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1、无限长单位冲激响应数字滤波器（IIR）的设计方法航天学院控制科学与工程系金晶第六章 IIR数字滤波器的设计6.1 滤波器的基本概念；6.2 模拟低通滤波器设计；6.3 冲激响应不变法；6.4 双线性Z变换法；6.1.1 滤波原理 滤波器的基本概念若 中的有用成分 和希望去除的成分 各自占有不同的频带,通过一个线性系统可将 有效去除.分类:低通(LP),高通(HP),带通(BP),带阻(BS)加法性噪声6.1.2.经典滤波器与现代滤波器对于经典滤波器来说，每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器。对数字滤波器,从实现方法上,有IIR滤波器和FIR滤波器之分,系统函数分别为:FIR DF:I
2、IR DF:包括：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器乘法性噪声卷积性噪声信号的频谱和噪声频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。6.1.3 滤波器的技术要求低通：:通带允许的最大衰减；:阻带内应达到的最小衰减归一化单位 (dB)如：若通带截止频率处幅度下降到 0.707,则幅平方下降 0.5（半功率点），则若阻带截止频率处幅度下降到：高通：带通：带阻：LP,HPBP,BS 2).设计出一个 ，使满足给定的技术要求1).给定所设计的滤波器的技术指标：6.1.4.数字滤波器设计的一般步骤滤波器设计与具
3、体的输入信号无关！给定数字滤波器的技术指标 （更多）得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器转换成模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）数字IIR滤波器设计的具体步骤：6.2 模拟低通滤波器的设计6.2.1 概述 上面两式将要求的衰减和模拟滤波器的幅度特性联系了起来。注意，由于衰减指标只有两个，因此也只能和幅度特性的两个特殊频率相联系。1.巴特沃思(Butterworth)滤波器2.切比雪夫I型(Chebyshev-I)滤波器模拟低通滤波器：1.Butterworth低通滤波器幅度平方函数：求滤波器的阶次 求出N二式相比6
4、.2.2 Butterworth滤波器的设计2.构造幅平方特性与系统传递函数关系极点分配：取s左半平面的极点；零点以虚轴为对称轴的任意一半全部极点为：即 个极点均匀分布在 平面半径为 的圆上，应取左半平面的 个作为 的极点，右半平面的 个作为 的极点。对于巴特沃斯滤波器：N为偶数时：的极点（左半平面）成共轭对，由N/2个 二阶系统级联构成。N为奇数时：由一个极点在负实轴的一阶系统和(N-1)/2 个二阶系统级联构成。二阶子系统：N为偶数的系统函数为：N为奇数的系统函数为：3.巴特沃思滤波器幅频响应的特点:“最平”幅频 响应滤波器.例：设计模拟低通 Butterworth滤波器Step1.求N
5、Step2.求极点Step3.求系统函数，取N=4或计算出N后查表得到滤波器的各项系数6.2.3 切比雪夫I型模拟低通滤波器设计1、引言巴特沃思滤波器无论在通带与阻带，都随频率单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内指标会富裕。因此我们希望找到一种滤波器，使得它的指标精度均匀分布在通带内或阻带内。切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中，具有等波纹特性的滤波器。切比雪夫I型：通带中等波纹，阻带中单调切比雪夫II型：通带内单调，阻带内等波纹椭圆函数滤波器：通带和阻带中都呈现均匀分布（或等波纹特性）2、切比雪夫I型滤波器幅度平方函数：其中：为小于1的正数，表示通带纹波大小；为归一化频率，代
