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1、第第2020章章 动力学专题：单自由度系统的振动动力学专题：单自由度系统的振动大学物理大学物理下册（天大李金锷编）第一章详细阐述了单自由度系下册（天大李金锷编）第一章详细阐述了单自由度系统的振动，包括振动方程的建立、各种基本概念、有阻尼与无阻尼统的振动，包括振动方程的建立、各种基本概念、有阻尼与无阻尼自由振动和强迫振动解的性质（运动规律及其各种现象）。这些内自由振动和强迫振动解的性质（运动规律及其各种现象）。这些内容与本章大部分内容相同，故不再详细介绍。容与本章大部分内容相同，故不再详细介绍。本课主要讲解以下内容：振动的二重性；振动的二重性；振动的分类。振动的分类。2.用理论力学各种动力学理论
2、建立振动微分方程，而不仅是用牛顿用理论力学各种动力学理论建立振动微分方程，而不仅是用牛顿第二定律。主要是刚体及刚体系统的振动问题。第二定律。主要是刚体及刚体系统的振动问题。3.固有频率的求法；固有频率的求法；4.振动在工程中的应用。简介弹性体的振动，固有频率、固有振型、振动在工程中的应用。简介弹性体的振动，固有频率、固有振型、模态的概念。模态的概念。1.概述：概述：振动是一大类特殊的动力学问题，是动力学与控制（一般力学）专业研究的主要内容之一。120-1 20-1 概概概概 述述述述1.振动（机械振动）特殊的运动形式，特殊的动力学现象。特殊的运动形式，特殊的动力学现象。一个振动系统必须伴随保守
3、力场的存在。常见有弹性力场、重力场。一个振动系统必须伴随保守力场的存在。常见有弹性力场、重力场。描述振动规律的方程为关于坐标的二阶微分方程（组）。描述振动规律的方程为关于坐标的二阶微分方程（组）。2.振动的二重性：缺点缺点：振动过大引起系统动态特性不良、噪音过大，大多数问题中应避免：振动过大引起系统动态特性不良、噪音过大，大多数问题中应避免振动过大。振动过大。解决办法解决办法：改变结构；改变结构；振动控制（如隔振）。振动控制（如隔振）。优点优点：利用振动。如振动机械；一些测量仪器中利用临界阻尼以使指针平：利用振动。如振动机械；一些测量仪器中利用临界阻尼以使指针平稳等。稳等。3.振动的分类：按自
4、由度分类：按自由度分类：a.单自由度振动系统单自由度振动系统：常微分方程：常微分方程如：如：物理形式物理形式数学形式数学形式或或同学举例同学举例事实上事实上动静法动静法外部激振力外部激振力惯性力惯性力阻尼力阻尼力(弹性弹性)恢复力恢复力2b.多自由度振动系统多自由度振动系统：常微分方程（组）：常微分方程（组）c.弹性体振动（无穷多自由度）弹性体振动（无穷多自由度）：偏微分方程（组）：偏微分方程（组）如：如：加速度列阵加速度列阵速度列阵速度列阵位移列阵位移列阵激振力幅值列阵激振力幅值列阵均为均为n 阶阶均为均为nn 阶阶质量矩阵质量矩阵阻尼矩阵阻尼矩阵刚度矩阵刚度矩阵如等直杆的无阻尼纵向强迫振动
5、方程：如等直杆的无阻尼纵向强迫振动方程：按振动微分方程分类：按振动微分方程分类：b.非线性振动非线性振动：a.线性振动线性振动：如如如如(广义广义van der Pol方程方程)两种方程（系统）在解法上和解的性质上存在本质的差异：两种方程（系统）在解法上和解的性质上存在本质的差异：大部分非线性方程不存在封闭解，只能得到近似解或作定性分析；大部分非线性方程不存在封闭解，只能得到近似解或作定性分析；非线性系统的解不再具有迭加性；非线性系统的解不再具有迭加性；非线性振动（非线性动力学）是目前数学、力学、物理学、生物学、非线性振动（非线性动力学）是目前数学、力学、物理学、生物学、社会科学等多个领域研究
