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1、13-513-5多自由度体系的自由振动多自由度体系的自由振动 自由振动分析自由振动分析一一.运动方程的建立及其解运动方程的建立及其解自由振动分析的目的是确定体系的动力特性自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。可不计阻尼。1.1.建立运动方程建立运动方程(1)(1)刚度法刚度法m m1m m2=+m m1m m2或记作或记作其中其中若为自由振动则有若为自由振动则有 ,于是于是:(2)(2)柔度法柔度法m m1EIl/3l/3l/3m m2=简记为简记为位移位移向量向量柔度矩阵柔度矩阵荷载向量荷载向量质量质量矩阵矩阵加加速速度度向向量量若为自由振动则有若为自由振动则有 ,于是于是:简
2、记为简记为设方程的特解为设方程的特解为2.2.运动方程的解运动方程的解代入方程代入方程,得得经整理经整理,得得-振型方程振型方程为寻求为寻求Y Y1 1、Y Y2 2的非零解，上式中的系数行列式必为零，于是有：的非零解，上式中的系数行列式必为零，于是有：-频率方程频率方程展开上式可得到一个关于展开上式可得到一个关于 的二次方程的二次方程-频率方程频率方程展开展开整理后有：整理后有：-与第一频率相对与第一频率相对应的振型，简称第应的振型，简称第一一振型振型解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根值小者记作值小者记作称作第一频率称作第一频率也称作基本频率也称作基本频率;值大者记作值大者记作称为第
3、二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率.将将 频率代入振型方程，注意到行列式等于零，频率代入振型方程，注意到行列式等于零，振型方程振型方程中中的两个方程是线性相关的，只有一个独立的的两个方程是线性相关的，只有一个独立的方程：方程：同样处理将同样处理将 频率代入振型方程频率代入振型方程-与第二频率相对与第二频率相对应的振型，简称第应的振型，简称第二二振型振型-频率方程频率方程即即或记作或记作-振型方程振型方程解频率方程得解频率方程得 的两个根的两个根将将 频率代入振型方程频率代入振型方程将将 频率代入振型方程频率代入振型方程特解特解1 1特解特解2 2值小者记作值小者记作称作第一频率称作第一频率
4、也称作基本频率也称作基本频率;值大者记作值大者记作称为第二频率或高阶频率称为第二频率或高阶频率.通解通解特解特解1 1特解特解2 2其中其中A A1 1、A A2 2是由初始条件确定的任意常数。是由初始条件确定的任意常数。特解特解1 1也可写为也可写为特解特解2 2也可写为也可写为二二.关于频率与振型的讨论关于频率与振型的讨论体系按特解振动时有如下特点体系按特解振动时有如下特点1)1)各质点同频同步各质点同频同步;2)2)任意时刻任意时刻,各质点位移的比各质点位移的比 值保持不变值保持不变定义定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主
5、振型。的振动形状称作体系的主振型。几点说明：几点说明：1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。2.2.发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的.3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关与外界因素无关.几点说明：几点说明：1.1.按振型作自由振动时，各质点的按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。比值相同。2.2.发生按振型的自由振动是有条件的发生按振型的自由振动是有条件的
6、.3.3.振型与频率是体系本身固有的属性振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关与外界因素无关.自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得N N个个 从小从小到大排列到大排列依次称作第一频率依次称作第一频率,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率,其它为高其它为高阶频率阶频率.将频率代入振型方程将频率代入振型方程得得N N个振型个振型N N个振型彼此之间是线性无关的个振型彼此之间是线性无关的.5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程.4 4。N N
7、自由度体系有自由度体系有N N个频率和个频率和N N个振型个振型频率方程频率方程解频率方程得解频率方程得 的的N,N,从小从小到大排列到大排列依次称作第一频率依次称作第一频率,第二频率第二频率.第一频率称作基本频率第一频率称作基本频率,其它为高其它为高阶频率阶频率.将频率代入振型方程将频率代入振型方程得得N N个振型个振型N N个振型是线性无关的个振型是线性无关的.振型方程振型方程频率方程频率方程按振型振动时按振型振动时5 5。若已知柔度矩阵时。若已知柔度矩阵时6 6。求振型、频率可列幅值方程。求振型、频率可列幅值方程.振型方程振型方程频率方程频率方程按振型振动时按振型振动时m m1m m2振
8、型可看作是体系按振型振动时，振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移三三.求多自由度体系频率、振型例题求多自由度体系频率、振型例题例例1.1.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解令令1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型对称体系的振型分对称体系的振型分成两组成两组:一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反对称振型1 11 11 11 1第一振型第一振型第二振型第二振型对称系的振型分对称系的振型分成两组成两组:一组为对称振型一组为对称振型一组
9、为反对称振型一组为反对称振型按对称振型振动按对称振型振动=1=1l/3按反对称振型振动按反对称振型振动1 11 1第二振型第二振型对称系的振型分对称系的振型分成两组成两组:一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反对称振型按对称振型振动按对称振型振动=1=1l/3按反对称振型振动按反对称振型振动对称系的振型分对称系的振型分成两组成两组:一组为对称振型一组为对称振型一组为反对称振型一组为反对称振型按对称振型振动按对称振型振动=1=1l/3按反对称振型振动按反对称振型振动=1=1l/9解解:例例2.2.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型.已知已知:m m1m m21 11.61
10、81.6181 10.6180.618（3 3）求主振型）求主振型1.6181.01.00.618第第1 1振型振型第第2 2振型振型（2 2）求频率）求频率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式代公式若有若有例例3.3.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解:令令例例3.3.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解:令令例例3.3.求图示体系的频率、振型求图示体系的频率、振型解解:令令0.5a例例4.4.试求图示梁的自振频率和主振型，梁的试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EIEI已知。已知。12aaamm解：（解：（1 1）计算频率）计算频率1a1（2
11、2）振型）振型10.27713.61第一振型第一振型第二振型第二振型例例5 5 利用利用对称性称性简化化图示示结构柔度系数的求解。构柔度系数的求解。mmmaaaaaaEIEIEI解：解：因因为结构和构和质量分布均匀量分布均匀对称，其振型也是称，其振型也是对称和称和反反对称的，分称的，分别取半取半边结构构计算。算。求对称振型求对称振型求反对称振型求反对称振型m2=m/2m1=maaaEIEIaaaEIEIm1=mm2=m/2 以求以求对称振型称振型为例例说明明 中系数中系数的求解。首先求出的求解。首先求出半半边结构在集中构在集中质量上分量上分别作用有作用有单位集中力位集中力产生的生的弯矩弯矩图。aaa1aaa1(a)M1图(b)M2 图 为了求柔度系数，可以在另外的静定基本了求柔度系数，可以在另外的静定基本结构上加构上加单位力并作弯矩位力并作弯矩图。(c)图图(d)1aaa1aaaa