多元函数微分法.ppt

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1、多元函数微分法多元函数微分法现在学习的是第1页，共34页基本要求基本要求 1、理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、理解多元函数的概念，了解二元函数的极限、连续性等概念及有界闭域上连续函数的性质；、连续性等概念及有界闭域上连续函数的性质；2、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的概念、理解偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，了解偏导数的几何意义、全微分，了解偏导数的几何意义、全微分 存在的充分和存在的充分和必要条件和高阶混合偏导数与求导次序无关的条必要条件和高阶混合偏导数与求导次序无关的条件；件；3、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函、掌握多元复合函数的求导法则，会求隐函数（包含由方程组确定的隐函

2、数）的偏导数；数（包含由方程组确定的隐函数）的偏导数；现在学习的是第2页，共34页基本要求（续）基本要求（续）4、理解多元函数的极值和条件极、理解多元函数的极值和条件极值的概念，会求多元函数极值、最值，值的概念，会求多元函数极值、最值，熟悉条件极值与拉格朗日乘数法；熟悉条件极值与拉格朗日乘数法；5、熟悉空间曲线的切线方程、法、熟悉空间曲线的切线方程、法平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方平面方程的求法，熟悉曲面的切平面方程和法线方程的求法；程和法线方程的求法；现在学习的是第3页，共34页 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点，是是某某一一正正数数，与与点点),(000yx

3、P距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，（1）邻域）邻域0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx一、区域一、区域 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念现在学习的是第4页，共34页（2）区域）区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE.EE 的的内内点点属属于于EP.为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例

4、如，例如，即为开集即为开集现在学习的是第5页，共34页的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 现在学习的是第6页，共34页连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41|),(2

5、2 yxyx例如例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo现在学习的是第7页，共34页0|),(yxyx有界闭区域有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如例如，则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 41|),(22 yxyx现在学习的是第8页，共34页（3）聚点（补充）聚点（补充）设设 E是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P

6、 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.1.内点一定是聚点；内点一定是聚点；2.边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10|),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点现在学习的是第9页，共34页3.点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|),(22 yxyx例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1|),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于

7、集合现在学习的是第10页，共34页（4）n维空间维空间 设设n为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称n元数组元数组),(21nxxx的全体为的全体为n维空间，而每个维空间，而每个n元数元数组组),(21nxxx称为称为n维空间中的一个点，数维空间中的一个点，数ix称为该点的第称为该点的第i个坐标个坐标.1.n维空间的记号为维空间的记号为;nR2.n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 现在学习的是第11页，共34页),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3.n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 nRPPPP

8、PU ,|),(00 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3,2,1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为现在学习的是第12页，共34页 设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量，变量z按照按照一定的法则总有确定的值一定的法则总有确定的值和它对应和它对应，则称，则称z是变量是变量yx,的的二元函数二元函数，记为，记为),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）.（1）二元函数的定义）二元函数的定义当当2 n时时，n元

9、元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多多元元函函数数中中同同样样有有定定义义域域、值值域域、自自变变量量、因因变变量量等等概概念念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数二、二、多元函数概念多元函数概念现在学习的是第13页，共34页例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 现在学习的是第14页，共34页（2）二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取

10、定定的的DyxP),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当x取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得一一个个空空间间点点集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集称称为为二二元元函函数数的的图图形形.（如下页图）（如下页图）现在学习的是第15页，共34页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.现在学习的是第16页，共34页xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),

11、(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:现在学习的是第17页，共34页定 义定 义1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正是其聚点，如果对于任意给定的正数数，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有|),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx),(lim00 （或（或)0(),

12、(Ayxf这里这里|0PP ）.三、多元函数的极限三、多元函数的极限现在学习的是第18页，共34页说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似现在学习的是第19页，共34页例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,当当 时，时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原

13、结论成立现在学习的是第20页，共34页例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 现在学习的是第21页，共34页例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，

14、故极限不存在故极限不存在现在学习的是第22页，共34页不存在不存在.观察观察26300limyxyxyx,263图形图形yxyxz 现在学习的是第23页，共34页（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与 k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：现在学习的是第24页，共34页定义定义 2 2 设设n元

15、函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总 存 在 正 数总 存 在 正 数，使 得 对 于 适 合 不 等 式，使 得 对 于 适 合 不 等 式|00PP的 一 切 点的 一 切 点DP ，都 有，都 有|)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP)(lim0.n元元函函数数的的极极限限利用点函数的形式有利用点函数的形式有现在学习的是第25页，共34页 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点且是其聚点且

16、DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称 0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义3 3现在学习的是第26页，共34页例例5 5 讨论函数讨论函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解取取,cos x sin y)0,0(),(fyxf)cos(sin33 2 现在学习的是第27页，共34页

17、2)0,0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx,0 ,2 当当 时时 220yx现在学习的是第28页，共34页例例6 6 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续现在学习的是第29页，共34页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元

18、连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至上至少取得它的最大值和最小值各一次少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这上取得介于这两值之间的任何值至少一次两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理现在学习的是第30页，共34页（3）一致连续性定理）一致连续性定理*在有界闭区域在有界闭区域DD上的多元连续函数必定在上的多元连续函数必定在D D上上一致连续一致连续多元初等函数多元初等函数：由多元多项

19、式及基本初等函数经：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域现在学习的是第31页，共34页例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP

20、处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求现在学习的是第32页，共34页 若若点点),(yx沿沿着着无无数数多多条条平平面面曲曲线线趋趋向向于于点点),(00yx时时，函函数数),(yxf都都趋趋向向于于 A，能能否否断断定定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？课堂思考题课堂思考题现在学习的是第33页，共34页思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41现在学习的是第34页，共34页