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1、第四章第四章 多自由度系统多自由度系统(MDOF)(MDOF)的动力学特性的动力学特性用一个独立坐标描述的单自由度系统，是实际振动系用一个独立坐标描述的单自由度系统，是实际振动系统的最简单模型；统的最简单模型；用两个或更多有限个独立坐标描述的振动系统称作多用两个或更多有限个独立坐标描述的振动系统称作多自由度系统；自由度系统；工程上各种机械的结构物，总是由杆、梁、板、壳等工程上各种机械的结构物，总是由杆、梁、板、壳等元件组成的弹性体，它们的质量与刚度都具有分布的元件组成的弹性体，它们的质量与刚度都具有分布的性质，理论上是无限自由度系统，然而在多数情况下，性质，理论上是无限自由度系统，然而在多数情
2、况下，无限自由度问题可以简化为有限多个自由度系统进行无限自由度问题可以简化为有限多个自由度系统进行研究；研究；多自由度系统运动方程的建立采用拉格朗日方程建立多自由度系统运动微分方程采用拉格朗日方程建立多自由度系统运动微分方程 动能：动能：势能：势能：耗散能：耗散能：代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：得得 多自由度系统的运动是由一组二阶常微分方程描多自由度系统的运动是由一组二阶常微分方程描述的，多采用数值法求解。述的，多采用数值法求解。如：直接积分法、有限元法和无限元法。如：直接积分法、有限元法和无限元法。无阻尼两自由度振动系统的运动微分方程式无阻尼两自由度振动系统的运动微分方程式无阻尼两自由
3、度振动系统的运动微分方程式无阻尼两自由度振动系统的运动微分方程式 以静平衡位置为坐标原点，设质量以静平衡位置为坐标原点，设质量以静平衡位置为坐标原点，设质量以静平衡位置为坐标原点，设质量MM1 1和和和和MM2 2的广义坐标为的广义坐标为的广义坐标为的广义坐标为x x1 1和和和和x x2 2，并假设它们足够小，以保证系统在线性范围内运动；，并假设它们足够小，以保证系统在线性范围内运动；，并假设它们足够小，以保证系统在线性范围内运动；，并假设它们足够小，以保证系统在线性范围内运动；得到以下二阶常系数线性齐次常微分方程组得到以下二阶常系数线性齐次常微分方程组得到以下二阶常系数线性齐次常微分方程组
4、得到以下二阶常系数线性齐次常微分方程组一、两自由度系统的自由振动一、两自由度系统的自由振动一、两自由度系统的自由振动更一般形式：更一般形式：求解步骤：求解步骤：（1 1）假设简谐形式的解：）假设简谐形式的解：设振动时两质量块按相同频率和相位作简谐振动：设振动时两质量块按相同频率和相位作简谐振动：一、两自由度系统的自由振动（2 2）将上述假设解代入运动方程，得代数特征值问题：）将上述假设解代入运动方程，得代数特征值问题：（3 3）该线性齐次代数方程组，非零解的条件是系数行列式为零）该线性齐次代数方程组，非零解的条件是系数行列式为零 ：的的特征方程特征方程，是，是 的二次多项式，又称的二次多项式，
5、又称频率方程频率方程频率方程频率方程。一、两自由度系统的自由振动（4 4）求解得到）求解得到特征方程特征方程的两个根：的两个根：数学上称数学上称固有频率固有频率的平方值的平方值 和和 为为特征值特征值。一、两自由度系统的自由振动（5 5）将）将 代入下式，对应于代入下式，对应于 和和 ，分别得到振幅，分别得到振幅A A1 1和和A A2 2之间的两个确定的比值：之间的两个确定的比值：一、两自由度系统的自由振动 当系统按某一固有频率振动时，当系统按某一固有频率振动时，振幅比振幅比只取决于系统本身只取决于系统本身的物理性质，而与初始条件无关的物理性质，而与初始条件无关 在振动过程中，系统各广义坐标
