多元函数及其微分法.ppt

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1、第八章第八章 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第六节第六节 多元函数微分法的几何应用多元函数微分法的几何应用第七节第七节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、多元函数概念一、多元函数概念例如例如 （i）圆柱体的体积公式）圆柱体的体积公式 ，其中其中r、h是自变量。当是自变量。当r、h在定义域内取定一对在定义域内取定一对数值（数值（r，h）时，）时，V就有唯一的值与之

2、对应。就有唯一的值与之对应。(ii)矩形的面积矩形的面积S=xy。其中。其中x、y是自变量。是自变量。当当x、y在定义域内取定一对数值（在定义域内取定一对数值（x,y）时，）时，S就有唯一的值与之对应。就有唯一的值与之对应。1、多元函数定义多元函数定义 设有变量设有变量x、y、z。若当若当x、y在一定范围内任意取定一对值在一定范围内任意取定一对值(x，y)时，时，z按一定的法则按一定的法则f总有唯一确定的数值与之对应，总有唯一确定的数值与之对应，则称这个则称这个f为为x、y的的二元函数二元函数。x、y叫做自变量，叫做自变量，z叫因变量。叫因变量。x、y的变化范围叫做定义域，函数记为的变化范围叫

3、做定义域，函数记为因为（因为（x，y）对应）对应xoy平面上的一个点平面上的一个点P(x,y)。所以所以 可以看作平面上点可以看作平面上点P的函数，的函数，记为记为z=f(P)。函数的定义域是使函数有定义的点的全体构函数的定义域是使函数有定义的点的全体构成的点集。成的点集。三元函数三元函数u=f(x,y,z)可看作空间内点可看作空间内点P（x,y,z）的）的函数。定义域是空间内的点集。函数。定义域是空间内的点集。故故 二元函数二元函数f（x,y）的定义域是）的定义域是xoy平面上的平面上的 点集。点集。例例1 的定义域是满足的定义域是满足 的的 点（点（x,y）的全体。即）的全体。即 xyO例

4、例2 的定义域为的定义域为 二元函数二元函数z=f(x,y)的图形的图形 建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，先在先在xoy平面内作出平面内作出函数函数z=f(x,y)的定义域的定义域D，对于，对于D中的任一点中的任一点P(x,y)，在空间中都，在空间中都能找到一点能找到一点M与之对与之对应，当应，当P点变动时，对点变动时，对应点应点M的轨迹为的轨迹为z=f(x,y)的几何图形。的几何图形。它通常是一张曲面。它通常是一张曲面。XZyOPM图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.函数函数z=sinxy0 x3,0y0，,y为任意实数）为任意实数）求证：求证：例例5 已知理想气体

5、的状态方程已知理想气体的状态方程PV=RT（R为常量）为常量）求证：求证：由此可见偏导数的记号是一个整体记号，并不由此可见偏导数的记号是一个整体记号，并不代表相除的意思。代表相除的意思。而一元函数而一元函数 可以看作可以看作dy与与dx之商，之商，因此也称因此也称“微商微商”。4、二元函数偏导数的几何意义、二元函数偏导数的几何意义 表示空间一个曲面。设表示空间一个曲面。设 为曲面上一点，过为曲面上一点，过 作平面作平面 与曲面相交与曲面相交于一曲线，则曲线方程为于一曲线，则曲线方程为 。那么那么 就是这条曲线在点就是这条曲线在点 处的切线处的切线对对x轴的斜率。轴的斜率。ZXyZXy同样同样

6、表示曲面表示曲面z=f(x,y)与平面与平面 的交线在点的交线在点 处的切线对处的切线对y轴的斜率。轴的斜率。5、多元函数可导与连续的关系、多元函数可导与连续的关系对一元函数，若函数在某点可导，则在此点必连续。对一元函数，若函数在某点可导，则在此点必连续。对多元函数，是否也有此结论呢？对多元函数，是否也有此结论呢？若多元函数可导不一定连续。若多元函数可导不一定连续。在点（在点（0,0）处的偏导数和连续性）处的偏导数和连续性例例 考察函数考察函数二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 在区域在区域D内存在偏导数内存在偏导数这两个偏导数仍然是这两个偏导数仍然是x、y的函数。的函数。若它们的偏导数还存在，

7、则称这两个函数的偏导数若它们的偏导数还存在，则称这两个函数的偏导数为为 的二阶偏导数。的二阶偏导数。按照对自变量求导顺序可以分为四种二阶偏导数：按照对自变量求导顺序可以分为四种二阶偏导数：1、f(x,y)对对x的二阶偏导数的二阶偏导数2、f(x,y)对对x、y的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数3、f(x,y)对对y、x的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数4、f(x,y)对对y的二阶偏导数的二阶偏导数例例1 设设，求，求，定理定理若二阶混合偏导数在区域若二阶混合偏导数在区域D内连续，则内连续，则这两个二阶混合偏导数相等。这两个二阶混合偏导数相等。例例2 验证函数验证函数 满足方程满足方程例例3 设设