6、的热点和前沿。社会科学等多个领域研究的热点和前沿。3 按受力分类：按受力分类：b.强迫振动强迫振动（受迫振动）：（受迫振动）：按解的周期性分类：按解的周期性分类：a.自由振动自由振动：b.非周期振动非周期振动：a.周期振动周期振动：解是周期的。：解是周期的。有阻尼自由振动（衰减振动）：有阻尼自由振动（衰减振动）：如如如如无阻尼自由振动：无阻尼自由振动：如如如简谐振动（线性系统），倍周期运动（非线性系统）如简谐振动（线性系统），倍周期运动（非线性系统）如自由衰减振动（线性系统），概周期运动、混沌运动（非线性系统）如自由衰减振动（线性系统），概周期运动、混沌运动（非线性系统）了解上述概念对今后的学
7、习和工作是有益的！了解上述概念对今后的学习和工作是有益的！4如：非线性转子（有非线性油膜力和汽流力）在不平衡激励（周期如：非线性转子（有非线性油膜力和汽流力）在不平衡激励（周期的）下的响应（辛晓辉的）下的响应（辛晓辉2005）：）：周期周期1周期周期2周期周期4混沌混沌分岔图分岔图相图相图Poincar映射图映射图混沌吸引子混沌吸引子5PQQ COAB20-2 20-2 振动微分方程的建立振动微分方程的建立振动微分方程的建立振动微分方程的建立除牛顿第二定律外，可以试用各种动力学方法建立除牛顿第二定律外，可以试用各种动力学方法建立振动微分方程振动微分方程。只是将。只是将列出的动力学方程写成位移坐
8、标的导数形式列出的动力学方程写成位移坐标的导数形式事实上是含（角）加速度事实上是含（角）加速度的动力学方程的动力学方程。例例1 （例（例12-1改）改）在重物下加弹簧，设初始静止，弹簧为原长，在重物下加弹簧，设初始静止，弹簧为原长，弹簧系数为弹簧系数为k。可用多种方法建立振动微分方程。可用多种方法建立振动微分方程。对本题，你会用什么方法？哪种方法有效？对本题，你会用什么方法？哪种方法有效？动能定理；动能定理；动量定理；动量定理；动量矩定理；动量矩定理；达朗贝尔原理（动静法）；达朗贝尔原理（动静法）；动力学普遍方程；动力学普遍方程；拉格朗日方程。拉格朗日方程。机械能守恒定律；机械能守恒定律；对本
9、题，共对本题，共6大类方法有效。大类方法有效。6解解：（动能定理）：（动能定理）研究整体。研究整体。设重物自初始上升设重物自初始上升s，各物体速度如图。各物体速度如图。代入代入(1)式，整理得式，整理得对对t求导，得求导，得代入代入(2)式，整理得标准振动方程：式，整理得标准振动方程：(1)(2)含常数项，含常数项，非标准形式非标准形式你可以试一下你可以试一下其它方法。其它方法。事实上，事实上，x 为重物从平衡为重物从平衡位置开始的位移（坐标）位置开始的位移（坐标）PQQvvC COABssxx720-3 20-3 固有频率的求法固有频率的求法固有频率的求法固有频率的求法一、通过建立振动微分方
10、程求二、能量法两种方法：两种方法：对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，你已经会用各种动力学方对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，你已经会用各种动力学方法建立振动微分方程，写成标准形式：法建立振动微分方程，写成标准形式：固有频率指无阻尼线性系统的固有频率。固有频率指无阻尼线性系统的固有频率。0 即系统的即系统的固有频率（圆频率）固有频率（圆频率）。对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，其解一定为：对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，其解一定为：位移振幅：位移振幅：速度振幅：速度振幅：最大势能最大势能零势能点为零势能点为平衡位置平衡位置8例例2 求例求例1中系统振动的固有频率。中系统