6、的位移之相对比值可以由在振动过程中，系统各广义坐标的位移之相对比值可以由该振幅比确定该振幅比确定 该比值确定了整个振动系统的振动形态，称为该比值确定了整个振动系统的振动形态，称为主振型主振型或或固固有振型有振型固有振型示意图 两质量两质量-弹簧系统弹簧系统 三质量三质量-弹簧系统弹簧系统 一、两自由度系统的自由振动（6 6）主振动的确定：）主振动的确定：系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的系统的主振动主振动。故第一和第二阶主振动分别为。故第一和第二阶主振动分别为 系统作主振动时，各广义坐标同时经过静平衡位置和达到最系统作主振动时
7、，各广义坐标同时经过静平衡位置和达到最大偏离位置，是一种有确定的频率和振型的简谐振动大偏离位置，是一种有确定的频率和振型的简谐振动一、两自由度系统的自由振动 上述两种主振动的上述两种主振动的叠加叠加，即，即（7 7）一般情况下，自由振动的通解为一般情况下，自由振动的通解为:A1、A2和和 、是由初始条件决定的待定常数；是由初始条件决定的待定常数；一、两自由度系统的自由振动（7 7）通解正规化处理通解正规化处理:将其中一个振幅取为单位将其中一个振幅取为单位1 1 是模态矩阵，是模态矩阵，P P是主坐标。是主坐标。一、两自由度系统的自由振动 只有在特定的初始条件下，其自由振动才表现为单一振型只有在
8、特定的初始条件下，其自由振动才表现为单一振型只有在特定的初始条件下，其自由振动才表现为单一振型只有在特定的初始条件下，其自由振动才表现为单一振型的主振动，才是一种简谐振动，如：的主振动，才是一种简谐振动，如：的主振动，才是一种简谐振动，如：的主振动，才是一种简谐振动，如：，系统作第一主振动；，系统作第一主振动；，系统作第一主振动；，系统作第一主振动；，系统作第二主振动；，系统作第二主振动；，系统作第二主振动；，系统作第二主振动；其他；其他；其他；其他；一般情况下，系统的自由振动是由两种不同频率的主振动的一般情况下，系统的自由振动是由两种不同频率的主振动的一般情况下，系统的自由振动是由两种不同频
9、率的主振动的一般情况下，系统的自由振动是由两种不同频率的主振动的线性组合，其结果不一定是简谐振动，这是和单自由度系统线性组合，其结果不一定是简谐振动，这是和单自由度系统线性组合，其结果不一定是简谐振动，这是和单自由度系统线性组合，其结果不一定是简谐振动，这是和单自由度系统自由振动有很大区别的地方。自由振动有很大区别的地方。自由振动有很大区别的地方。自由振动有很大区别的地方。二、多自由度系统的自由振动 多自由度系统，无阻尼自由振动方程式的一般形式：多自由度系统，无阻尼自由振动方程式的一般形式：展开式为：展开式为：设有以下解：设有以下解：二、多自由度系统的自由振动 矩阵形式：矩阵形式：代入动力学方
10、程得：代入动力学方程得：方程有非零解的条件：方程有非零解的条件：其中其中 为振为振型向量型向量上式为广义特征值问题上式为广义特征值问题二、多自由度系统的自由振动 该特征方程存在该特征方程存在 的的n n个正实根，即系统的特征值，也叫系个正实根，即系统的特征值，也叫系统的固有频率。固有频率对应的统的固有频率。固有频率对应的特征向量特征向量 X X i i叫叫固有振型或固有振型或主振型。主振型。即：即：展开得到系统的特征方程：展开得到系统的特征方程：二、多自由度系统的自由振动 每个特征值每个特征值 由小到大按序排列为：由小到大按序排列为：多自由度系统的固有频率也是由系统本身的物理参数决定，多自由度
11、系统的固有频率也是由系统本身的物理参数决定，与起始运动状态无关；与起始运动状态无关；多自由度系统有多个固有频率，其多自由度系统有多个固有频率，其中的最低固有频率称为系统的基频；中的最低固有频率称为系统的基频；振型矩阵振型矩阵振型矩阵振型矩阵 （模态矩阵）（模态矩阵）（模态矩阵）（模态矩阵）n n自由度系统自由度系统 ，有，有n n个主振型个主振型 X X i i (i i=1,2,=1,2,n n)，振型矩阵振型矩阵振型矩阵振型矩阵为为节点：节点：第第i个主振型个主振型有有i-1个节点个节点 特征向量的正交性特征向量的正交性对于第对于第i个、个、第第j j个个特征值和特征向量特征值和特征向量，