8、证明：函数证明：函数 满足方程满足方程上述两例中的方程称为拉普拉斯方程上述两例中的方程称为拉普拉斯方程.一元函数的微分定义一元函数的微分定义若若可表示为可表示为则则f(x)在点在点 可微。可微。叫做叫做 在点在点 的的微分。微分。记作记作dy.引例引例 设一圆柱体的底半径为设一圆柱体的底半径为r,高为高为h，当底半径和高，当底半径和高各自获得增量各自获得增量 和和 时，现分析圆柱体体积时，现分析圆柱体体积V的的改变量改变量圆柱体体积公式圆柱体体积公式则则即即当当 和和 都很小时，方框部分可忽略不计都很小时，方框部分可忽略不计 设设z=f(x,y)的定义域为的定义域为D。，当当x取得增量取得增量

9、 ，y 取得增量取得增量 时，时，得到另一个点得到另一个点 ，那么，那么P和和 的函数的函数值之差值之差 称为称为全增量全增量。其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，则则称函数称函数f(x,y)在点在点(x,y)可微可微，称为称为函数在点函数在点(x,y)的的全微分全微分,记作记作 若若一、全微分一、全微分二、多元函数可微、连续、偏导数之间的关系二、多元函数可微、连续、偏导数之间的关系定理定理1 若二元函数在点若二元函数在点(x,y)可微分，则函数在这可微分，则函数在这个点也连续。个点也连续。可微可微 连续连续不连续不连续 不可微不可微定理定理2(必要条件必

10、要条件)若函数若函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可可微微,则该则该函数在该点偏导数函数在该点偏导数 必存在必存在,且在该且在该点的全微分为点的全微分为注意：注意：偏导数存在，全微分不一定存在。偏导数存在，全微分不一定存在。反例反例定理定理3 若偏导数连续，则函数的全微分必存在。若偏导数连续，则函数的全微分必存在。在点在点(0,0)偏导数存在，偏导数存在，但不可微。但不可微。的全微分为的全微分为推广推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例例1 求求 的全微分。的全微分。例例2 求求 在点在点(2,1)处的全微分。处的全微分。例例3 求求

11、的全微分。的全微分。三、全微分的应用三、全微分的应用若若 ，连续，连续，都很小时都很小时就有就有例例2 计算计算 的近似值。的近似值。例例1 有一圆柱体受压后发生形变有一圆柱体受压后发生形变,半径由半径由 20cm 增大增大到到21cm,高度由高度由100cm 减少到减少到 99cm,求此圆柱体求此圆柱体体积的近似改变量体积的近似改变量.一、复合函数的中间变量均为一元函数一、复合函数的中间变量均为一元函数例例1 设设 ，。求全导数求全导数 。例例2 设设 (u0,)，均可导，求均可导，求 。二、复合函数的中间变量均为多元函数二、复合函数的中间变量均为多元函数例例2 设设 ，f具有连续偏导数，具

12、有连续偏导数，证明：证明：例例1 设设 ，。求求 ，。三、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元三、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元 函数函数1、例例 设设 ，求求 和和 。2、例例1 设设 ，求求 和和 。例例2 设设 ，f具有二阶连续具有二阶连续偏导数，求偏导数，求 和和 。我们以前学习过由方程我们以前学习过由方程 所确定的所确定的隐函数隐函数 的求导方法。的求导方法。但这是在方程能确定一个一元函数且这个一元函但这是在方程能确定一个一元函数且这个一元函 数可导的前提下进行的。数可导的前提下进行的。所以在用隐函数的求导法之前，必须弄清两个问题：所以在用隐函数的求导法之前，必须弄清两

13、个问题：1、在什么条件下，方程、在什么条件下，方程 可确定隐函数可确定隐函数 。2、若隐函数存在，是否可导。、若隐函数存在，是否可导。隐函数存在定理隐函数存在定理1 设设 在点在点 的某的某一邻域内具有连续的偏导数。一邻域内具有连续的偏导数。，则则 在这个邻域内能唯一确定一个具有在这个邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函数连续导数的函数 且且这就是一元隐函数的求导公式。这就是一元隐函数的求导公式。例例1 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 的一阶与二阶导数。的一阶与二阶导数。隐函数存在定理隐函数存在定理2 设设 在点在点 的某一邻域内具有连续的偏导数。的某一邻域内具有连续的偏导数。

14、，则则 在这个邻域内能唯一确定一个具有在这个邻域内能唯一确定一个具有连续导数的函数连续导数的函数 且且例例2 设设 ，求，求一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线设空间曲线L的参数方程为的参数方程为其中其中t为参数为参数切线方程：切线方程：法平面：法平面：MN例例1 求曲线求曲线 ，在在点（点（1，1，1）的切线及法平面方程。）的切线及法平面方程。曲线曲线L参数方程的特殊形式：参数方程的特殊形式：二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线1、隐式的曲面方程、隐式的曲面方程 设设 的偏导数在点的偏导数在点 连续且不同时为连续且不同时为0，则在曲面，则在曲面 上通过点上通

