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1、l 第一节 预备知识 l 第二节第二节 极限与连续极限与连续 l 第三节 偏导数与全微分 l 第四节 微分运算法则 l 第五节 方向导数与梯度 l 第六节 多元函数微分学的几何应用l 第七节 多元函数的Taylor公式与极值 l*第八节 n元m维向量值函数的微分法 l 第九节 复变函数的导数与解析函数 第五章第五章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用定义2.1:设 z=f(x,y)=f(M)在点集E上有定义,M0(x0,y0)为 E 的一个聚点,若对任给 存在 使对满足 的 M(x,y),有:则称 A为 f(x,y)当 时的极限,记为:2.1 2.1 多元函数的极限与连续性多元函数的
2、极限与连续性一、极限一、极限注：注：（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立注注 1.多元函数有类似于一元函数的极限运算法则,如四则运算,复合运算,夹逼定理等同样成立.2.二重极限远比一元函数的极限复杂.二重极限 存在,指M(x,y)以任何方式趋于 时,函数f(x,y)都无限接近于A.若M(x,y)按两种不同的方式趋于 时,f(x,y)趋于两个不同的值,则可断定极限不存在.二、连续 定义:例例6 讨论函数讨论函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时例例7 讨
3、论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续注注:1.一元函数中关于连续函数的有关结论可推广 到多元函数中,如四则运算:多元连续函数的和,差,积均为连续函数,连续函数的商在分母不为零处仍连续.2.多元初等函数在其定义域内连续.有界闭区域 上 的多元连续函数具有与 闭区间上的一元连续 函数类似 的性质,如最大最小值定理,介值定理等.在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取上至少取得它的最大值和最小值各一次得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取上取得两个不同的函数值，则它在得两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这两值之上取得介于这两值之间的任何值至少一次间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理2.2 2.2 复变函数的极限与连续复变函数的极限与连续注：注：