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1、电器信息工程学院蔡超峰n经经典典滤滤波波器器与与现现代代滤滤波波器器。经经典典滤滤波波器器假假定定输输入入信信号号的的有有用用成成分分和和希希望望去去除除的的成成分分各各自自占占有有不不同同的的频频带带。因因此此，当当输输入入信信号号通通过过滤滤波波器器后后即即可可将将希希望望去去除除的的成成分分有有效效地地去去除除。现现代代滤滤波波器器把把信信号号和和噪噪声声都都视视为为随随机机信信号号，利利用用它它们们的的统统计计特性特性导导出一套估出一套估值值算法，然后用硬件或算法，然后用硬件或软软件予以件予以实现实现。n数字数字滤滤波器与模波器与模拟滤拟滤波器。波器。理想模理想模拟滤拟滤波器：波器：|
2、H(j)|0c|H(j)|0c|H(j)|0c1|H(j)|0c2c2c1低通低通高通高通带带通通带带阻阻理想数字理想数字滤滤波器：波器：低通低通高通高通带带通通带带阻阻|H(j)|0c-c2|H(j)|0-c-c|H(j)|0-c1-c1c2-c2|H(j)|0-c1-c1c2-c2滤滤波器的技波器的技术术要求（以模要求（以模拟拟低通低通滤滤波器波器为为例）：例）：其中其中 p 为为通通带带截止截止频频率，率，s 为为阻阻带带下限下限频频率，率，1 和和 2 分分别别是是通通带带和阻和阻带带的容限。的容限。|H(j)|0sp11-12通通带带 过过渡渡带带阻阻带带设计滤设计滤波器波器时时，给
3、给出的是技出的是技术术指指标标往往不是往往不是 1 和和 1，而是通，而是通带带允允许许的最大衰减的最大衰减 p 和阻和阻带应带应达到的最小衰减达到的最小衰减 s。p 和和 s 分分别别定定义为义为：式中假定式中假定|H(0)|归归一化一化为为 1。例如，当。例如，当 1，即，即|H(j)|在在 p 处处下降下降为为 1-1，p=3dB；当；当 2，即，即|H(j)|在在s处处下降下降为为2，s=40dB。数字数字滤滤波器的波器的设计设计包括三个步包括三个步骤骤：1.给给出出滤滤波器的技波器的技术术指指标标；2.设计设计一个一个 H(z)使其逼近所需要的技使其逼近所需要的技术术指指标标；3.实
4、现实现所所设计设计的的 H(z)。IIR 数字数字滤滤波器的波器的设计设计可借助于模可借助于模拟滤拟滤波器的波器的设计设计方法。方法。IIR 数数字字滤滤波器的波器的设计设计步步骤为骤为：1.按照按照规则规则将将给给出的数字出的数字滤滤波器的技波器的技术术指指标转换为标转换为模模拟拟低通低通滤滤波器的技波器的技术术指指标标；2.根据根据转换转换后的技后的技术术指指标设计标设计模模拟拟低通低通滤滤波器波器 G(s);3.按照按照规则规则将将转换转换成成为为 G(z)。如果如果设计设计的的滤滤波器不是低通而是高通、波器不是低通而是高通、带带通或通或带带阻的，阻的，则则首先首先应应将高通、将高通、带
5、带通或通或带带阻的技阻的技术术指指标转换为标转换为低通低通滤滤波器的技波器的技术术指指标标。1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器4.数字高通、数字高通、带带通及通及带带阻阻滤滤波器的波器的设计设计1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计给给定模定模拟拟低通低通滤滤波器的技波器的技术术指指标标：p，s，p 和和 s。现现希望希望设设计计一个模一个模拟拟低通低通滤滤波器波器 G(s)：使其使其对对数幅数幅频频响响应应 20lg|G(j)|
6、在在 p 和和 s 分分别别达到达到 p 和和 s 的要的要求。求。p 和和 s 都是都是 的函数，它的函数，它们们的大小取决于的大小取决于|G(j)|的形状，的形状，定定义义衰减函数衰减函数():显显然有：然有：如此一来，如此一来，滤滤波器的四个技波器的四个技术术指指标标和和滤滤波器的幅平方特性波器的幅平方特性联联系了系了起来。起来。1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计考考虑虑到到滤滤波器的波器的单单位冲激响位冲激响应应一般一般为实为实函数，根据拉普拉斯函数，根据拉普拉斯变换变换的的对对称性有：称性有：因因此此，如如果果我我们们能能根根据据滤滤波波器器的的四四个个技技术术指指标标求求出出|G
7、(j)|2，就就很容易得到所需要的很容易得到所需要的 G(s)。G(s)和和 G(-s)的零、极点关于原点的零、极点关于原点对对称分布：称分布：j0X XS平面平面j0X XS平面平面G(s)G(-s)1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计目前，人目前，人们们已已经给经给出了几种出了几种类类型的型的|G(j)|2 的表达式，它的表达式，它们们代表代表了几种不同了几种不同类类型的型的滤滤波器。波器。1.巴特沃思（巴特沃思（Butterworth）滤滤波器：波器：其中其中 C 为为待定常数，待定常数，N 为为待定的待定的滤滤波器波器阶阶次。次。2.切比雪夫切比雪夫型（型（Chebyshev-）滤滤波