15、过点M的的一切曲线在点一切曲线在点M的切线都在同一个平面上，这个的切线都在同一个平面上，这个平面叫做点平面叫做点M的的切平面切平面。M通过点通过点M垂直于切平面的直线垂直于切平面的直线叫曲面在叫曲面在M点的点的法线法线。切平面：切平面：法线：法线：例例2 求球面求球面 在点（在点（1，2，3）的切平面及法线方程。的切平面及法线方程。例例3 求旋转抛物面求旋转抛物面 在点在点(1,2,4)的切平面及法线方程。的切平面及法线方程。例例4 求出曲线求出曲线 ，上的点，上的点，使在该点的切线平行于平面使在该点的切线平行于平面 。例例5 在曲线在曲线z=xy上求一点，使这点处的法线垂直上求一点，使这点处

16、的法线垂直于平面于平面 。1、定义、定义 设设z=f(x,y)的定义域为的定义域为D。，若存在若存在 ，对，对 ，有，有 ，则称函数在点，则称函数在点 有极大值。有极大值。，则称函数在点，则称函数在点 有极小值。有极小值。一、多元函数的极值及最值一、多元函数的极值及最值2、定理（必要条件）定理（必要条件）二元函数二元函数Z=f(x,y)在点在点 可微分，且在点可微分，且在点 处取得处取得极值，则极值，则多元函数的驻点：使所有偏导数同时为多元函数的驻点：使所有偏导数同时为0的点。的点。由定理可知：由定理可知：可微多元函数的极值点必是驻点可微多元函数的极值点必是驻点。但是但是,驻点不一定是极值点。

17、驻点不一定是极值点。(1)(2)(3)处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz+=处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz+-=处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz=3、二元函数极值、二元函数极值判定判定定理定理 设设z=f(x,y)在在 内有直到二阶连续偏导数，内有直到二阶连续偏导数，记记 则（则（1）时有极值，时有极值，A0时有极小值。时有极小值。（2）时无极值时无极值 （3）时不确定是否存在极值。时不确定是否存在极值。具有二阶连续偏导数的二元函数具有二阶连续偏导数的二元函数z=f(x,y)求极值的步骤：求极值的步骤：第第1步步 解方程组解方程组 ，即求

18、出所有驻点；（实数）即求出所有驻点；（实数）第第2步步 求求A，B，C；第第3步步 定出定出 的符号。的符号。例例1 求函数求函数 的极值。的极值。4、最值、最值一元函数一元函数，比较区间端点和驻点上的函数值，比较区间端点和驻点上的函数值最大的就是最大值，最小的就是最小值。最大的就是最大值，最小的就是最小值。二元函数二元函数，把区域，把区域D内所有驻点和边界上的点的函数内所有驻点和边界上的点的函数值相比较，但是边界上的点有很多，计算函数值值相比较，但是边界上的点有很多，计算函数值再比较就非常麻烦。再比较就非常麻烦。例例2 用铁板做一个体积为用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱，的有盖长方体水

19、箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省？实际上，我们遇到的问题中往往会给出一些特定的实际上，我们遇到的问题中往往会给出一些特定的条件：函数的最值一定在区域条件：函数的最值一定在区域D内部取得，且在内部取得，且在D内内只有一个驻点，那么这个驻点处的函数值就一定是只有一个驻点，那么这个驻点处的函数值就一定是最值。最值。二、条件极值二、条件极值 对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内，没有其它条件了，称为没有其它条件了，称为无条件极值无条件极值。在实际问题中，往往会有对自变量的约束条件。在实际问题中，往往会有

20、对自变量的约束条件。例如例如 求表面积为求表面积为 而体积最大的长方体的体积。而体积最大的长方体的体积。象这种对自变量有约束条件的极值称为象这种对自变量有约束条件的极值称为条件极值条件极值。有时，可以将条件极值转化为无条件极值问题，有时，可以将条件极值转化为无条件极值问题，但有时转化过程比较复杂，因此下面介绍一种直接但有时转化过程比较复杂，因此下面介绍一种直接求条件极值的方法求条件极值的方法拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求求z=f(x,y)在约束条件在约束条件 下的极值点。下的极值点。设辅助函数设辅助函数从中解出从中解出x，y，则，则(x,y)就是极值点。就是极值点。例例1 求表面积为求表面积为 而体积最大的长方体的体积。而体积最大的长方体的体积。解解设长方体的三棱长为设长方体的三棱长为则问题就是在条件下则问题就是在条件下求函数求函数的最大值。作拉格朗日函数的最大值。作拉格朗日函数求其对求其对 的偏导数，并使之为零，解方程组的偏导数，并使之为零，解方程组得到得到这是唯一可能的极值点。因此表面积为这是唯一可能的极值点。因此表面积为 的长方体中，的长方体中，以棱长为以棱长为 的正方体的体积为最大，最大体积的正方体的体积为最大，最大体积例例2 求函数求函数 在附加条件在附加条件下的极小值。下的极小值。解解作拉格朗日函数作拉格朗日函数得得故极小值为故极小值为