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1、习题课习题课多元函数微分法多元函数微分法练习题练习题1.讨论二重极限解法解法1解法解法2 令解法解法3 令时,下列算法是否正确是否正确?在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明证明:3.已知求出 的表达式.且4.设其中 f 与F分别具有一阶导数或偏导数,求5.5.设有二阶连续偏导数,且求6.设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数7.设8.8.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.9.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.上求一点,使该点处的法线垂直于10.在曲面并写出该法线方程.平面11.在第一
2、卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.练习题解答练习题解答1.讨论二重极限解法解法1解法解法2 令解法解法3 令时,下列算法是否正确是否正确?分析分析:解法1解法2 令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为 1.第二步 未考虑分母变化的所有情况,解法3 令此法忽略了 的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r,的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.提示提示:利用 故f 在(0
3、,0)连续;知在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.2.证明证明:而所以 f 在点(0,0)不可微!3.已知求出 的表达式.解法解法 令即则且4.设其中 f 与F分别具解法解法1 方程两边对 x 求导,得有一阶导数或偏导数,求(99 考研)解法解法2 方程两边求微分,得化简消去 即可得5.5.设有二阶连续偏导数,且求解解:6.设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数解答提示解答提示:第 1 题有连续的一阶偏导数,及分别由下两式确定求又函数答案答案:7.设8.8.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.解解:设切点为则切平面的法向量为即切平面方程问
4、题归结为求在条件下的条件极值问题.设拉格朗日函数切平面在三坐标轴上的截距为令由实际意义可知为所求切点.唯一驻点9.求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在,故上求一点,使该点处的法线垂直于10.在曲面并写出该法线方程.提示提示:设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上11.在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示提示:设切点为用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体围体积V 最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大,故取拉格朗日函数