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1、 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第十节第十节 连续函数的运算连续函数的运算与初等函数的连续性与初等函数的连续性由连续函数的定义和极限的四则运算法则由连续函数的定义和极限的四则运算法则,有有一、连续函数的和、差、积及商的连续性一、连续函数的和、差、积及商的连续性 定理定理1例如例如,例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.定理定理2如果函数如果函数y=f(x)在其定义区间在其定义区间 是是连续连续且单调增加且单调增加(或减少或减少),则它的反函数则它的反函数 在在 上也上也连续连续且单调增加且单调增加(或减少或减少)二、反函数与复合函
2、数的连续性二、反函数与复合函数的连续性 注注1.内函数的极限存在内函数的极限存在,外函数在该极限点连续外函数在该极限点连续,则求复则求复2.合函数的极限时极限符号可以与外函数符号互换合函数的极限时极限符号可以与外函数符号互换;例例8解解例例9解解定理定理4注注定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例例 求求解解原式原式说说明明 若若则则有有求下列函数极限：求下列函数极限：三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 其中定义区间是指包含在定义域内的区间其中定义区
3、间是指包含在定义域内的区间.定理定理6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定理定理5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一在其定义域内不一定连续定连续;注注基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没
4、有定义.例如例如在其定义区间内都是连续函数在其定义区间内都是连续函数.求函数求函数的连续区间的连续区间,并求并求解解所以所以 的连续区间为的连续区间为 函数函数的连续区间是的连续区间是()(4)解解注注 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法:代入法代入法.例例10解解例例11解解消去未定式消去未定式求极限求极限解解于是于是归纳求极限的常见方法归纳求极限的常见方法:2.利用重要极限利用重要极限3.利用函数的连续性利用函数的连续性过程过程,常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函常常需要因式分解、约分、通分或分子分母同乘以函数数.来化简来化简.记住结论记住结论:型的求极限型的求极限1.利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则,以及对于以及对于4.利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小的等价代换.5.利用数列求和公式和基本极限利用数列求和公式和基本极限.比如比如6.利用对数方法求幂指函数极限利用对数方法求幂指函数极限例如例如 求求解解7.利用极限存在准则利用极限存在准则,证明极限的存在证明极限的存在,并求极限并求极限.比如比如:解解解得解得思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但