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1、Ch3.4IIR滤波器的设计2023/2/191Digital filter的设计思路:o按照任务要求,确定滤波器的性能指标,o用一个因果稳定的离散LTI系统的系统函数H(z)来逼近这一性能指标,oH(z)的实现:n计算机软件：利用有限精度算法来实现这个系统函数;n专用数字滤波器硬件；n二者的结合，Nankai University,CY LI,2023/2/192Biomedical signal processing数字滤波器结构的数学表示(1)o一个滤波器的表示.n系统函数n差分方程pIt is an ARMA filter.pak:递归项(auto-regression,AR)pbk:
2、平均项(moving averaging,MA)pN:滤波器的阶数2/19/2023用LTI系统来逼近filter性能o当M=N,H(z):N阶IIR系统+(M-N)阶的FIR系统,o以上两种表示等价，部分分式形式和零极点增益形式oIIR系统的逼近,就是找到滤波器的系数ak,bk，或者是系统的零极点和增益(z,p,k)。Nankai University,CY LI,2023/2/194Biomedical signal processingLinear phaseo信号通过线性系统不失真的条件:n幅频特性为一常数，n具有线性相位，why?oSuppose argH()=-k,输入和输出关系如
3、何？Nankai University,CY LI,2023/2/195Biomedical signal processing IIR filter的设计方法o从模拟滤波器H(s)求出数字滤波器H(z).n把DF的技术指标转化成AF的技术指标n根据AF指标设计模拟滤波器H(s),n按一定规则把H(s)转换成H(z)o计算机辅助设计,n最优化设计法:依据某一最优化准则,求得在此最佳准则下滤波器系统函数的系数,n例如:频域均方差最小准则,即使得实际频率响应|H(ejw)|与所要求的理想|Hd(ejw)|的均方差最小,Nankai University,CY LI,2023/2/196Biomed
4、ical signal processingH(s)H(z)s two preservationsoStability:nIf the analog filter is causal and stable,the transformed digital filter should be the same too.This means that H(s)has poles in the left half of s plane,the H(z)should have poles inside the unit circle in z plane.oFrequency response:nBoth
5、 filters should have the same frequency response.That is,the j axis in the s plane should be mapped into unit circle in the z plane.Nankai University,CY LI,2023/2/197Biomedical signal processing模拟滤波器的特性oh(t)为实的，H(s)的极点必成共轭存在，nH(s)H*(s)=H(s)H(-s)o平方幅度函数|H(s)|2的极点、零点关于虚轴(j)对称,o对因果、稳定系统，H(s)的极点落在s的左半平面
6、，H(-s)的则落在右半平面，Nankai University,CY LI,2023/2/198Biomedical signal processing由幅度平方函数求系统函数Nankai University,CY LI,2023/2/199Biomedical signal processing模拟低通滤波器的技术指标o通带:0p,通带中允许的波动为1o过渡带:p s,振幅响应不作明确规定o阻带:s ,阻带的衰减为211-1通带过渡带阻带2ps|H()|Nankai University,CY LI,2023/2/1910Biomedical signal processing滤波器的指
7、标(1)o幅度响应,相位响应,oIIR滤波器,不能实现线性相位,只考虑幅度指标,o低通滤波器的绝对指标,p,s,和相对指标1,2:Nankai University,CY LI,2023/2/1911Biomedical signal processing滤波器的指标(2)Nankai University,CY LI,2023/2/1912Biomedical signal processing模拟滤波器的类型(以LPAF为例)o巴特沃思(Butterworth)滤波器o切比雪夫(Chebyshev)滤波器o椭圆滤波器Nankai University,CY LI,2023/2/1913Bi
8、omedical signal processingButterworth低通滤波器（1）o单调、平稳的幅度响应，o过渡区衰减缓慢，随着N的增加，其衰减加快，o对所有的N，|H()|都通过-3dB点，Nankai University,CY LI,2023/2/1914Biomedical signal processingButterworth低通滤波器（2）oButterworth低通滤波器的幅频特性，Nankai University,CY LI,2023/2/1915Biomedical signal processingButterworth低通滤波器的性质o对于所有的N，当=0，|
