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1、第二第二节 多元函数的极限与多元函数的极限与连续(也称也称为二二重极限重极限)当点当点则称称 A 为函数函数都有都有若存在常数若存在常数 A,对任意正数任意正数 ,总存在正数存在正数 ,定定义2.1 设 一、二元函数的极限一、二元函数的极限多元函数极限与一元函数极限有很多共性：多元函数极限与一元函数极限有很多共性：“”运算；运算；极限的极限的变量代量代换；夹逼准逼准则。有界有界变量与无量与无穷小的乘小的乘积是无是无穷小小.初等函数的极限；初等函数的极限；若当点若当点趋于不同于不同值或有的极限不存在，或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直沿直线 y=k x 趋于点于点(0,0),在点在点(
2、0,0)的极限的极限.则可以断定函数极限可以断定函数极限则有有k 值不同不同,自自变量量趋于原点的路径也不同，极限也不同于原点的路径也不同，极限也不同!在在(0,0)点极限不存在点极限不存在.以不同方式以不同方式趋于于不存在不存在.例例 讨论函数函数函数函数例例 求：求：解解:这里里的定的定义域域为D=(x,y)|x0,y R点点P0(0,2)为D的聚点的聚点由极限运算法由极限运算法则得得二、二、多元函数的多元函数的连续性性 定定义2.2 设 n 元函数元函数定定义在在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点各点处都都连续,则称此函数称此函数在在 D 上上如果存在如果存在否否则称称为不不
3、连续,此此时称称为间断点断点.则称称 n 元函数元函数连续.连续,例如例如,函数函数在点在点(0,0)极限不存在极限不存在,又如又如,函数函数上上间断断.故故(0,0)为其其间断点断点.在在圆周周结论:初等函数在定初等函数在定义区域内区域内连续.定理定理（最大（最大值和最小和最小值定理）定理）一点一点P2，使得，使得f(P1)为最大最大值而而f(P2)为最小最小值，即，即对于于在有界在有界闭区域区域 D上的上的连续函数，在函数，在 D上一定有上一定有最大最大值和最小和最小值这就是就是说，在，在 D上至少有一点上至少有一点P1及及一切一切PD,有有定理定理（介（介值定理）定理）在有界在有界闭区域区域D上的多元上的多元连续函数，必取得函数，必取得介于介于最大最大值和最小和最小值之之间的任何的任何值推推论 有界有界闭区域区域 D上的上的连续函数一定有界函数一定有界内容小内容小结例例6 求求解解:函数函数 是初等函数，是初等函数，解解:原式原式例例7.求求例例8+.求函数求函数的的连续域域.解解: