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1、工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心微积分微积分A A第一章第一章 函数与极限函数与极限教学内容和基本要求：教学内容和基本要求：理解函数概念、复合函数和反函数的概念，掌握基本函理解函数概念、复合函数和反函数的概念，掌握基本函数的性质和图形，会建立简单实际问题中的函数关系式，数的性质和图形，会建立简单实际问题中的函数关系式，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。理解极限的概念、性质，掌握极限四则运算法则，了解理解极限的概念、性质，掌握极限四则运算法则，了解两个极限存在的准则会用两个重要极限求极限；了解无穷两个极限存在的准则
2、会用两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，并会用无穷小求极限。小、无穷大及无穷小的阶的概念，并会用无穷小求极限。理解函数的连续性的概念，了解间断点的概念，并会判理解函数的连续性的概念，了解间断点的概念，并会判断间断点类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数断间断点类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。的性质。工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程理解极限的概念的几何意义理解极限的概念的几何意义会利用极限定义证明极限存在会利用极限定义证明极限存在理解函数极限的概念理解函数极限的概念学学学学 习习习习
3、重重重重 点点点点第三节第三节第三节第三节 函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限 掌握左右极限的概念掌握左右极限的概念工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程通过对数列极限问题的研究，我们已经看到通过对数列极限问题的研究，我们已经看到极限极限是一种思想方法是一种思想方法，是是从认识从认识有限有限到把握到把握无限无限的一个过程的一个过程，对于特殊的函数，我们对于特殊的函数，我们已经了它们当已经了它们当n趋于无穷时的各个不同趋向趋于无穷时的各个不同趋向对于一个函数对于一个函数，在自变量的某个变在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值可以
4、无限接近于某化过程中，如果对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的在该变化过程中的极限。极限。工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程各种函数极限的直观实例各种函数极限的直观实例工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子
5、子教教程程工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程 如果当如果当 x 无限地接近于无限地接近于 x0 时时 函数函数 f(x)的值无限地接近的值无限地接近于常数于常数 A 则常数则常数 A 就叫做函数就叫做函数 f(x)当当 xx0时的时的极限极限 记作记作 函数极限的的通俗定义函数极限的的通俗定义一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限分析分析 当当 xx
6、0 时时 f(x)A 当当|x-x0|0 时时|f(x)A|0 当当|x-x0|小于某一正数小于某一正数 后后|f(x)A|能小于给定的正数能小于给定的正数 任给任给 0 存在存在 0 使使当当|x x0|时时 有有|f(x)A|工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程 设函数设函数 f(x)在点在点 x0的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义 函数极限的精确定义函数极限的精确定义工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程函数极限的几何意义函数极限的几何意义工科数学教学中心工科数
7、学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程 目的目的：对任意的：对任意的e0,要找要找d0，使得，使得0|x-x0|d 时，有时，有|f(x)-A|e.即即 A-e f(x)0,0,当0|xx0|时,有|f(x)a|0 极限的局部保号性定理极限的局部保号性定理工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程 推论推论:如果在如果在x0的某一去心邻域内的某一去心邻域内 f(x)0 (f(x)0)而且而且 则则 如果如果 存在，那么极限必是唯一的存在，那么极限必是唯一的极限存在的唯一性定理极限存在的唯一性定理极限存在的
8、局部有界性定理极限存在的局部有界性定理 如果如果 ,那么必存在那么必存在一个正数一个正数M，使得函，使得函数数 在点在点x0（可以不包括（可以不包括x0）的某一领域内的某一领域内总有总有|f(x)|M 唯一性和有界性证明与数列类似唯一性和有界性证明与数列类似,请同学们自己证请同学们自己证工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程定义定义定理定理此定理常用来讨论函数此定理常用来讨论函数在某点的极限不存在在某点的极限不存在!函数的左、右极限函数的左、右极限工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教
9、教程程左极限左极限yxo1-1 考虑符号函数考虑符号函数求求 因为因为 所以所以 不存在。不存在。右极限右极限解解：例例4工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程f(x)=x,当当x 0时时,sinx,当当x0时时,由于当由于当x 0时时,对应的函数值对应的函数值f(x)=x.由于当由于当x0时时,对应的函数值对应的函数值f(x)=sinx.解：解：f(x)是一个分段函数，是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点是这个分段函数的分段点.对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论
10、极限讨论.例例5工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程11y=x+1y=x1 判断函数判断函数当当x0时的极限是否存在时的极限是否存在 练习练习3 3解答解答:因为因为所以所以,极限不存在极限不存在工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程左、右极限存在左、右极限存在,但不相等但不相等,解：解：f(x)=x,当当x 0时时,cos x,当当x0时时,练习练习4 4xyx0+x0yy工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程练习练习
11、5 5工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程 类似地可定义类似地可定义 设设 f(x)当当|x|大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义 如果对于如果对于任意给定的正数任意给定的正数 存在着正数存在着正数 X 使得当使得当|x|X 时时 不等式不等式：|f(x)-A|0”.但是但是,数列极限中数列极限中n是离散变化的是离散变化的,而这而这里里x是连续变化的是连续变化的.工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程极限极限 的定义的几何意义的定义的几何意义 当当x时时,函数函数 f(x)
12、以以A为极限的几何意义为极限的几何意义:对于任意给定的正数对于任意给定的正数 存在着正数存在着正数X 当当x X 时时,f(x)落在落在(A-，A+)这条带子里这条带子里A-A+XXy=f(x)A 工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程例例5证证：工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程1，自变量趋于有限值函数的极限自变量趋于有限值函数的极限2，自变量趋于无穷时函数的极限自变量趋于无穷时函数的极限3，函数极限存在的性质函数极限存在的性质4，函数极限的证明方法，函数极限的证明方法 5，左极限和右极限，左极限和右极限小结小结 工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心工科数学教学中心【微微积积分分】电电子子教教程程