总体而言.1设 是取自总体X 的一个样本,为一实值连续
2、函数,且不含有未知参数,则称随机变量为统计量统计量.若是一个样本值,称的一个样本值为统计量定义定义统计量统计量2常用的统计量常用的统计量为样本均值样本均值为样本方差样本方差为样本标准差样本标准差设是来自总体 X 的容量为 n 的样本,称统计量3(1)(1)正态分布正态分布则特别地,则二、二、统计中常用统计量分布统计中常用统计量分布若i.i.d.若 独立独立分别服从 4(2)(2)分布分布 (n为自由度)定义定义 设相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则n=2 时,其密度函数为为参数为1/2的指数分布.5一般地,其中，在x 0时收敛，称为函数，具有性质的密度函数为自由度为 n 的6分布的
3、性质分布的性质8(3)(3)t 分布分布 (Student 分布)定义定义则T 所服从的分布称为自由度为自由度为 n 的的T 分布分布其密度函数为X,Y 相互独立,设9t 分布的图形(红色的是标准正态分布)n=1n=2010t 分布的性质分布的性质1f n(t)是偶函数是偶函数,2T 分布的 分位数 t 与双侧 分位数 t/2 有表可查 (p366)11(4)F 分布分布则F 所服从的分布称为第第一一自自由由度度为为n,第二自由度为第二自由度为 m 的的F 分布分布 其密度函数为定义定义X,Y 相互独立，设令12m=10,n=4m=10,n=10m=10,n=15m=4,n=10m=10,n=
4、10m=15,n=1013F 分布的性质分布的性质例如事实上,故但F(n,m)1234560.10.20.30.40.50.61415例例1 1 证明证证:抽抽样本分布的某些结论样本分布的某些结论()一个正态总体一个正态总体与相互独立设总体的样本为()，则(1)(2)16(II)两个正态总体两个正态总体设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本它们相互独立.令17则若则(3)18设是来自正态总体的一个简单随机样本是来自正态总体的一个简单随机样本,它们相互独立.则19与相互独立20(4)21的概率不小于90%,则样本容量至少应为多少?例例2 2 设总体,为使样本均值大于7
5、0解解 设样本容量为 n,则故令得即所以取22例例3 3 从正态总体中，抽取了 n=20的样本(1)求(2)求23解解(1)即故24(2)(2)故故25例例4 设随机变量X 与Y 相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与Y1,Y2,Y16 分 别是取自X 与Y 的简单随机样本,求统计量所服从的分布解解26从而27例例5 5 设总体的样本,为总体 X试确定常数c 使cY 服从分布.解解故因此28例例6 6 设是来自正态总体N(,2)的简单随机样本,是样本均值,则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量为:29故应选(B)解解30例例7 7据据F分布的定义：分布的定义：解解31故答案为（故答案为（B）例例8答案：答案：A，C32作 业习题七 4，5，633