多元函数微分法PPT课件.ppt

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1、关于多元函数微分法第一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月2(1)区域区域 邻域邻域:区域区域连通的开集连通的开集 (2)多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数常用常用二元函数二元函数(图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数一、基本概念一、基本概念1.多元函数多元函数定义域及对应规律定义域及对应规律定义域及对应规律定义域及对应规律(无几何直观无几何直观)第二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月3解解:例例1.求求的定义域的定义域xoy所求定义域为所求定义域为:例例2.设设解解:第三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月4则称则称常数常数A为函数为函数描述性定义

2、描述性定义对于二元函数对于二元函数是定义域是定义域D的聚点的聚点对应的函数值对应的函数值 无限接近无限接近于一个确定的常数于一个确定的常数A，则称则称A为为的极限的极限 记为：记为：2.多元函数的极限多元函数的极限(1)定义：定义：设函数设函数的定义域为的定义域为D,是是D的的聚点聚点.如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数总存在正数总存在正数使使得对于适合不等式得对于适合不等式的一切点的一切点都有都有成立，成立，当当时的时的极限极限.记为：记为：或或或记为或记为这里这里第四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月5(2)二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系二元函数的极限与一元函

3、数的极限的区别与联系不同点：不同点：二元函数极限二元函数极限 的方式（路径）不同的方式（路径）不同一元函数一元函数 的方式有两种，故有的方式有两种，故有 的方式是任意的，有无数个的方式是任意的，有无数个.沿沿任何路径任何路径 时极限存在且相等时极限存在且相等确定二元函数极限不存在的方法：确定二元函数极限不存在的方法：令令P(x,y)沿沿y=kx趋向于趋向于若极限值与若极限值与k有关，有关，则可断言极限不存在；则可断言极限不存在；找两种不同趋近方式，找两种不同趋近方式，使使存在，存在，但但两者两者不相等，不相等，此时也此时也可断言可断言f(x,y)或有的极限不存在，或有的极限不存在，处处极限不存

4、在极限不存在.在点在点第五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月6共同点：共同点：即有定义即有定义与有极限不能互相推出与有极限不能互相推出.定义方式相同定义方式相同.故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到多元函数中多元函数中.用定义只能证明极限用定义只能证明极限.在点在点 是否有定义并不影响极限是否存在，是否有定义并不影响极限是否存在，联系：联系：由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运

5、算法则，夹逼准则；无穷小的概限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.但一元函数极限的充要条件及洛必达法则不能用但一元函数极限的充要条件及洛必达法则不能用于多元函数极限上于多元函数极限上.第六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月7例例3.考察函数考察函数在原点的二重极限在原点的二重极限.解解:第七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月8例例4.求极限求极限 解解:其中其中(或用等价无穷小代换或用等价无穷小

6、代换)第八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月93.多元函数的连续多元函数的连续若令若令记记则则设函数设函数z=f(x,y)的定义域为的定义域为D，聚点聚点若若则称函数则称函数z=f(x,y)在在处处连续连续.(1)定义：定义：(2)间断点：间断点：点连续点连续第九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月10例如例如,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上间断上间断.故故(0,0)为其间断点为其间断点.在圆周在圆周(3)多元初等函数：多元初等函数：如：如：所表示的多元函数，所表示的多元函数，有限次有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用的四则运算和复合步骤所

7、构成的可用一个式子一个式子由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过叫叫多元初等函数多元初等函数.第十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月11(4)多元函数连续性的应用多元函数连续性的应用-求极限求极限求求时，时，如果如果f(P)是初等函数，是初等函数，定义域的定义域的内点，内点，则则f(P)在点在点处处连续连续且且是是f(P)的的定理定理:定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域一切多元初等函数在其一切多元初等函数在其定义区域内定义区域内是连续的是连续的例例5.求求解解:函数函数是二元初等函数，是二元

8、初等函数，第十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月124.多元函数的偏导数多元函数的偏导数(1)定义：定义：第十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月13(2)多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点：多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点：连续连续可导可导偏导记号已不再有偏导记号已不再有“商商”的的含义含义.(3)多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点：多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点：故多元函数偏导的故多元函数偏导的求法与一元函数类似求法与一元函数类似.可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用.因此因此,定义方式相同定义方式相同.(4)

9、偏导及高阶偏导的记号：偏导及高阶偏导的记号：纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导第十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月14例例6.解解:由定义可知：由定义可知：提示：求分界点、不连续点处的偏导数要用提示：求分界点、不连续点处的偏导数要用定义定义求求.(08数学三数学三)第十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月155.多元函数的全微分多元函数的全微分对于二元函数对于二元函数(1)可微的定义可微的定义:微分：微分：全微分的实质：全微分的实质：可微可微能能是是是是第十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月16(2)多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函

