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1、第二章第二章 多元函数微分学多元函数微分学1 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、一、多元函数的概念多元函数的概念二、二、多元函数的极限多元函数的极限11、邻域、邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念22、区域、区域例如，例如，开集开集34连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，5有界闭区域有界闭区域无界开区域无界开区域例如例如:63、聚点、聚点 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：说明：说明：边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例:(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点74、二元函数的定义、二元函数的定义类似地可定义三元及三元以
2、上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义域、值域、自变量、因变量定义域、值域、自变量、因变量8例例1 1 已知函数已知函数 求求解解9例例2 2 设函数设函数 求求解解令令代入得代入得所以所以10例例3 3 求求 的定义域的定义域解解11例例4 4 求求 的定义域的定义域解解12例例5 5 求求 的定义域的定义域解解定义域：定义域：135、二元函数二元函数 的图形的图形二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张曲面曲面14如：如：单值分支单值分支:如：如：15二、多元函数的极限二、多元函数的极限16说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫
3、二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似17例例6 6 求极限求极限 解解例例7 7 求极限求极限 解解令令 18例例8 8 求极限求极限 解解其中其中19例例9 9 求极限求极限 解解夹逼定理夹逼定理 20例例1010 求极限求极限 解解夹逼定理夹逼定理 21例例1111 求极限求极限 解解22例例1212 讨论极限讨论极限 的存在性的存在性 当动点沿着当动点沿着x轴趋向点轴趋向点(0,0),即即 解解时，时，不存在不存在 不存在不存在 23例例1313 证明证明 不存在不存在 证证沿三条不同的路径趋向于原点沿三条不
4、同的路径趋向于原点(0,0)轴轴 轴轴 不存在不存在 24例例1414 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化，故极限不存在的不同而变化，故极限不存在25不存在不存在.观察观察播放播放26确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：(1)令令趋向于趋向于若极限值与若极限值与有关，则可断言极限不存在有关，则可断言极限不存在沿沿，(2)找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使存在，存在，但二者不相等，此时可断言但二者不相等，此时可断言处极限不存在处极限不存在在点在点27三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 328例例1515 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续29例例1616解解30多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义31思考题思考题32思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取33练练 习习 题题343536练习题答案练习题答案37