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1、第一章第一章 函数函数、极限与连续极限与连续第一节第一节 函数函数第二节第二节 极限的概念极限的概念 第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量第四节第四节极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则第五节第五节两个重要极限两个重要极限第六节第六节函数的连续性函数的连续性第一节第一节 函数函数函数的概念函数的概念:fxy一对一一对一几对一几对一对对应应法法则则定义域定义域值域值域表示法：表示法：解析法解析法表格法表格法图像法图像法分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。分段函数的定义域为各段落有意义区域的并集。函数的定义域函数的定义域分式，分母必须不等于零；分式，分母必须不等于零；偶次根
2、式，被开方式必须大于等于零；偶次根式，被开方式必须大于等于零；对数，真数必须大于零；对数，真数必须大于零；正切符号下的式子必须不等于（），正切符号下的式子必须不等于（），余切符号下的式子必须不等于（）；余切符号下的式子必须不等于（）；2 kZk kZk 反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于反正弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1，反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1；表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集；求它们的交集； 例例求下列函数的定义域求下列函数的定义域.函数函数函数有定义的条件函数有
3、定义的条件定义域定义域16)(2 xxf),44,( 0162 x),0()0,( 0 x 04203xx1,3 0 x)3,2( 21arcsin)(xxf 1211 x 030)(2xxxxf)42ln(31)( xxxf或或例例求函数值求函数值 函数值函数值 函数函数 211xxf 221xx )2(f51)(af)1( xf)1(xf 2212 xx211a )(xff2)(11xf 42422221xxxx 函函数数性性质质有界性有界性 奇偶性奇偶性 单调性单调性 周期性周期性 xysin xycos xyarctan xarcycot 偶函偶函数数53)(24 xxxf xxxfc
4、os4 xxeexf 21奇函奇函数数两非两非函数函数函数在区间函数在区间),0 2xy 0,( xyxycot,tan xyxycos,sin 复合函数复合函数 例指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。例指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。函数函数复合过程复合过程 45sin xy45,sin xuuyxylnln xvvuuyln,ln xy2sin xuuysin,2 xey1sin xvvueyu1,sin, cy xay 1, 0 aaxyalog 1, 0 aaxysin xycos xytan xycot xysec xycsc xyarcsin xyarccos
5、xyarctan cot yarcx， xy ( 为任意实数）为任意实数） 基基本本初初等等函函数数初等函数初等函数由基本初等函数经过由基本初等函数经过有限次有限次的的四则运算四则运算或或有限次有限次的的复合复合运算所构成，并可用运算所构成，并可用一个式子一个式子表示的函数叫表示的函数叫初等函数初等函数。邻域邻域)(00 xx，思考题思考题(0)xyxx如何用初等函数表示如何用初等函数表示第二节第二节 极限的概念极限的概念极限极限 lim4n4 0limnCC ( 1)limnnn 21lim 1nn 1limnn 34lim1nnn 0 1 1lim(3)1nn 3 判断，当时，极判断，当时
6、，极限是否存在限是否存在.(1)nyn nsin2nng n 当时，不趋近于确定的常数，极限不存在当时，不趋近于确定的常数，极限不存在.n ny当时，不趋近于唯一的常数，极限不存在当时，不趋近于唯一的常数，极限不存在.n ng不存不存在在lim( 1)nn 1limxx 21lim(1)xx1lim2xx lim 2xx 01001lim2xx 1lim2xx 不存在不存在lim 2xx lim2xx 不存在不存在21limxxx 1limxxe 10limxxe 21lim(2)xx10e 01limxx01limxx 01limxx 不存在不存在10limxxe 10limxxe不存在不存
7、在02lim(32)xx211lim1xxx limsinxx0limsinxx1limsinxx01limsinxxlim arctanxxlim arctanxx41lim(1)2xx0 不存在不存在不存在不存在0 2 2 例例已知，求已知，求21()2222xxfxxx 12lim( ),lim( )xxf xf x解解11lim( )limxxf x 22 22lim( )limxxf x ?22lim( )limxxf x 22lim( )limxxf x 22 x2 2lim( )2xf x例例已知，求已知，求|( )xf xx 10lim( ),lim( )xxf xf x解解1