8、器：波器：其中其中1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计巴特沃思低通巴特沃思低通滤滤波器的波器的设计设计：1.将将实际频实际频率率 归归一化。令一化。令=/p，则则有有显显然然 p=1，s=s/p，又令，又令归归一化复数一化复数变变量量 p=j,显显然有：然有：2.求求 C 和和 N。归归一化衰减函数：一化衰减函数：显显然有：然有：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计因因为为 p=1，所以，所以若令若令 p=3dB，则则 C=1，巴特沃思，巴特沃思滤滤波器只剩下一个参数波器只剩下一个参数 N,此此时时1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计 取取1,2,3,4 时时的的|G(j)|2：1.模模拟滤拟
9、滤波器的波器的设计设计3.确定确定G(s)。定定义义复数复数变变量量 p=j：令令 ，解得：，解得：为为了保了保证滤证滤波器是波器是稳稳定的，定的，应该应该把左半平面的把左半平面的极点极点赋赋予予 G(p)，即有，即有j0S平面平面X XX XX XX XX XX XX XX Xp1pN1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计若若 N 为为偶数，偶数，G(p)的极点皆成的极点皆成对对共共轭轭出出现现：这这一一对对极点构成一个二极点构成一个二阶阶系系统统：G(p)应该应该是是 N/2 个个这样这样的二的二阶阶系系统统的的级联级联：若若 N 为为奇数，奇数，G(p)应该应该是一个一是一个一阶阶系系统统
10、和和(N-1)/2个二个二阶阶系系统统的的级联级联：j0S平面平面X XX XX XX Xp1pNj0S平面平面X XX XX Xp1pN1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计4.反反归归一化。一化。在求得在求得 G(p)后，用后，用 s/p 代替代替变变量量p，即得，即得实际实际需要的需要的 G(s)：习题习题：设计设计一模一模拟拟低通巴特沃思低通巴特沃思滤滤波器，截止波器，截止频频率率 fp=5000Hz，通通带带最大衰减最大衰减 p=3dB，阻，阻带带下限下限频频率率 fs=10000Hz，阻，阻带带最小最小衰减衰减 s=30dB。解答：解答：首先将首先将频频率率归归一化，一化，p=100
11、00,s=20000,p=1,s=2。取取 N=5。1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计5 个极点分个极点分别为别为：N 为为奇数，因此奇数，因此总总的的归归一化系一化系统统函数函数 G(p)为为：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计反反归归一化：一化：回回忆忆 C 和和 N 的求解的求解过过程：程：当当p=3dB时时，对对于不同的于不同的 N，绘绘制如下曲制如下曲线线：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计s=2s=30dB1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计总总的的归归一化系一化系统统函数函数 G(p)为为：令分母多令分母多项项式式为为 ，则则有：有：1234567891.0001.0001
12、.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.4142.0002.6133.2363.8644.4945.1265.7592.0003.4145.2367.46410.09813.13716.5822.6235.2369.14214.59221.84631.1633.2367.46414.59225.68841.9863.86410.09821.84641.9864.19413.13731.1635.12616.582 5.7591.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计巴特沃思低通巴特沃思低通滤滤波器的特点：波器的特点：n巴巴特特沃沃思思低低通通滤滤波波器器的的幅幅频频特
13、特性性无无论论是是在在通通带带内内还还是是在在阻阻带带内都随内都随频频率率单调变单调变化，化，滤滤波特性波特性简单简单。n巴巴特特沃沃思思低低通通滤滤波波器器的的幅幅频频特特性性在在通通带带内内误误差差分分布布不不均均匀匀，靠靠近近通通带带截截止止频频率率处处误误差差最最大大。当当滤滤波波器器阶阶数数 N 较较小小时时，阻阻带带幅幅频频特特性性下下降降较较慢慢，与与理理想想滤滤波波器器的的特特性性相相差差较较远远。若若要要求求阻阻带带幅幅频频特特性性下下降降迅迅速速，则则需需增增加加滤滤波波器器的的阶阶数数，设设计计该该滤滤波器波器时时所用元器件数量增多，所用元器件数量增多，线线路也路也趋趋于