6、表截止频率；是N阶切比雪夫多项式，定义为：切比雪夫多项式的特点：当 时：的多项式的确是 的多项式首项系数是当 时：因此，对于式 来说，越大，越大；越大，越大；因此，当 时，滤波器的幅频特性是单调递减的。切比雪夫I型滤波器在截止频率左侧，在-1，1之间等波纹振荡，在0,1之间等波纹振荡；在1,1+之间振荡；在截止频率右侧，幅频特性单调下降；(1)当 等于0，N为偶数时，N为奇数时，(2)当 时，(3)在通带内，在 之间等波纹振荡；(4)在通带外，随着 增大，单调趋近于0.3、切比雪夫I型滤波器的设计步骤已知切比雪夫低通滤波器的通带截止频率 ，阻带截止频率 ，通带最大衰减 ，阻带最小衰减 ，设计(
7、1)求(2)求N令：，则根据阻带最小衰减，有有：求根最后导出：切比雪夫滤波器的极点分布得到：令判断S的首项系数得到：最终：6.3 用冲激响应不变法设计 IIR DF给定数字滤波器的技术指标 （更多）转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）转换成模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器得到模拟高通、带通、带阻滤波器得到数字高通、带通、带阻滤波器6.3.1 基本思想冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应 ，即将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使h(n)正好等于 的抽样值。数字滤波器经抽样后的抽样序列为 ，其拉普拉斯变换为模拟滤波器的单位冲激响应为
8、，其拉普拉斯变换为而抽样序列 的z变换为则当 时，抽样序列的z变换就等于其拉普拉斯变换。回顾1：抽样序列Z变换与抽样序列拉普拉斯变换之间的关系？时域抽样，则频谱将以抽样频率 为周期的周期延拓。抽样序列拉普拉斯变换与模拟滤波器拉普拉斯变换之间的关系？回顾2：则：从上面的式子看，抽样序列z变换与模拟滤波器拉普拉斯变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射。s平面用直接坐标表示：z平面用极坐标表示：则：其映射关系为s平面到z平面的映射是多值映射。6.3.2 模拟滤波器的数字化方法将模拟滤波器的系统函数 展开部分分式形式：其相应的冲激相应 是 的拉普拉斯反变换数字滤波器的单位抽样响应对 求
9、z变换，即得到数字滤波器的系统函数6.3.3 冲激响应不变法设计低通滤波器 的步骤线性转换关系特点特点:6.3.4 例子利用脉冲不变技术，把转换成数字滤波器H(z)，其中。首先，用部分分式展开极点为所以解：6.4 双线性变换设计IIR数字滤波器6.4.1 冲激响应不变法的缺点l 频域有可能混叠：6.4.2 双线性变换的思想使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。1）压缩变换：S平面S1平面令：3）S平面 z平面2）S1平面 z平面或z-s这一映射关系是单一的，也就是S平面与Z平面是一一对应的。4）模拟频率与数字频率之间的关系令s平面虚轴 映射为Z平面的单位圆，且有模拟角
10、频率 与数字角频率 间的关系5）变换常数k的确定：k被称为频带调节系数它可以把模拟滤波器的某一频率调整到要求的数字滤波器对应的频率处。让数字滤波器在低频处与模拟滤波器有相同的特性：如低频处：如6.4.3 例子1.设有一个模拟滤波器 抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字滤波器系统函数。2.给定模拟滤波器指标求用巴特沃思滤波器实现时所需的阶次N，滤波器的截止频率 以及滤波器的系统函数 的表达式。3.导出二阶切比雪夫系统函数，已知通带波纹为1dB，归一化截止频率为 。4.试用双线性变换设计一个一阶的巴特沃思低通滤波器，已知其截止频率为 ，采样周期T=2。1.解：由变换公式及可得T=2时：2
11、.解：1）求N：解得2）求3dB处的截止频率得取3）利用查表得到N=6的归一化系统函数又得巴特沃思滤波器分母多项式 的系数切比雪夫滤波器分母多项式 的系数3.解：1）求 ：2）查表得归一化的二阶切比雪夫滤波器系统函数又4.解：由于所要求的数字滤波器是一阶的，所以，该数字滤波器对应的模拟滤波器也是一阶的，则归一化的巴特沃斯模拟滤波器传递函数为由数字滤波器的截止频率得到模拟滤波器的截止频率：最后得到则数字滤波器5.用双线性变换法设计数字低通滤波器（采用巴特沃思方法）模拟滤波器通带边缘1kHz处的增益为3dB，12kHz处的阻带衰减为30dB，采样频率25kHz。具体参数如下：模拟角频率、数字角频率之间的关系