8、0( )10 xf xx 11lim( )lim11xxf x00lim( )lim( 1)1xxf x 00lim( )lim 11xxf x0lim()xfx不存在不存在第三节第三节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷大量无穷小量无穷大量无穷小量11lim1xx 0lim lnxx lim lnxx 2limxx limxxe 称为的称为的无穷大量无穷大量11yx 当时当时1x 称为的负称为的负无穷大量无穷大量lnyx 当时当时0 x 称为的正称为的正无穷大量无穷大量lnyx 当时当时x 称为的称为的无穷大量无穷大量2yx 当时当时x 称为的称为的无穷大量无穷大量xye 当时当时x
9、正正1lim1xx 1limlnxx 20limxx limxxe 0000称为的称为的无穷小量无穷小量11yx 当时当时x 称为的称为的无穷小量无穷小量lnyx 当时当时1x 称为的称为的无穷小量无穷小量2yx 当时当时0 x 称为的称为的无穷小量无穷小量xye 当时当时x 注意：注意：0lim( )xxf x 0lim( )xxf x不存在不存在两个无穷大量的和、差、商不一定是无穷大量两个无穷大量的和、差、商不一定是无穷大量有界函数与无穷小量的积是无穷小量有界函数与无穷小量的积是无穷小量1limsinxxx 01limsinxxx 0010 xsin1x 1sin1x 0 x 无穷大量的倒
10、数是无穷小量无穷大量的倒数是无穷小量无穷小量的倒数是无穷大量无穷小量的倒数是无穷大量例如例如2lim(1)xx 21lim01xx 1lim(1)0 xx11lim1xx 0lim( )xxf xA 0( )(lim0)xxf xA第四节第四节 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则极限的四则运算法则极限的四则运算法则4limsinsin2 sin3xxxx 247lim21xxx 3sinsinsin42412 1679 13 )1arcsin(coslim20 xxexx1arcsin0cos0e200lim ( )()xxf xf x 连续连续22468lim54mmmmm 4(4)(
11、2)lim(4)(1)mmmmm 42lim1mmm 23331lim21xxx 321lim21xxx 31lim21xxx 3311lim12xxx 12 010101010,lim,0,nnnmmxmmna xa xaamnb xb xbbmn ()coslimxxx 练习：练习：01limsinxxx 231lim2xxx 31lim1xxx 3021limxxx 3111lim11xxx000 311lim1xxx 3 第五节第五节 两个重要极限两个重要极限1.1sinlim0 xxx极限类型：极限类型：两个重要极限两个重要极限00特点：特点： 1sinlim0 x 2coslim2
12、 xxx1例如例如1 xxx)sin(lim1 22sinlim0 xxx xxx55sinlim0 xxx 2)2sin(lim2 1 xxx1)1sin(lim0 xxx4sinlim0 xxxsinlim1sin xxx44sinlim404 xxxsin1lim0例例 求下列极限求下列极限 00bxaxxsinsinlim0 1) 1sin(lim21 xxx0000nxmxxsinlim021211111) 1sin(lim0 xxxxnm nm bxbxaxaxxsinsinlim0ba ba mxxsinlim0mx20cos1limxxx 00422sin2lim220 xxx
13、2022sinlim21 xxx21 xxxxxsinsinlim0 00 xxxxxsin1sin1lim0 01111 xxxtanlim0 00 xxxxcos1sinlim0 10cos11 xxx3sin2tanlim0 00 xxxxx33sin22tanlim032 32 2、极限类型： 1特点：e 11limexxx 11lim例例用第二个重要极限计算下列极限用第二个重要极限计算下列极限xxx3231lim xx231lim xxx 41lim 14e xx41lim4x4 132x 29 29 exxxx 1232lim 1xxxx 211231lim2122332211li
14、m231lim xxxxxxeee 2123 1 xxx1031lim 3 )3(1lim0 xxx31 3 exxx311)31(lim xxx311)3(1lim )1( 1 e 131)2( xxxsec32cos1lim 1 32cos1cos1limxxx 3e 3、极限、极限运算运算举例举例)()(lim00 xfxfxx Rnn , 001lim;lim, 01lim xxxx1、几个常见极限、几个常见极限（2）)(xf（1）若函数在处连续，则若函数在处连续，则0 xlim0 xxe lim0 xxe ，（3）（4）及及不存在不存在。（5），（6）（7） ； limsinxx 0