14、复于复杂杂。n若若将将误误差差均均匀匀分分布布在在通通带带内内，就就可可以以设设计计出出阶阶数数较较低低的的滤滤波波器器。实实现现通通带带内内误误差差均均匀匀分分布布可可通通过过选选择择具具有有等等波波纹纹特特性性的的逼近函数来完成。逼近函数来完成。1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计切比雪夫切比雪夫型（型（Chebyshev-）滤滤波器：波器：上式中上式中 是决定通是决定通带带内起伏大小的波内起伏大小的波动动系数，是小于系数，是小于 1 的正数；的正数；CN()是是 N 阶阶切比雪夫多切比雪夫多项项式。式。|G(j)|0 s p11.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计切比雪夫切比雪夫型型滤滤波
15、器的幅波器的幅频频特性：特性：n当当 0 p 时时,|G(j)|在在 1与与 之之间间等幅波等幅波动动，愈小，愈小，波波动动幅度愈小。幅度愈小。n所有曲所有曲线线在在 =p 时时通通过过 点。点。n当当=0 时时，若，若 N 为为奇数奇数时时有有|G(j)|=1；若；若 N 为为偶数偶数时则时则有有 。通。通带带内内误误差分布是均匀的。差分布是均匀的。n当当 s时时，曲，曲线单调线单调下降。下降。N 值值愈大，曲愈大，曲线线下降愈快。下降愈快。|G(j)|0 s p11.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计切比雪夫切比雪夫型型滤滤波器的波器的设计设计：1.将将实际频实际频率率 归归一化。令一化。令
16、=/p，则则有有显显然然 p=1，s=s/p。当当 1 时时有有 ，令，令 ，则则因此有：因此有：于是得：于是得：易知：易知：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计N=3、4、5、6 时时的的 ：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计当当 1 时时 ，其中，其中 cosh 表示双曲余弦函数。表示双曲余弦函数。arcosh 表示反双曲余弦函数。表示反双曲余弦函数。N=3、4、5、6 时时的的 ：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计N=3、4、5、6 时时的的 ：特征：特征：通通带带内有内有 N 个中个中间间点和点和 N+1 个极个极值值点。点。1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计2.求求 和和 N。
17、归归一化衰减函数：一化衰减函数：显显然有然有 ，则则求出的求出的 N 不一定是整数，不一定是整数，应应当当对对其取整再加上其取整再加上1。1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计3.确定确定G(s)。定定义义复数复数变变量量 p=j：G(s)G(-s)的极点即的极点即为为多多项项式式 的根。的根。定定义义 ，即，即 。显显然然 是复数，令是复数，令则则有有1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计及：及：令令实实部与部与实实部相等，虚部与虚部相等，部相等，虚部与虚部相等，则则有有因此因此 G(s)G(-s)的极点的的极点的为为：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计如果令如果令 ，则则有有 这这意味着极点
18、落在意味着极点落在 S 平面上的平面上的椭圆圆椭圆圆周上。周上。j0S平面平面X XX XX XX XX XX XX XX X1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计为为了保了保证滤证滤波器是波器是稳稳定的，定的，应该应该把左半平面的极点把左半平面的极点赋赋予予 G(p)，即，即有有其中其中4.反反归归一化。一化。在求得在求得 G(p)后，用后，用 s/p 代替代替变变量量 p，即得，即得实际实际需要的需要的 G(s)：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计习题习题：设计设计一个模一个模拟拟低通切比雪夫低通切比雪夫滤滤波器，其技波器，其技术术要求要求为为：通：通带带截止截止频频率率 fp=3106