9、H(j)|2=1，o对于所有的N，当=c，|H(j)|2=1/2,即在c处有3dB的衰减，o|H(j)|2是的单调减函数，oN-inf，|H(j)|2趋于理想低通滤波器，Nankai University,CY LI,2023/2/1916Biomedical signal processingButterworth 逼近(1)o零点：s=,全极点型，o2N个极点，虚轴对称，分布于c的圆上，极点的角度间隔：pi/N,Nankai University,CY LI,2023/2/1917Biomedical signal processing不同N的极点分布oN=3,k=1,2/3pi;k=2,
10、pi;k=3,5/3pi;k=4,2pi,oN=4,k=1,5/8pi;k=2,7/8pi;k=3,9/8pi,Nankai University,CY LI,2023/2/1918Biomedical signal processingButterworth 逼近(2)(-1)(1/2N)N=3423156(-1)(1/2N)j423156S平面Nankai University,CY LI,2023/2/1919Biomedical signal processing求Butterworth系统函数Nankai University,CY LI,2023/2/1920Biomedical
11、signal processingButterworth 设计方程o由滤波器的四个指标(p,1,s,2)得到Butterworth滤波器的阶数N和截止频率c,Nankai University,CY LI,2023/2/1921Biomedical signal processingButterworth 设计例(1)o设计一个低通Butterworth滤波器,以满足,n通带截止频率p=0.2,通带波动1=7dB,n阻带截止频率s=0.3,通带波动2=16dB,Nankai University,CY LI,2023/2/1922Biomedical signal processings和z的
12、关系or与的关系,r=eTn=0(s平面虚轴)对应于r=1(z平面单位圆上)n0(s的左半平面)对应于r0(s的右半平面)对应于r1(z平面单位圆外)o与的关系,=Tn=0(s平面的实轴)对应于=0(z平面的正实轴)n=0对应于=0T(z平面的辐射线),p:-/T to/T,:-to p从s平面到z平面的映射是多值映射Nankai University,CY LI,2023/2/1923Biomedical signal processingX(z)和X(s)的关系Nankai University,CY LI,2023/2/1924Biomedical signal processing由模
13、拟滤波器来设计IIR滤波器o把s平面映射到z平面,H(s)-H(z),o实现这种映射的两个基本条件,n频率轴对应,s平面的虚轴 j映射到z平面的单位圆上,n因果稳定的H(s)应能映射成因果稳定的H(z),s平面的左半平面(Re(s)0)必须映射到 z平面单位圆内(|z|数字filter的方法o直接用H(s)和H(z)的转换关系，因为无穷级数求和，不能实现，采用以下三种方法：o冲激响应不变法：n在AF到DF的变换中，使h(t)h(n)不变o阶跃响应不变法：n在AF到DF的变换中，使其阶跃响应不变o双线性变换法：n在AF到DF的变换中，使其系统函数(频响)不变Nankai University,C
14、Y LI,2023/2/1926Biomedical signal processing冲激响应不变法(Impulse invariance)o设计思想：使数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)o将模拟滤波器的ha(t)加以等间隔抽样,使h(n)=ha(nT)o相应h(n)的z变换H(z)近似等于ha(nT)的Laplace变换Ha(s)。Nankai University,CY LI,2023/2/1927Biomedical signal processing冲激响应不变法(2)oHa(s)-h(t)-h(n)-H(z)Nankai University,C
15、Y LI,2023/2/1928Biomedical signal processing冲激响应不变法(3)x(t)y(t)R1/sCx(n)y(n)z-1e-TNankai University,CY LI,2023/2/1929Biomedical signal processingMatlab命令o由低通滤波器的四个参数，求出Butter滤波器的两个参数：nn,Wn=Buttord(wp,ws,Rp,Rs)o求出H(s)的B和A,nb,a=butter(n,Wn)o通过冲激相应不变法，实现H(s)到H(z)的转换：nimpinvar,BZ,AZ=IMPINVAR(B,A,Fs)o归一化B
16、utter滤波器的设计，nz,p,k=buttap(N)oH(z)的零极点形式转换成部分分式的形，nNUM,DEN=ZP2TF(Z,P,K)Nankai University,CY LI,2023/2/1930Biomedical signal processing设计步骤o把数字滤波器的性能转化为相应的模拟滤波器的性能要求o设计模拟滤波器,查表,或用解析的方法o通过冲激响应不变法或双线性法,把H(s)转化为 H(z)Nankai University,CY LI,2023/2/1931Biomedical signal processing冲激响应不变法设计过程o给定数字滤波器的性能指标,p
17、,s,1,2,的设计一个等价的模拟滤波器,然后把它映射成数字滤波器.Nankai University,CY LI,2023/2/1932Biomedical signal processing冲激响应不变法的缺点o缺点:多值映射,产生频率混叠失真，o条件:限带系统,why?o因为高通和带阻滤波器不是限带的,不能用此法实现H(s)-H(z)的转换,o在实际中较少采用，多用Bilinear变换Nankai University,CY LI,2023/2/1933Biomedical signal processing双线性变换法(Bilinear transformation)o从H(s)变换为