10、数连续函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续极限存在极限存在连续连续可微分可微分偏导数存在偏导数存在偏导数连续偏导数连续(3)判定函数可微的方法判定函数可微的方法:不连续不连续不可微不可微.不可导不可导不可微不可微.可微可微定义法定义法:偏导连续偏导连续可微可微.是是有定义有定义第十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月17函数函数在在可微的充分条件是可微的充分条件是()的某邻域内存在的某邻域内存在;时是无穷小量时是无穷小量;时是无穷小量时是无穷小量.能能是是是是例例7.第十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月18(12数学一数学一)(12数学三数学三)第十八张，P

11、PT共七十六页，创作于2022年6月19(4)几个需要记住的重要函数几个需要记住的重要函数(反例反例):1)函数函数它在它在(0,0)处可导处可导,不可微不可微,不连续不连续.2)函数函数它在它在(0,0)处不可微、不可导、连续处不可微、不可导、连续.3)函数函数它在它在(0,0)处连续处连续,可导可导,不可微不可微.第十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月20例例8.讨论讨论函数函数在原点处连续、可导、不可微在原点处连续、可导、不可微.所以，所给函数在所以，所给函数在(0,0)处连续处连续.解解:(2)第二十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月21可微可微例例8.讨论讨论函数函

12、数解解:(2)由导数的定义知由导数的定义知在原点处连续、可导、不可微在原点处连续、可导、不可微.则则第二十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月221.求具体显函数的偏导数求具体显函数的偏导数求求时，时，把把x看成看成变量，变量，其余变量均看成常量；其余变量均看成常量；求求时，时，把把y看成看成变量，变量，其余变量均看成常量；其余变量均看成常量；2)求一点处偏导数的方法：求一点处偏导数的方法：先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义3)求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法:逐次求导法逐次求导法 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关1)求偏导求偏导(函函)数的方

13、法：数的方法：二、多元函数微分法二、多元函数微分法第二十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月23第二十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月242.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则:3.全微分形式不变性全微分形式不变性:不论不论 u,v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,都有：都有：同路相乘同路相乘,异路相加异路相加.单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导.第二十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月25例例1.解解:第二十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月26例例2.解解:第二十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月27(09数学一数学一)第二

14、十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月28法法1：公式法：公式法：法法3：微分法：微分法：谁看成变量谁看成变量.时把谁看成常量，时把谁看成常量，注意求注意求法法2：直接法：直接法：两边求导，这时若对两边求导，这时若对 求导，把求导，把 数数谁是自变量，谁是自变量，把把 均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则.谁是函数，谁是函数，两边微分，不用区分两边微分，不用区分 求隐函数求隐函数 的偏导数也有类似的方法的偏导数也有类似的方法.请选用恰当的方法请选用恰当的方法.3.求隐函数求隐函数 的偏导数的三个方法的偏导数的三个方法第二十八张，PPT共七十六

15、页，创作于2022年6月29隐函数的求导公式：隐函数的求导公式：对对两边对两边对 x 求导得求导得解这个关于解这个关于 的方程组即可的方程组即可.即即第二十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月30定理定理1.设函数设函数则方程则方程单值连续函数单值连续函数 y=f(x),并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足满足条件满足条件导数导数第三十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月31定理定理2.若函数若函数 的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数

16、,则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足满足 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确第三十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月32根据隐函数存在定理，根据隐函数存在定理，存在存在点点 的一个邻域，在此邻域内，该方程的一个邻域，在此邻域内，该方程(A)只能确立一个具有连续偏导的隐函数只能确立一个具有连续偏导的隐函数(B)可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的隐函数(C)可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的隐函数(D)可以确立具有连续性偏导的隐函数可以确立具有连续性偏导的

17、隐函数设设则则例例3.提示提示:第三十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月33例例4.设设解法解法1:直接求导法直接求导法再对再对 x 求导求导注意：注意：对对x求导时求导时,应把应把y看成常量看成常量,把把z看成看成x,y的函数的函数.第三十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月34例例4.设设解法解法2:利用公式利用公式设设则则解法解法3:利用微分法求导利用微分法求导第三十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月35(10数学一数学一,二二)(13数三数三)第三十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月36解解:方程两边求微分方程两边求微分,得得即即例例5.设设是由方

18、程是由方程和和所确定的函数所确定的函数,求求(99考研考研)分析分析:自变量个数自变量个数=变量总个数变量总个数 方程总个数方程总个数自变量与因变量由所求对象判定自变量与因变量由所求对象判定函数的个数函数的个数=方程的个数方程的个数第三十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月37一、一、基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同.第三十七张，PPT共七十六页，创作于2022