19、Hz，通，通带带最大衰减最大衰减 p，阻，阻带带下限下限频频率率 fs=12106 Hz，阻，阻带带最小衰减最小衰减 s=60dB。解答：解答：将将频频率率归归一化，一化，p=6106,s=24106,p=1,s=4。求常数求常数 和和 阶阶次次 N：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计根据下式求出系根据下式求出系统统的的 N 个极点：个极点：然后得到然后得到归归一化的系一化的系统统函数函数 G(p)：最后通最后通过过反反归归一化得到一化得到实际实际的系的系统统函数函数G(s):1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计查查表确定表确定 N：1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计查查表确定表确定 和分
20、母多和分母多项项式系数：式系数：通通带带衰减衰减为为 0.2 dB，=0.21709 通通带带衰减衰减为为 1 dB，（表格省略）（表格省略）通通带带衰减衰减为为 3 dB，=0.99763（表格省略）（表格省略）1234567894.6062.3561.5120.5890.2880.1470.0720.0370.0181.9272.0771.5221.0820.6610.4160.2370.1411.6302.1781.8651.6031.1180.8130.5121.5352.3652.2082.1741.6601.3521.4932.5822.5542.8042.2881.4712.81
21、22.9013.4941.4573.0503.2501.4493.2911.4431.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计切比雪夫切比雪夫型（型（Chebyshev-）滤滤波器：波器：11.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计椭圆滤椭圆滤波器：波器：11.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计模模拟拟低通低通滤滤波器的波器的设计设计：n巴特沃思巴特沃思滤滤波器；波器；n切比雪夫切比雪夫切比雪夫切比雪夫、型型滤滤波器；波器；n椭圆滤椭圆滤波器。波器。问题问题：如何如何设计设计模模拟拟高通、高通、带带通和通和带带阻阻滤滤波器呢？波器呢？答案：答案：模模拟拟高通、高通、带带通和通和带带阻阻滤滤波器的波器的设计设计
22、都是先将要都是先将要设计设计的的滤滤波器的技波器的技术术指指标标通通过过某种某种频频率率转换转换关系关系转换转换成成为为模模拟拟低通低通滤滤波器的技波器的技术术指指标标，并依据，并依据这这些技些技术术指指标设计标设计出低通出低通滤滤波器的波器的系系统统函数，然后再依据函数，然后再依据频频率率转换转换关系关系转变转变成成为为所要所要设计设计的的滤滤波器的波器的转转移函数。移函数。低通低通滤滤波器：波器：G(s)G(j)=/p p=j 高通、高通、带带通和通和带带阻阻滤滤波器：波器：H(s)H(j)=/p q=j 1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计观观察模察模拟拟低通和高通低通和高通滤滤波器的波
23、器的频频率响率响应应：|G(j)|0sp=110|H(j)|p=1s1-p-s=-1=1低通低通滤滤波器的通波器的通带带变换变换到高通的通到高通的通带带，阻阻带变换带变换到高通的到高通的阻阻带带。1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计采用采用=1 时时：采用采用=-1 时时：所以所以1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计习题习题：用巴特沃思用巴特沃思滤滤波器波器设计设计一个高通模一个高通模拟滤拟滤波器，通波器，通带带截止截止频频率率 fp=100Hz，通，通带带最大衰减最大衰减 p=3dB，阻，阻带带截止截止频频率率 fs=50Hz，阻，阻带带最小衰减最小衰减 s=30dB。解答：解答：将将频频率
24、率归归一化，一化，p=200,s=100,p=1,s。频频率率转换转换，得，得 p=1,s=2，p 和和 s 保持不保持不变变。根据上述要求根据上述要求设计设计巴特沃思低通巴特沃思低通滤滤波器，得到波器，得到总总的的归归一化系一化系统统函数函数 G(p)为为：得到高通得到高通滤滤波器的系波器的系统统函数函数 H(s):1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计观观察模察模拟拟低通和低通和带带通通滤滤波器的波器的频频率响率响应应：sl:下阻下阻带带上限上限频频率率1:通通带带下限下限频频率率3:通通带带上限上限频频率率sh:上阻上阻带带下限下限频频率率定定义义：归归一化：一化：再定再定义义：0|G(j
