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1、连续函数的运算与初等函数的连续性第1页，此课件共19页哦一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1例如例如,第2页，此课件共19页哦二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数连续反函数.反函数与直接函数的图形是关反函数与直接函数的图形是关于于 y=x相互对称的曲线，如果相互对称的曲线，如果y=f(x)是一条连续的曲线，自然是一条连续的曲线，自然曲线曲线 y=f-1(x)也是一条连续的曲也是一条连续的曲线。线。例如例如,在在上上连续单调递连续单调递增，增，其反函数其反函数在在 1,
2、1 上也上也连续单调递连续单调递增增.在在上上连续单调递连续单调递增增,其反函数其反函数在在上也上也连续单调递连续单调递增增.又如又如,第3页，此课件共19页哦定理定理3 3证明证明将上两步合起来将上两步合起来:第4页，此课件共19页哦注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,定理定理4.连续连续函数的复合函数是函数的复合函数是连续连续的的.证证:设设函数函数于是于是故复合函数故复合函数且且即即第5页，此课件共19页哦意意义义1.极限符号可以与函数符号互极限符号可以与函数符号互换换;例例1解解第6页，此课件共19页哦例例2解：解：1)一般地一般地,对幂对幂指函数指函数 ，
3、如果如果存在存在,则则说说明明:第7页，此课件共19页哦2)若若则则有有3)当当则则有有第8页，此课件共19页哦三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它三角函数及反三角函数在它们们的定的定义义域内是域内是连续连续的的.(均在其定均在其定义义域内域内连续连续)幂幂函数函数第9页，此课件共19页哦定理定理5 基本初等函数在基本初等函数在定定义义域内域内是是连续连续的的.定理定理6 一切初等函数在其一切初等函数在其定定义义区区间间内都是内都是连续连续的的.定定义义区区间间是指包含在定是指包含在定义义域内的区域内的区间间.初等函数初等函数仅仅在其定在其定义义区区间间内内连续连续
4、,在其定在其定义义域内不一定域内不一定连连续续;例如例如,这这些孤立点的些孤立点的邻邻域内没有定域内没有定义义.在在0点的点的邻邻域内没有定域内没有定义义.注意注意1.第10页，此课件共19页哦注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.只要只要为为初等函数：初等函数：例例3解解第11页，此课件共19页哦例例4解解第12页，此课件共19页哦例例5 5、求求解：解：第13页，此课件共19页哦例例6 6、求求解：解：由于为由于为 初等函数，且初等函数，且x=1x=1为定义区间为定义区间内的点，所以：内的点，所以：第14页，此课件共19页哦四、小结四、小结连续函数的和差积商的连
5、续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.说说明明:分段函数在界点分段函数在界点处处是否是否连续连续需需讨论讨论其左、右其左、右连续连续性性.第16页，此课件共19页哦求极限的方法通常有：求极限的方法通常有：(1)(1)利用连续性利用连续性 (2)(2)利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换 (3)(3)利用重要二极限利用重要二极限 (4)(4)初等方法：初等方法：a.a.有理化，有理化，b.b.因式分解，因式分解，c.c.分子分母同除，分子分母同除，d.d.数列先求和数列先求和 e.e.单调有界性或夹逼性判定单调有界性或夹逼性判定作业：作业：P69 3,4P69 3,4第17页，此课件共19页哦思考题思考题思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点第19页，此课件共19页哦