19、年6月381.在几何中的应用在几何中的应用求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线(关键关键关键关键:抓住法向量抓住法向量)三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用曲面曲面曲面曲面 在点在点1)隐式情况隐式情况：的的法向量：法向量：切点切点曲面曲面2)显式情况：显式情况：法线的法线的方向余弦：方向余弦：法向量：法向量：切点切点第三十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月39求曲线的切线及法平面求曲线的切线及法平面(关键关键关键关键:抓住切向量抓住切向量抓住切向量抓住切向量)1)参数式情况参数式情况.切向量切向量2)一般式情况一般式情况.切点切点切向量切向量其指向与其指向与t 的增

20、的增长方向一致长方向一致.第三十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月40已知平面光滑曲线已知平面光滑曲线切点切点该曲线在该曲线在 处的切向量为：处的切向量为：若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为特别的：特别的：特别的：特别的：其指向与其指向与t 的增长方向一致的增长方向一致.若平面光滑曲线方程为若平面光滑曲线方程为第四十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月44例例1.解解:切向量为：切向量为：所求切线方程为：所求切线方程为：法平面为：法平面为：求曲线求曲线上对应于上对应于的点处的切线的点处的切线与法平面方程与法平面方程.第四十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月45例

21、例2.求曲线求曲线在点在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程.解解:令令则则切向量切向量切线方程切线方程即即法平面方程法平面方程即即第四十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月46练习：练习：解解:令令(13数一数一)第四十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月472.极值与最值问题极值与最值问题1)定义定义:(1)由定义知由定义知:极值点应在定义区域极值点应在定义区域内部内部(内点内点),而不能在边界上而不能在边界上.(3)在点在点(0,0)有极小值有极小值;在点在点(0,0)有极大值有极大值;(2)该极值的概念可推广到三元以上的多元函数上该极值的概

22、念可推广到三元以上的多元函数上.说明：说明：在点在点(0,0)有极大值有极大值;第四十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月482)极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件定理定理1(必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,且在该点取得极值且在该点取得极值练习练习:(2003研研)设可微函数设可微函数 在点在点 取得极小值取得极小值,则下列结论正确的是则下列结论正确的是()C第四十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月49第四十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月50定理定理1简述为：简述为：驻点驻点极值点极值点(可导函数可导函数)注注1几何意义：几何意义：注注2

23、逆命题不成立逆命题不成立,即驻点不一定是极值点即驻点不一定是极值点.故故驻点驻点极值点极值点但在该点不取极值但在该点不取极值.因函数在因函数在该点的偏导不存在该点的偏导不存在.1)驻点驻点2)偏导中至少有一个不存在的点偏导中至少有一个不存在的点.第五十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月51定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且若函数若函数令令时时,具有极值具有极值则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当时时,没有极值没有极值.3)当当时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.1)驻点驻点2)偏导中至少有一个

24、不存在的点偏导中至少有一个不存在的点.第五十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月52例例3.求函数求函数解解:解方程组解方程组得驻点得驻点(1,1),(0,0)故所求函数的极值为故所求函数的极值为:对驻点对驻点(1,1):所以所以对驻点对驻点(0,0):所以函数在所以函数在(0,0)处处无极值无极值.第五十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月533)求函数求函数的极值的一般步骤：的极值的一般步骤：第三步第三步:定出定出的符号，的符号，再判断是否为极值再判断是否为极值.求出在定义区域内部的实数解求出在定义区域内部的实数解,第一步第一步:解方程组解方程组得驻点得驻点.第二步第二步:

25、求出求出二阶偏导数二阶偏导数的值的值A、B、C.对于每一个对于每一个驻点驻点第五十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月54(12数学一数学一,二二)(09数学二数学二)(09数学一数学一,三三9分分)第五十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月55(11年数学一年数学一)第五十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月564)求条件极值的方法求条件极值的方法 (消元法消元法,拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法)极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题.对自

26、变量只有定义域内限制对自变量只有定义域内限制.对自变量除定义域内限制外对自变量除定义域内限制外,还有其它限制条件还有其它限制条件.例如例如,转转化化第五十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月57方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数的极值问题的极值问题,故极值点必满足故极值点必满足设设 例如例如,极值点必满足极值点必满足引入辅助函数引入辅助函数第五十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月58拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日

27、(Lagrange)函数函数.利用拉格利用拉格朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.以上解正是以上解正是的驻点的驻点.第五十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月59推广推广:拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束 条件的情形条件的情形.例如例如,求函数求函数下的极值下的极值.解方程组解方程组可得到条件极可得到条件极值的可疑点值的可疑点第五十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月60(1)最值的存在性：最值的存在性：如函数如函数(2)有界闭区域有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：上连续函数的

