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1、20212021 年上海市中考数学试卷年上海市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 6 题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分 2424 分。下列各题的四个选项中，有且只有一分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）个选项是正确的）1（4 分）下列计算的结果是（）A4B3D2（4 分）下列对一元二次方程x2+x30 根的情况的判断，正确的是（）A有两个不相等实数根B有两个相等实数根C有且只有一个实数根D没有实数根3（4分）下列对二次函数yx2x 的图象的描述，正确的是（）A开口向下B对称轴是 y 轴C经过原点D在对称轴右侧部分是下降的4（4 分）据统计，某住宅
2、楼30 户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A25 和 30B25 和 29C28 和 30D28 和 295（4 分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）AABBACCACBDDABBC6（4 分）如图，已知POQ30，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是（）A5OB9B4OB9C3OB7D2OB7二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1212
3、 题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分 4848 分）分）7（4 分）8 的立方根是8（4 分）计算：（a+1）2a29（4 分）方程组的解是10（4 分）某商品原价为a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是元（用含字母 a 的代数式表示）11（4 分）已知反比例函数 y（k 是常数，k 1）的图象有一支在第二象限，那么 k的取值范围是12（4 分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200 名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么2030 元这个小组的组频率是113（4 分）从，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为14（4 分）如果一次函数ykx+3（
4、k 是常数，k0）的图象经过点（1，0），那么 y 的值随x 的增大而（填“增大”或“减小”）15（4 分）如图，已知平行四边形ABCD，E 是边 BC 的中点，联结 DE 并延长，与 AB 的延长线交于点F，那么向用向、表示为16（4 分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是度17（4 分）如图，已知正方形DEFG 的顶点D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点G、F 分别在边 AB、AC 上如果 BC4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是18（4 分）已知任一平面封闭图形，现在其外
5、部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高如图，边长为 1 的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 题，满分题，满分 7878 分）分）219（10 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来20（10 分）先化简，再求值：（），其中a21（10 分）如图，已知ABC 中，ABBC5，tanABC（1）求边 AC 的长；（2）设边 BC 的
6、垂直平分线与边AB 的交点为 D，的值22（10 分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米时，司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？23（12 分）已知：如图，正方形 ABCD中，P 是边 BC 上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点 E、F（1）求证：EFAEBE；（2）连接 BF，
7、如果求证：EFEP324（12 分）在平面直角坐标系xOy 中（如图）已知抛物线yx2+bx+c 经过点 A（1，0）和点B（0，），顶点为C，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点 D按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段 CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点 O 的位置，这时点 P 落在点 E 的位置，如果点 M 在 y 轴上，且以 O、D、E、M 为顶点的四边形面积为8，求点 M 的坐标25（14 分）已知O 的直径 AB2，弦 AC 与弦 BD 交于点E且 ODAC，垂足为点F（1）如图 1，如果
8、ACBD，求弦 AC 的长；（2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值；（3）联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边，求ACD 的面积420182018 年上海市中考数学试卷年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 6 题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分 2424 分。下列各题的四个选项中，有且只有一分。下列各题的四个选项中，有且只有一个个 选选 项项 是是 正正 确确 的的）1（4 分）下列计算的结果是（）A4B3D【分析】先化简，再
9、合并同类项即可求解【解答】解32故选：C2（4 分）下列对一元二次方程x2+x30 根的情况的判断，正确的是（）A有两个不相等实数根B有两个相等实数根C有且只有一个实数根D没有实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出130，进而即可得出方程 x2+x30 有两个不相等的实数根【解答】解：a1，b1，c3，b24ac124（1）（3）130，方程 x2+x30 有两个不相等的实数根 故选：A3（4 分）下列对二次函数yx2x 的图象的描述，正确的是（）A开口向下B对称轴是 y 轴C经过原点D在对称轴右侧部分是下降的【分析】A、由 a10，可得出抛物线开口向上，选项 A 不正确；B、根
10、据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线，选项 B 不正确；C、代入 x0 求出 y 值，由此可得出抛物线经过原点，选项 C 正确；D、由a10 及抛物线对称轴为直线，利用二次函数的性质，可得出当时，y 随 x 值的增大而增大，选项D 不正确 综上即可得出结论【解答】解：A、a10，抛物线开口向上，选项 A 不正确；B、，抛物线的对称轴为直线，选项 B 不正确；C、当 x0 时，yx2x0，抛物线经过原点，选项 C 正确；5D、a0，抛物线的对称轴为直线 x，当时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确 故选：C4（4 分）据统计，某住宅楼30 户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户