11、振动的固有频率。解解2：（能量法）（能量法）设重物自初始上升设重物自初始上升s，各物体速度如图。系统在任一位置的动能：各物体速度如图。系统在任一位置的动能：设系统在设系统在静平衡位置静平衡位置时，弹簧伸长量为时，弹簧伸长量为 s0。解解1：（通过建振动方程求）（通过建振动方程求）例例1已求得标准振动方程：已求得标准振动方程：则系统振动的固有频率为：则系统振动的固有频率为：则则则系统振动时最大动能：则系统振动时最大动能：而速度振幅：而速度振幅：PQQvvC COABssxxs09PQQ COABF设系统设系统静平衡位置为静平衡位置为0势能点势能点，此时弹簧，此时弹簧伸长量为伸长量为s0，系统在任
12、一位置的势能为系统在任一位置的势能为在静平衡位置，给系统虚位移，由虚位移原理：在静平衡位置，给系统虚位移，由虚位移原理：则系统势能：则系统势能：而位移振幅：而位移振幅：则系统最大势能：则系统最大势能：PQQvvC COABssxxs010在静平衡位置，考虑在静平衡位置，考虑滚子、滑轮、重物滚子、滑轮、重物的平衡：的平衡：系统为单自由度自由振动，由能量法：系统为单自由度自由振动，由能量法：即即注：也可由静力学平衡方程求出关系式：注：也可由静力学平衡方程求出关系式：考虑如何求？考虑如何求？PQQ COABFE作业：作业：20-5，20-7（试用两种方法求）（试用两种方法求）1120-4 20-4
13、（无阻尼）自由振动（无阻尼）自由振动（无阻尼）自由振动（无阻尼）自由振动一、模型两种最简模型如图。两种最简模型如图。直线振动直线振动二、振动方程式中：式中：（无阻尼）固有（圆）频率（无阻尼）固有（圆）频率固有周期固有周期固有频率固有频率或或(1)三、方程的解由常微分方程理论知方程由常微分方程理论知方程(1)的解：的解：振幅振幅相位角相位角初相角初相角扭转振动扭转振动对扭转振动：对扭转振动：扭转刚度扭转刚度式中式中A和和 为由初始条件确定的两个常数。为由初始条件确定的两个常数。1220-5 20-5 衰减振动（有阻尼自由振动）衰减振动（有阻尼自由振动）衰减振动（有阻尼自由振动）衰减振动（有阻尼自
14、由振动）一、模型二、振动方程式中：式中：衰减指数衰减指数或或(2)三、方程的解由常微分方程理论知方程由常微分方程理论知方程(2)的解：的解：式中式中A和和 为由初始条件确定的两个常数。为由初始条件确定的两个常数。最简模型如图。最简模型如图。（粘性）阻尼系数（粘性）阻尼系数 c阻尼固有频率阻尼固有频率振幅衰减振幅衰减无量纲阻尼比无量纲阻尼比阻尼大小决定振动形态：阻尼大小决定振动形态：1（1（0）过阻尼）过阻尼 不振动。不振动。通常讲的衰减振动即此种情形，如图。通常讲的衰减振动即此种情形，如图。1320-6 20-6 强迫振动（受迫振动）强迫振动（受迫振动）强迫振动（受迫振动）强迫振动（受迫振动）
15、一、模型二、振动方程或或(3)三、方程的解由常微分方程理论知方程由常微分方程理论知方程(3)的解：的解：当当 t 足够大时，第一项趋于足够大时，第一项趋于0。最简模型如图。最简模型如图。设简谐激励。设简谐激励。非齐次方程非齐次方程对应齐次方程的通解：对应齐次方程的通解：该非齐次方程的特解：该非齐次方程的特解：强迫振动通解强迫振动通解通常总关心通常总关心稳态解稳态解强迫振动强迫振动稳态解稳态解(4)可见，对线性系统，周期激励下的稳态解一定是周期的，且与激励频可见，对线性系统，周期激励下的稳态解一定是周期的，且与激励频率相同，但相位滞后。而非线性系统则不一定如此。率相同，但相位滞后。而非线性系统则