28、最值的求法与步骤：.找最值可疑点找最值可疑点 D内的驻点及不可导点内的驻点及不可导点边界上的可能极值点边界上的可能极值点.比较以上各点处的函数值比较以上各点处的函数值,最最大大(小小)者即为所求的者即为所求的 最最大大(小小)值值.需求函数需求函数(假定函数在假定函数在D有有有限个可疑点有限个可疑点)定理定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m.5)求解闭域上连续函数最值问题求解闭域上连续函数最值问题第六十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月61解解:如图如图,例例4.求二元函数求二元函数第六十一张，

29、PPT共七十六页，创作于2022年6月62设设解方程组解方程组得条件极值的可疑点为：得条件极值的可疑点为：另解另解 求求提示提示:3.比较以上各点处的函数值比较以上各点处的函数值,最大最大(小小)者即为所求者即为所求的最大的最大(小小)值值.练习：练习：求函数求函数在闭域在闭域2007研研答案答案:第六十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月63 求多元函数在闭区域求多元函数在闭区域D上的最值上的最值,往往比较复杂往往比较复杂.但如果但如果根据问题的实际意义根据问题的实际意义,知道函数在知道函数在D内存在最值内存在最值,又知函数又知函数在在D内可微内可微,且只有唯一驻点且只有唯一驻点,则

30、该点处的函数值就是所求的最则该点处的函数值就是所求的最值值.特别特别,当区域内部当区域内部最值存在最值存在,且且只有只有一个极值点一个极值点P 时时,函数的最值应用问题的解题步骤：函数的最值应用问题的解题步骤：第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值.第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定定义域确定定义域(及约束条件及约束条件);6)函数的最值应用问题函数的最值应用问题第六十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月64例例5.求曲面求曲面与平面与平面解：解：设设为抛物面为抛物面上任一点，上任

31、一点，则则 P 的距离为的距离为问题归结为问题归结为约束条件约束条件:目标函数目标函数:到平面到平面之间的最短距离之间的最短距离.令令得唯一驻点：得唯一驻点：根据问题的实际意义根据问题的实际意义,知知第六十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月65(08数学一数学一,11分分)(10数三数三)第六十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月66 在山坡上沿不同方向行走在山坡上沿不同方向行走时陡缓不一样时陡缓不一样.空气沿不同方向流动的快空气沿不同方向流动的快慢不一样慢不一样.在数学上，即设函在数学上，即设函数数 当当(x，y)沿不同沿不同方向改变时的变化率决方向改变时的变化率决定着陡缓

32、与快慢定着陡缓与快慢.如图如图：3.方向导数与梯度方向导数与梯度问题的提出问题的提出:第六十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月67方向导数方向导数1)定义定义:则称则称记作记作 xoy第六十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月68的方向导数为：的方向导数为：第六十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月692)方向导数的存在性及其计算方法方向导数的存在性及其计算方法:定理定理那么那么函数在函数在该点沿任一方向该点沿任一方向 的方向导数存在的方向导数存在,且有且有说明说明:(1)可微可微沿任一方向的方向导数存在沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立反之不一定成立.如：如：

33、在在 点处沿任一方向点处沿任一方向的方向导数为的方向导数为1，但它在但它在 处不可微（因不可导）处不可微（因不可导）.第六十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月70(3)若计算若计算，只需在题设中找到，只需在题设中找到(4)几个关系：几个关系：连连连连 续续续续可微分可微分可微分可微分偏导数存在偏导数存在偏导数存在偏导数存在一阶偏导数连续一阶偏导数连续有定义有定义有定义有定义注：注：反之不成立反之不成立.第七十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月71(5)推广可得三元函数方向导数的定义及计算公式推广可得三元函数方向导数的定义及计算公式1)定义：定义：函数函数 在点在点 处沿方向处

34、沿方向 的的方向导数方向导数.第七十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月72例例6.解解:方向余弦为方向余弦为而而同理得同理得第七十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月73方向导数公式方向导数公式记向量记向量方向导数取最大值：方向导数取最大值：这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模:f 的最大变化率之值的最大变化率之值1)定义：定义：记作记作称为函数称为函数 f(x,y,z)在点在点 P 处的梯度处的梯度(gradient),向量向量梯度梯度 第七十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月74即即同样同样可定义二元函数可定义二元函数函数函数 f(x

35、,y,z)在点在点 P 处的梯度处的梯度在点在点处的梯度处的梯度 2)梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系:(1)区别：区别：(2)联系：联系：梯度是向量，方向导数是数量梯度是向量，方向导数是数量.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得方向导数的最小值？方向导数的最小值？最大最大方向导数方向导数的方向一致的方向一致,而它的模为方向导数的最大值而它的模为方向导数的最大值.即即第七十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月75例例7.求函数求函数由梯度计算公式得由梯度计算公式得梯度梯度,并求该函数在点并求该函数在点 处的方向导数的最大值处的方向导数的最大值.解：解：则该函数在点则该函数在点 处的方向导数的最大值为：处的方向导数的最大值为：第七十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第七十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月