11、数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A25 和 30B25 和 29C28 和 30D28 和 29【分析】根据中位数和众数的概念解答【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28，这组数据的中位数是 28，在这组数据中，29 出现的次数最多，这组数据的众数是 29，故选：D5（4 分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）AABBACCACBDDABBC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案【解答】解：A、AB，A+B180，所以AB90，可以判定这个平行
12、四边形为矩形，正确；B、AC 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、ACBD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确；D、ABBC，所以 B90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B6（4 分）如图，已知POQ30，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长为 2 的A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是（）A5OB9B4OB9C3OB7D2OB7【分析】作半径 AD，根据直角三角形30 度角的性质得：OA4，再确认B 与A 相切时，OB 的长，可得结论【解答】解：设A 与直线 OP 相切时切点为 D，
13、连接 AD，ADOP，O30，AD2，OA4，当B 与A 相内切时，设切点为 C，如图 1，BC3，OBOA+AB4+325；6当A 与B 相外切时，设切点为 E，如图 2，OBOA+AB4+2+39，半径长为 3 的B 与A 相交，那么 OB 的取值范围是：5OB9，故选：A二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 1212 题，每题题，每题 4 4 分，满分分，满分 4848 分）分）7（4 分）8 的立方根是2【分析】利用立方根的定义即可求解【解答】解：（2）38，8 的立方根是2 故答案为：28（4 分）计算：（a+1）2a22a+1【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果【
14、解答】解：原式a2+2a+1a22a+1，故答案为：2a+19（4 分）方程组的解是，【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出 y 即可【解答】解：+得：x2+x2，解得：x2 或 1，把 x2 代入得：y2，把 x1 代入得：y1，所以原方程组的解为，7故答案为：，10（4 分）某商品原价为a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是 0.8a元（用含字母 a 的代数式表示）【分析】根据实际售价原价即可得【解答】解：根据题意知售价为 0.8a 元，故答案为：0.8a11（4 分）已知反比例函数 y（k 是常数，k1）的图象有一支在第二象限，那么 k的取值
15、范围是k1【分析】由于反比例函数的图象有一支在第二象限，可得 k10，求出 k 的取值范围即可【解答】解：反比例函数的图象有一支在第二象限，k10，解得 k1故答案为：k112（4 分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200 名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么2030 元这个小组的组频率是0.25【分析】根据“频率频数总数”即可得【解答】解：2030 元这个小组的组频率是 502000.25，故答案为：0.2513（4 分）从，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为【分析】由题意可得共有 3 种等可能的结果，其中无理数有共 2 种情况，则可利用概率公式
16、求解【解答】解：，这三个数中，无理数有，这 2 个，选出的这个数是无理数的概率，故答案为14（4 分）如果一次函数ykx+3（k 是常数，k0）的图象经过点（1，0），那么 y 的值随8x 的增大而减小（填“增大”或“减小”）【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 k 值，再利用一次函数的性质即可得出结论【解答】解：一次函数ykx+3（k 是常数，k0）的图象经过点（1，0），0k+3，k3，y 的值随 x 的增大而减小 故答案为：减小15（4 分）如图，已知平行四边形ABCD，E 是边 BC 的中点，联结 DE 并延长，与 AB 的延长线交于点F，那么向用向、表示为【分析】
17、根据平行四边形的判定与性质得到四边形 DBFC 是平行四边形，则 DCBF，故 AF2AB2DC，结合三角形法则进行解答【解答】解：如图，连接 BD，FC，四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB，DCABDCEFBE又 E 是边 BC 的中点，ECBE，即点 E 是 DF 的中点，四边形 DBFC 是平行四边形，DCBF，故 AF2AB2DC，+2+2故答案是+2 16（4 分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是540度【分析】根据题意得到 2 条对角线将多边形分割为 3 个三角形，然后根
18、据三角形内角和9可计算出该多边形的内角和【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，则将多边形分割为 3 个三角形所以该多边形的内角和是 3180540 故答案为 54017（4 分）如图，已知正方形DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点G、F 分别在边 AB、AC 上如果 BC4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是【分析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH3，设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GFx，MHx，AM3x，再证明AGFABC，则根据相似三角形的性质，然后解关于 x 的方程即可【解答】解：作
19、AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，ABC 的面积是 6，BCAH6，AH3，设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GFx，MHx，AM3x，GFBC，AGFABC，解得，即正方形 DEFG 的边长故答案18（4 分）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高如图，边长为1 的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”10的，则该“菱形的矩形”的“宽”为【分析】先根据要求画图，设AFx，则