12、有，有两边分别左乘两边分别左乘XjT 和和XiT得得特征值矩阵特征值矩阵特征值矩阵特征值矩阵 （频率矩阵）（频率矩阵）（频率矩阵）（频率矩阵）n n个特征值组成的对角矩阵，称为特征值矩阵或谱矩阵。个特征值组成的对角矩阵，称为特征值矩阵或谱矩阵。个特征值组成的对角矩阵，称为特征值矩阵或谱矩阵。个特征值组成的对角矩阵，称为特征值矩阵或谱矩阵。两式相减两式相减 得得第第i阶主刚度阶主刚度第第i阶主质量阶主质量主振型关主振型关于质量矩于质量矩阵和刚度阵和刚度矩阵正交矩阵正交振型矩阵振型矩阵 模态质量矩阵模态质量矩阵 模态刚度矩阵模态刚度矩阵 模态质量、广义质量或主质量模态质量、广义质量或主质量正则化的
13、振型矩阵正则化的振型矩阵正则化振型矩阵的正交性正则化振型矩阵的正交性 模态刚度、广义刚度或主刚度模态刚度、广义刚度或主刚度第第i阶特征值阶特征值正则化振型矩阵的正交性正则化振型矩阵的正交性 展开定理展开定理系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。方程方程主振型主振型设位形设位形 u 可用下式表示可用下式表示如果如果 X i 线性相关，必有线性相关，必有其中其中c i 为非零常数。为非零常数。两边同时左乘两边同时左乘 X rTM 得：得：由矩阵的正交性：由矩阵的正交性：展开定理展开定理系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。系统任一位形能用系统主振型
14、的线性组合表示。因此只有当因此只有当c r=0 时，等式才成立。取时，等式才成立。取r 1,2,n，重复，重复n次，可得结论，次，可得结论，只有当只有当c 1=c 2=c n=0 时，等式才成立，时，等式才成立，与前面的假设矛盾与前面的假设矛盾，因此系统的，因此系统的振型矢量是线性独立的振型矢量是线性独立的。c i 的计算可对展开式两边左乘的计算可对展开式两边左乘 X rTM 得到得到三、广义特征值的数值计算方法 计算多自由度系统低阶固有频率和振型可以归结为求如下计算多自由度系统低阶固有频率和振型可以归结为求如下特征值问题：特征值问题：1 1）MKMK型型 2 2）MCKMCK型：型：常见解法
15、分为直接解和变换为标准型后求解。先求特征值常见解法分为直接解和变换为标准型后求解。先求特征值时，解时，解MKMK型的广义雅可比法、子空间迭代法、型的广义雅可比法、子空间迭代法、STURMSTURM法；法；解解MCKMCK型的型的LanczosLanczos法和伯努利法；先求特征向量时，解法和伯努利法；先求特征向量时，解MCKMCK型的幂法、型的幂法、Householder Householder法、子空间迭代法、逆迭法、子空间迭代法、逆迭代法和同时迭代法。代法和同时迭代法。自学这些数学方法，并会用MATLAB编程调用求解广义特征值问题。瑞雷商：若瑞雷商：若X X是是A A的特征向量，则的特征向
16、量，则R R是相应于是相应于x x的特征值。的特征值。定义定义MKMK型特征值问题的瑞雷商为型特征值问题的瑞雷商为定义定义MCKMCK型特征值问题的瑞雷商为型特征值问题的瑞雷商为例题1求二层楼房的自振频率与振型已知m1=m2=1000kg，k1=1000N/m，k2=1500N/m。解：1）写出动力学方程，设其解的简谐形式 2）写出频率方程式 3）解方程得特征值，回代得特征向量。例题2 瞬态响应分析打桩机的瞬态响应已知 m1=3.0kg m2=1.5kg，c=30Ns/m,k1=50000N/m，k2=12500N/m。外载荷为正弦激励，F=100Sin（360*t）,求t=13秒的响应。解：1）写出动力学方程；2）写出解的表达式