25、)|0sp=11-p-s|H(j)|shsl1321.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计寻寻找找 与与 转换转换关系。关系。|G(j)|0sp=11-p-s0|H(j)|shsl132-x1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计由由 可知可知所以所以1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计习题习题：设计设计一个切比雪夫模一个切比雪夫模拟带拟带通通滤滤波器，要求波器，要求带宽为带宽为 200Hz，中心中心频频率率为为 1000Hz，通，通带带最大衰减最大衰减 p=3dB，在，在频频率小于率小于 830Hz 或大于或大于 1200Hz 处处的最小衰减的最小衰减 s=25dB。解答：解答：由由题题意知，意知，
26、BW=2200,2=21000,sl=2830,sh=21200,p=3dB,s=25dB。将将频频率率归归一化，一化，频频率率转换转换，1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计 设计设计切比雪夫低通切比雪夫低通滤滤波器，技波器，技术术指指标为标为：p=3dB，s=25dB，p=1，s。N 和的和的值值也可以通也可以通过查过查表表获获得。然后采用求极点或得。然后采用求极点或查查表的方法得表的方法得到到总总的的归归一化系一化系统统函数函数 G(p)：系系统统函数函数 H(s):1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计|H(j)|shsl1320观观察模察模拟拟低通和低通和带带阻阻滤滤波器的波器的频频率响
27、率响应应：1:下通下通带带截止截止频频率率sl:阻阻带带下限下限频频率率sh:阻阻带带上限上限频频率率3:上通上通带带截止截止频频率率定定义义：归归一化：一化：再定再定义义：|G(j)|0sp=11-p-s|H(j)|shsl13201.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计寻寻找找 与与 转换转换关系。关系。|G(j)|0sp=11-p-s-x1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计由由 可知可知所以所以1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计习题习题：设计设计一个巴特沃思模一个巴特沃思模拟带拟带阻阻滤滤波器，其下通波器，其下通带带截止截止频频率率 f1 为为 905 Hz，阻，阻带带下限下限频频率率 f
28、sl 为为 980Hz，阻，阻带带上限上限频频率率 fsh 为为 1020Hz，上通，上通带带截止截止频频率率 f3 为为 1105 Hz，通，通带带最大衰减最大衰减 p=3dB，阻阻带带最小衰减最小衰减 s=25dB。解答：解答：由由题题意知，意知，1=2905,sl=2980,sh=21020,3=21105,BW=2200,22=42104975,p=3dB,s=25dB。将将频频率率归归一化，一化，频频率率转换转换，计计算算滤滤波器的波器的阶阶次次 N(C=1)1.模模拟滤拟滤波器的波器的设计设计然后采用求极点或然后采用求极点或查查表的方法得到表的方法得到总总的的归归一化系一化系统统函
29、数函数 G(p)：系系统统函数：函数：1234567891.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.0001.4142.0002.6133.2363.8644.4945.1265.7592.0003.4145.2367.46410.09813.13716.5822.6235.2369.14214.59221.84631.1633.2367.46414.59225.68841.9863.86410.09821.84641.9864.19413.13731.1635.12616.582 5.7592.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通
30、数字低通滤滤波器波器模拟低通滤波器模拟低通滤波器模拟高通滤波器模拟高通滤波器模拟带阻滤波器模拟带阻滤波器模拟带通滤波器模拟带通滤波器数字高通滤波器数字高通滤波器数字带阻滤波器数字带阻滤波器数字带通滤波器数字带通滤波器数字低通滤波器数字低通滤波器2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器考察考察 S 平面与平面与 Z 平面之平面之间间的映射关系：的映射关系：，令令 ，则则有有 jImjReS平面平面Z平面平面00单单位位圆圆2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器jImjReS平面平面Z平面平面00单单位位圆圆-/