15、1limsinxx01limsinlimsin0 xxxx lim arctan2xx lim arctan2xx 10101010,lim,0,nnnmmxmmna xa xaamnb xb xbbmn 0sinlim1xxx 0tanlimxxx1lim 1xxex10lim(1)xxx 23( )第六节第六节 函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数在函数在点处有定义点处有定义( )f x0 x0lim( )xxf x 00lim ( )()xxf xf x 函数在函数在点处点处连续连续( )f x0 x连续点连续点左连左连续续右连右连续续00lim( )()xxf xf x
16、 00lim( )()xxf xf x 例例讨论函数讨论函数在处的连续性在处的连续性( )21f xx1lim( )3(1)xf xf因为函数在的任一邻域内有因为函数在的任一邻域内有定义，且定义，且( )21f xx1x 1x 解解所以函数在处连续所以函数在处连续( )21f xx1x 例例讨论函数讨论函数在处的连续性在处的连续性22( )22xxf xxx 2x 解解因为函数的定义域为，因为函数的定义域为，( )yf x (,) 所以函数在的任一邻域内有定义，且所以函数在的任一邻域内有定义，且2x 2lim(2)4xx 22lim4xx 2(2)24f即即2lim( )(2)xf xf 所以
17、函数在处连续所以函数在处连续( )yf x 2x 例例讨论函数讨论函数在处的在处的连续性连续性sin,0( )101sin,0 xxxf xxxxx 0 x 解解显然函数在的任一邻域内有定义，且显然函数在的任一邻域内有定义，且0 x 0sinlimxxx 01limsinxxx 100lim( )xf x所以函数在处不连续所以函数在处不连续( )yf x 0 x 10 xxx 00()()yf xxf x 自变量的自变量的改变量改变量函数的改函数的改变量变量函数在函数在点处有定义点处有定义( )f x0 x函数在函数在点处点处连续连续( )f x0 x0lim0 xy 例例讨论函数讨论函数在处
18、的连续性在处的连续性( )21f xx1x 解解 因为函数在的任一邻域内有因为函数在的任一邻域内有定义，且定义，且( )21f xx1x (1)(1)2(1)132yfxfxx 显然显然00limlim 20 xxyx 所以函数在处连续所以函数在处连续( )21f xx1x 间断点间断点函数在函数在点处没有定义点处没有定义( )f x0 x00lim ( )()xxf xf x 0lim( )xxf x 0lim( )xxf x 但但满足下列条件之一的，即为间断点满足下列条件之一的，即为间断点例如例如311xyx 在处在处1x 10( )0020 xxf xxxx 在处在处0 x 01( )2
19、1212xxf xxxx 在处在处1x 间断间断可去可去间断间断跳跃跳跃间断间断可去可去11yx 在处在处1x 间断间断无穷无穷在处在处0 x 1xye 间断间断第二类第二类例例求下列函数的连续区间求下列函数的连续区间解解21(1)23yxx 21011(2)10 xxyxx 1sin0(3)00 xxxyx (1) (, 1)( 1,3)(3,) (2) ( 1,0)(0,1) (3) (,) 连续与极限之间的关系连续与极限之间的关系函数在函数在点处点处极限存在极限存在( )f x0 xx函数在函数在点处点处连续连续( )f x0 x，但，但211lim21xxx 211xyx 在处连续在处
20、连续1x 连续函数的性质连续函数的性质连续函数的和、差、积、商及连续函数的和、差、积、商及复合后的函数都是连续函数复合后的函数都是连续函数 初等函数在其定义域内是连续的初等函数在其定义域内是连续的 连续函数求极限连续函数求极限 00lim( )lim( )xxxxfxfx 原函数及其反函数具有相同的增减性与连续性原函数及其反函数具有相同的增减性与连续性1limarctan 1xxx1arctan lim 1xxxarctanetan0limxxxe 0tanlimxxxe e闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数定义定义函数在上连续函数在上连续( )yf x ( , )a blim( )( )x
21、af xf a lim( )( )xbf xf b 闭区间上的连续函数的性质闭区间上的连续函数的性质闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值xyo)(xfy 1 2 若区间内有间断点若区间内有间断点, ,定理不一定成立定理不一定成立注意注意若区间是开区间若区间是开区间, ,定理不一定成立定理不一定成立二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理几何解释几何解释: :.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy ABxyo)(xfy abC证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx例例