18、H(z)的另一种变换方法，o克服多值映射,实现s平面到 z平面的一一对应关系,双线性变换具有此功能,oAF和DF在输入、输出上相似，使H(s)和H(z)的频响近似。o其思路：差分方程的解应是模拟方程的近似解。o其实现：直接用差分代替微分，结果的误差大；将微分方程做积分，再进行数值近似，得到差分方程。从微分方程H(s);差分方程-H(z),二者比较后，得到s和z的对应关系。进一步要求s平面整个 j 轴映射到z平面单位圆一周,得到两个频率的关系，即双线性。Nankai University,CY LI,2023/2/1934Biomedical signal processing双线性变换法原理o
19、为了克服冲激响应不变法多值映射产生的频率混叠的现象，双线性变换法的映射原理是：o1）首先通过下面的变换公式把整个S平面压缩到中介S1平面的一条横带里（宽度从-/T到/T），其中C为常数可根据设计要求选取；o2）然后再通过 将此横带变换到整个Z平面，这样就使S平面和Z平面是一一对应的单值映射关系，消除了频谱混叠现象。o由于从SZ和从ZS的映射规则都是分式线性变换，因此称其为双线性变换。Nankai University,CY LI,2023/2/1935Biomedical signal processing双线性变换法(2)-0o采用二次映射，先将s平面压缩到s1平面的一条横带中，再进一步映射
20、到z平面上，建立s-z的一一对应关系。Nankai University,CY LI,2023/2/1936Biomedical signal processing双线性变换法(2)js平面z平面Im(z)Re(z)/T-/T3/T-3/T-11s平面j 和z平面的单位圆上的点一一对应，和一一对应Nankai University,CY LI,2023/2/1937Biomedical signal processing双线性变换设计过程o给定数字滤波器的性能指标,p,s,1,2,的设计一个等价的模拟滤波器,然后把它映射成数字滤波器,o实际中系数2/T均被约掉,故可省去,或者设T=1,Nank
21、ai University,CY LI,2023/2/1938Biomedical signal processingButterworth 设计例(2)o设计一个低通Butterworth滤波器,以满足,n通带:0100Hz,通带波动1=3dB,n阻带:300Hz,通带衰减2=20dB,nTs=1000HzNankai University,CY LI,2023/2/1939Biomedical signal processingBilinear in MatLab oH(s)H(z),n零极点增益形式：Zd,Pd,Kd=BILINEAR(Z,P,K,Fs)n部分分式：NUMd,DENd=B
22、ILINEAR(NUM,DEN,Fs)oNUM and DEN 分别表示滤波器传递函数的分子与分母多项式系数向量。d:digitalNankai University,CY LI,2023/2/1940Biomedical signal processing频带变换o低通滤波器作为基本逼近函数,可以通过频带变换来实现带通、带阻、高通滤波器的设计o变换的方式：ns to s，模拟频带变换nz to z，数字频带变换滤波器变换s-z频带变换z-z模拟低通滤波器的设计频带变换s-sIIR滤波器模拟低通滤波器的设计滤波器变换s-zIIR滤波器Nankai University,CY LI,2023/2
23、/1941Biomedical signal processingChebyshev低通滤波器oChebyshev I型，通带中等波纹，阻带中单调，oChebyshev II型，通带中单调，阻带中等波纹，Nankai University,CY LI,2023/2/1942Biomedical signal processingChebyshev I、II型低通滤波器oChebyshev I型，MatLab，Nankai University,CY LI,2023/2/1943Biomedical signal processingDifferent ordersNankai Universi
24、ty,CY LI,2023/2/1944Biomedical signal processingChebyshev滤波器的H(s)o找到H(s)H(-s)极点,把左半平面的极点分配给H(s)oH(s)H(-s)有2N个等间隔角(pi/N)极点,落在一个椭圆上,长轴bc,短轴ac,N=4bc cac cjNankai University,CY LI,2023/2/1945Biomedical signal processingChebyshev滤波器的H(s)Nankai University,CY LI,2023/2/1946Biomedical signal processingChebyshev滤波器的设计方程o由指标p,s,1,2,求出滤波器的三个参数,c,NNankai University,CY LI,2023/2/1947Biomedical signal processingIIR滤波器的CAD设计（任意幅度IIR滤波器的设计）o最优化设计原理:用一组ak,bk的H(z)去逼近预先设定的目标,o 所要求的Hd(zi)在一组分离频率上i指定,实际设计的滤波器的振幅响应H（z），o均方误差为Q,采用均方差准则，使误差函数Q最小，Nankai University,CY LI,2023/2/1948Biomedical signal processing