31、Ts/Ts3/Ts-3/Ts考察考察 S 平面与平面与 Z 平面之平面之间间的映射关系：的映射关系：，令令 ，则则有有 2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器由由 S 平平面面到到 Z 平平面面的的映映射射关关系系可可知知，或或 ，并并有有 。显显然然，和和 之之间间是是一一种种线线性性转转换换关关系系。假假定定滤滤波波器器是是低低通通的的，由由上上节节的的方方法法我我们们可可以以得得到到模模拟拟低低通通滤滤波波器器的的转转移函数移函数 G(s)。将。将 G(s)转换为转换为 H(z)的一个最直接的方法是的一个最直接的方法是:但但这这样样做做的的结结
32、果果将将使使 H(z)中中的的 z 以以对对数数形形式式出出现现，使使 H(z)的的分分子子分分母母不不再再是是 z 的的有有理理多多项项式式，这这将将给给系系统统的的分分析析和和实实现现带带来来困困难难。2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器冲激响冲激响应应不不变变法又称法又称标标准准 Z 变换变换法，它保法，它保证证从模从模拟滤拟滤波器波器变换变换得到的数字得到的数字滤滤波器冲激响波器冲激响应应序列序列 h(n)是相是相应应的模的模拟滤拟滤波器的波器的单单位冲激响位冲激响应应 ha(t)的等的等间间隔（隔（Ts）的采）的采样值样值，即，即其其中中
33、 ha(t)的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换是是 Ha(s)，即即为为模模拟拟滤滤波波器器的的系系统统函函数数。这这种种方方法法的的设设计计思思路路是是先先得得到到模模拟拟滤滤波波器器的的系系统统函函数数Ha(s)，然然后后对对其其冲冲激激响响应应 ha(t)采采样样，得得到到数数字字滤滤波波器器的的单单位位脉脉冲冲响响应应 h(n)，最最后后 h(n)所所对对应应的的 Z 变变换换记记为为所所求求数数字字系系统统的的系系统统函数函数 H(z)，即，即2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器根据拉普拉斯根据拉普拉斯变换变换与与 Z 变换变换的关系可知：的关
34、系可知：上式表明，上式表明，时时域的采域的采样样使得使得连续时间连续时间信号信号 ha(t)的拉普拉斯的拉普拉斯变换变换Ha(s)在在 S 平面上沿虚平面上沿虚轴轴周期延拓，然后再周期延拓，然后再经过经过 的映射关的映射关系，将系，将 Ha(s)映射到映射到 Z 平面上，即得平面上，即得 H(z)。2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器当当 s=j 时时得到数字得到数字滤滤波器的波器的频频率响率响应应：若模若模拟滤拟滤波器是波器是带带限的，即限的，即 则则有有此此时时数字数字滤滤波器在可在折叠波器在可在折叠频频率（抽率（抽样频样频率的一半）内不失真率
35、的一半）内不失真的重的重现现模模拟滤拟滤波器的响波器的响应应。2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器实际实际的模的模拟滤拟滤波器波器频频率响率响应应不可能是真正不可能是真正带带限的，所以冲激响限的，所以冲激响应应不不变变法法总总会有混叠失真。会有混叠失真。对对于低通和于低通和带带通通滤滤波器来波器来说说，当，当 Ts 足足够够小的小的时时候，冲激响候，冲激响应应不不变变法能法能够给够给出出较为满较为满意的意的结结果。果。00|Ha(j)|H(j)|/Ts2-2-11/Ts相相应应的冲激响的冲激响应为应为：2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计
36、IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器将系将系统统函数函数 Ha(s)写成如下的部分分式形式：写成如下的部分分式形式：根据冲激响根据冲激响应应不不变变法的定法的定义义，数字，数字滤滤波器的冲激响波器的冲激响应为应为：数字数字滤滤波器的系波器的系统统函数函数 H(z)应为应为2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器从上式可知：从上式可知：nHa(s)和和 H(z)的各部分分式的系数是相同的；的各部分分式的系数是相同的；n极点是以极点是以 的关系的关系进进行映射的，即行映射的，即 Ha(s)的极点的极点 s=-si 变变成了成了 H(z)的极点的极点 ;nH