16、不一定如此。14四、稳态解的幅频特性和相频特性将稳态解将稳态解(4)代入方程代入方程(3)，可求得稳态解的两个常数：，可求得稳态解的两个常数：当系统一定时，当系统一定时，d、为为常数。我们特别关心当激常数。我们特别关心当激励幅值励幅值 f 一定时，外激励一定时，外激励频率频率 的变化对振动的影的变化对振动的影响。因此响。因此B和和 为为 的函的函数数，故称之为，故称之为幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性。其关于。其关于 的曲的曲线分别称为线分别称为幅频幅频(特性特性)曲曲线线和和相频相频(特性特性)曲线曲线。如。如图。图。式中式中频率比频率比静力偏移静力偏移共振点共振点15对非线性振动，幅频
17、特性曲线有明显的区别：对非线性振动，幅频特性曲线有明显的区别：如：单质体振动筛，如图如：单质体振动筛，如图1。其幅频特性曲线如图。其幅频特性曲线如图2。12345678筛体（筛体（1 1）、支撑橡胶）、支撑橡胶弹簧（弹簧（2 2）、导向板簧）、导向板簧（3 3）、硬式非线性主）、硬式非线性主振簧（振簧（4 4）、电机）、电机（5 5）、弹性曲柄连杆）、弹性曲柄连杆（6 6）、支架（）、支架（7 7）、）、基础梁（基础梁（8 8）。）。图图1X/mmn/rpm工作区工作区15129630800700600图图216又如：在考虑压电材料非线性时，压电超声电机（又如：在考虑压电材料非线性时，压电超声
18、电机（USM）定子主定子主共振响应（高健共振响应（高健2005），如图），如图3。振幅振幅/a激励频率失调参数激励频率失调参数/图图3 阴影部分：不稳定阴影部分：不稳定1720-7 20-7 多自由度系统振动简介多自由度系统振动简介多自由度系统振动简介多自由度系统振动简介多自由度系统（均指线性）的振动与单自由度系统最本质的区别是：多自由度系统（均指线性）的振动与单自由度系统最本质的区别是：多自多自由度系统具有由度系统具有振型振型的概念的概念。一般地，一般地，n自由度系统具有自由度系统具有n个固有频率和个固有频率和n个振型（个振型（固有振型固有振型、模态模态）。）。如：如：2自由度系统具有自由度
19、系统具有2个固有频率和振型。个固有频率和振型。1 阶振型阶振型2 阶振型阶振型对连续体，可通过离散，化为有限多自由度系统。对连续体，可通过离散，化为有限多自由度系统。有限元分析有限元分析是最常用是最常用的一种方法。常用软件有的一种方法。常用软件有ALGOR、ANSYS、ADINA等等。还还可以通过可以通过模态分析模态分析实验得到结构的各阶固有频率和振型。实验得到结构的各阶固有频率和振型。18如：电吉他模态如：电吉他模态通过实验模态分析，测出电吉他的前通过实验模态分析，测出电吉他的前4阶模态：阶模态：19又如：基于计算模态分析的动画。又如：基于计算模态分析的动画。基于计算模态分析，模拟刚体碰撞发出的声音。基于计算模态分析，模拟刚体碰撞发出的声音。20下次课预习下次课预习：不用再预习了！准备复习考试吧！不用再预习了！准备复习考试吧！祝大家有个好的考试成绩！祝大家有个好的考试成绩！愿大家不断努力，自强不息！愿大家不断努力，自强不息！谢谢大家！谢谢大家！联系我联系我：lili_更有好的更有好的学习方法学习方法和和学习品质学习品质！21