37、a(s)和和 H(z)的零点没有一一的零点没有一一对应对应的关系。的关系。根根据据以以上上分分析析可可知知，在在用用冲冲激激响响应应不不变变法法设设计计数数字字滤滤波波器器时时，应应先先把把模模拟拟滤滤波波器器的的系系统统函函数数写写成成部部分分分分式式形形式式，然然后后按按照照上上述述的的极极点点转转换换原原则则，求求出出数数字字滤滤波波器器的的所所有有极极点点，即即可得到系可得到系统统函数函数 H(z)。2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器考察：考察：若采若采样频样频率率较较高，数字系高，数字系统统幅幅频频响响应应的增益就会很大。的增益就会很大
38、。为为了防了防止溢出，通常在采止溢出，通常在采样时样时做修正，即令做修正，即令则则有有及及习题习题：Ts，采用冲激响，采用冲激响应应不不变变法将法将变换变换成一个数字成一个数字滤滤波器波器 H(z)。解答：解答：将将 Ha(s)部分分式展开部分分式展开极点在极点在 s1=-3 和和 s2=-2 处处（均（均为单为单极点），极点），因此因此2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器冲激响冲激响应应不不变变法法设计设计数字数字滤滤波器的一般步波器的一般步骤骤（以低通（以低通为为
39、例）：例）：1.利用利用 将将转转数字数字频频率率转换转换成成为为模模拟频拟频率，而率，而 p 和和 s保保持不持不变变；2.根据根据p,p,p 和和 s 设计设计模模拟拟低通低通滤滤波器波器 G(s)；3.利用部分分式展开，将利用部分分式展开，将 G(s)展开成展开成:4.把模把模拟拟极点极点转换转换成数字极点，得到数字成数字极点，得到数字滤滤波器的系波器的系统统函数函数H(z)为为：2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器冲激响冲激响应应不不变变法的特点：法的特点：n数字数字滤滤波器保持了模波器保持了模拟滤拟滤波器的波器的时时域瞬域瞬时时特征；特征
40、；n数字数字频频率和模率和模拟频拟频率之率之间间的关系的关系为为 ，即两者呈，即两者呈线线性关性关系，没有系，没有线线性失真性失真问题问题；n数字数字滤滤波器的波器的频谱频谱是模是模拟滤拟滤波器波器频谱频谱的周期延拓，因此当模的周期延拓，因此当模拟滤拟滤波器不是波器不是带带限的，或采限的，或采样频样频率不率不够够高高时时，数字，数字滤滤波器波器的的频谱频谱将会将会发发生混叠失真；生混叠失真；n高通和高通和带带阻阻滤滤波器不是波器不是带带限的，因此不能用冲激响限的，因此不能用冲激响应应不不变变法法来来实现实现模模拟滤拟滤波器到数字波器到数字滤滤波器的波器的转换转换，这这极大的限制了极大的限制了冲
41、激响冲激响应应不不变变法的法的应应用范用范围围。习题习题：利用冲激响利用冲激响应应不不变变法法设计设计一个数字巴特沃思低通一个数字巴特沃思低通滤滤波器，波器，通通带带截止截止频频率率 fp=750Hz，通，通带带最大衰减最大衰减 p=3dB，阻，阻带带下限下限频频率率 fs=1600Hz，阻，阻带带最小衰减最小衰减 s=7dB。解答：解答：由由给给定的技定的技术术指指标标，得到模，得到模拟滤拟滤波器的技波器的技术术要求要求为为：p=1500,s=3200,p=3dB,s=7dB然后：然后：取取 N=1。S 平面左半平面只有一个极点：平面左半平面只有一个极点：2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法
42、设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器归归一化的一一化的一阶阶巴特沃思巴特沃思滤滤波器的系波器的系统统函数函数为为：反反归归一化：一化：根据冲激响根据冲激响应应不不变变法，将法，将 G(s)转转化化为为数字数字滤滤波器的系波器的系统统函数函数 H(z):上述模上述模拟拟和数字和数字滤滤波器的幅波器的幅频频响响应应分分别为别为：2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器幅幅频频响响应应曲曲线线：2.用冲激响用冲激响应应不不变变法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤
43、滤波器波器用冲激响用冲激响应应不不变变法把模法把模拟滤拟滤波器的系波器的系统统函数函数 G(s)转换为转换为数字数字滤滤波器的系波器的系统统函数函数 H(z)时时，因，因为为 的映射关系不是的映射关系不是单值单值映射，所以从映射，所以从 S 平面直接映射到平面直接映射到 Z 平面平面时时可能会可能会产产生混叠，生混叠，这这是冲激响是冲激响应应不不变变法的一个缺点。我法的一个缺点。我们们希望从希望从 S 平面到平面到 Z 平面的映射关系平面的映射关系满满足：足：1.S 平面的整个平面的整个 j 轴轴只映射只映射为为 Z 平面的平面的单单位位圆圆上一周；上一周；2.若若 G(s)是是稳稳定的，定的
44、，则则由由 G(s)映射得到的映射得到的 H(z)也也应该应该是是稳稳定定的；的；3.这这种映射是可逆的，既能由种映射是可逆的，既能由 G(s)得到得到 H(z)，也能由，也能由H(z)得得到到G(s)；4.如果如果 G(0)=1，那么，那么 H(0)也也应该应该等于等于 1。3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器一一阶阶系系统统 G(s)=A/(s+)也可以用微分方程也可以用微分方程来描述。用来描述。用 y(n)-y(n-1)/Ts 代替代替 dy(t)/dt,y(n)+y(n-1)/2 代替代替 y(t),x(n)+x(n-1)/2 代替代替
45、x(t)，于是得到差分方程：，于是得到差分方程：两两边边取取 Z 变换变换得：得：与与 G(s)=A/(s+)相比相比较较可知可知:3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器双双线线性性变换变换的映射关系的映射关系为为：jImjZ平面平面00S 平面平面Re0-（预预畸畸变变公式）公式）3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器双双线线性性变换变换改改变变了数字了数字频频率率 和模和模拟频拟频率率 之之间间的的线线性关系：性关系：对对于于小小的的数数字字频频率率即即当当 时时有有 ，非非线线性性不不很很突突出出
46、，失失真真不不大大，此此时时数数字字滤滤波波器器和和模模拟拟滤滤波波器器在在低低频频处处的幅的幅频频响响应应大致相同。大致相同。当当 很大很大时时，非，非线线性就会很突出，性就会很突出，失真就会很大，此失真就会很大，此时时用用线线性性变换变换得到的数字得到的数字滤滤波器性能上就会与波器性能上就会与模模拟滤拟滤波器有明波器有明显显的差异。因此，的差异。因此，采用双采用双线线性性变换变换法法设计滤设计滤波器波器时时必必须须包含包含频频率率预预畸畸变变的的过过程。程。0-双双线线性性 Z 变换变换法法设计设计数字数字滤滤波器的一般步波器的一般步骤骤（以低通（以低通为为例）：例）：1.计计算算预预畸畸
47、变变模模拟频拟频率，以避免双率，以避免双线线性性 Z 变换带变换带来的失真。来的失真。根据根据 求得修正后的求得修正后的预预畸畸变频变频率。率。p 和和 s保持保持不不变变；2.根据根据 p,p,p 和和 s 设计设计模模拟拟低通低通滤滤波器原型，得到模波器原型，得到模拟滤拟滤波器的波器的传输传输函数函数 G(s)；3.利用双利用双线线性性变换变换得到数字得到数字滤滤波器的波器的传输传输函数函数 H(z)：3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器习题习题：设计设计一个一一个一阶阶巴特沃思数字低通巴特沃思数字低通滤滤波器，其技波器，其技术术要求要求为为
48、：通通带带截止截止频频率率 fp=300Hz，通，通带带中的最大衰减中的最大衰减 p=3dB，采，采样频样频率率 fs=1500 Hz。解答：解答：先求数字先求数字频频率率：经过预经过预畸畸变处变处理后，相理后，相应应模模拟滤拟滤波器的通波器的通带带截止截止频频率率为为：一一阶阶巴特沃思低通模巴特沃思低通模拟滤拟滤波器的系波器的系统统函数函数为为：3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器注意到：注意到：因此有：因此有：重新定重新定义义双双线线性性 Z 变换变换：3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器解答：
49、解答：先求数字先求数字频频率率：经过预经过预畸畸变处变处理后，相理后，相应应模模拟滤拟滤波器的通波器的通带带截止截止频频率率为为：一一阶阶巴特沃思低通模巴特沃思低通模拟滤拟滤波器的系波器的系统统函数函数为为：3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器双双线线性性 Z 变换变换法的特点：法的特点：n相相频频响响应应为为线线性性的的滤滤波波器器经经过过双双线线性性变变换换后后，线线性性相相频频特特性性将遭到破坏；将遭到破坏；n从从 S 平面直接映射到平面直接映射到 Z 平面平面时时不会不会产产生混叠；生混叠；n因因为为 S 平平面面和和 Z 平平面面之之间
50、间有有简简单单的的代代数数关关系系，可可以以从从模模拟拟滤滤波波器器的的系系统统函函数数通通过过代代数数置置换换直直接接得得到到数数字字滤滤波波器器的的系系统统函数；函数；n双双线线性性变变换换法法是是目目前前最最普普遍遍的的滤滤波波器器设设计计方方法法，它它对对进进行行变变换换的的滤滤波波器器类类型型没没有有限限制制，能能直直接接应应用用于于低低通通、高高通通、带带通、通、带带阻等各种阻等各种类类型型滤滤波器的波器的设计设计。3.用双用双线线性性 Z 变换变换法法设计设计 IIR 数字低通数字低通滤滤波器波器至今至今为为止我止我们们已已经经学学习习了：了：1.模模拟拟低通低通滤滤波器的波器的