20、x，根据勾股定理列方程可得结论【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设 AFx，则x，在 RtCBF 中，CB1，BFx1，由勾股定理得：BC2BF2+CF2，解得：x或 0（舍），则该“菱形的矩形”的“宽”，故答案为三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7 题，满分题，满分 7878 分）分）19（10 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集【解答】解：解不等式得：x1，解不等式得：x3，则不等式组的解集是：1x3，11不等式组的解集在数轴上表示为：20（10 分）先化简，再求值：（），其
21、中a【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得【解答】解：原式，当 a时，原式5221（10 分）如图，已知ABC 中，ABBC5，tanABC（1）求边 AC 的长；（2）设边 BC 的垂直平分线与边AB 的交点为 D，的值【分析】（1）过 A 作 AEBC，在直角三角形 ABE 中，利用锐角三角函数定义求出 AC的长即可；（2）由 DF 垂直平分 BC，求出BF 的长，利用锐角三角函数定义求出DF 的长，利用勾股定理求出BD 的长，进而求出AD 的长，即可求出所求【解答】解：（1）作 A 作 AEBC，在 RtABE 中，AB5，AE3，BE4，CEBCB
22、E541，在 RtAEC 中，根据勾股定理得；（2）方法一：DF 垂直平分 BC，BDCD，BFCF，tanDBF，12DF，在 RtBFD 中，根据勾股定理得，AD5，则方法二：DF 垂直平分 BC，BDCD，BFCF，EFCFCE1，AEBC，DFBC，BFDBEA，FBDEBA，RtBFDRtBEA，22（10 分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写定义域）（2）已知当油箱中的剩余油量为 8 升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了 500 千米时，司机
23、发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为 8 升时行驶的路程，此题得解【解答】解：（1）设该一次函数解析式为ykx+b，13将（150，45）、（0，60）代入ykx+b 中，解得：，该一次函数解析式为x+60（2）当x+608 时，解得 x520即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升53052010 千米，油箱中的剩余油量为 8 升时，距离加油站 10 千米在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油
24、，这时离加油站的路程是 10 千米23（12 分）已知：如图，正方形 ABCD中，P 是边 BC 上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点 E、F（1）求证：EFAEBE；（2）连接BF，如求证：EFEP【分析】（1）利用正方形的性质得 ABAD，BAD90，根据等角的余角相等得到13，则可判断ABEDAF，则 BEAF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利和 AFBE 得，则可判定 RtBEFRtDFA，所以43，再证明45，然后根据等腰三角形的性质可判断 EFEP【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，ABAD，BAD90，BEAP，DFAP，BEAAFD90，1+290，2+390
25、，13，在ABE 和DAF 中，ABEDAF，BEAF，EFAEAFAEBE；14（2）如图，而 AFBE，RtBEFRtDFA，43，而13，41，51，45，即 BE 平分FBP，而 BEEP，EFEP24（12 分）在平面直角坐标系xOy 中（如图）已知抛物线yx2+bx+c 经过点 A（1，0）和点B（0，），顶点为C，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点 D按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段 CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点 O 的位置，这时点 P 落在点 E 的位置，如果点 M 在 y
26、 轴上，且以 O、D、E、M 为顶点的四边形面积为8，求点 M 的坐标【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到（x2）2+，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x2，如图，设CDt，则 D（2，t），根据旋转性质得 PDC1590，DPDCt，则P（2+t，t），然后把P（2+t，t）代入yx2+2x+得到关于 t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；（3）P 点坐标为（4，），D 点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，2），设 M（0，m），当 m0 时，利用梯形面积公式得到（m+2）28当 m0 时，利用梯形面积公式得（m+
27、2）28，然后分别解方程求出m即可得到对应的 M 点坐标【解答】解：（1）把A（1，0）和点B（0，）代入yx2+bx+c 得，解得，抛物线解析式为x2+2x+；（2）y（x2）2+，C（2，），抛物线的对称轴为直线x2，如图，设CDt，则 D（2，t），线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点 P 处，PDC90，DPDCt，P（2+t，t），把t）代 入x2+2x+得（2+t）2+2（2+t）+t，整理得t22t0，解得 t10（舍去），t22，线段 CD 的长为 2；（3）P 点坐标为（4，），D 点坐标为（2，），抛物线平移，使其顶点）移到原点 O 的位置
28、，抛物线向左平移2 个单位，向下平个单位，而 P 点）向左平移 2 个单位，向下平个单位得到点 E，E 点坐标为（2，2），设 M（0，m），16当 m0 时，（m+2）28，解得 m，此时M 点坐标为（0，）；当 m0 时，（m+2）28，解得 m，此时M 点坐标为（0，）；综上所述，M 点的坐标为（0，）或（0，）25（14 分）已知O 的直径 AB2，弦 AC 与弦 BD 交于点E且 ODAC，垂足为点F（1）如图 1，如果 ACBD，求弦 AC 的长；（2）如图 2，如果 E 为弦 BD 的中点，求ABD 的余切值；（3）联结 BC、CD、DA，如果 BC 是O 的内接正 n 边形的一
29、边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边，求ACD 的面积【分析】（1）由ACBD而得答案；（2）连接 BC，设 OFt，证 OF 为ABC 中位线及DEFBEC 得 BCDF2t，由DF1t 可得，即可知，继而求得AC义可得答案；（3）先求出 BC、CD、AD 所对圆心角度数，从而求得BCAD、根据三角形面积公式计算可得【解答】解：（1）ODAC，AFO90，从而，由余切函数定+，根据ODAC，从，即可知AODDOCBOC60，利用AFAOsinAOF可又ACBD，+，17，AODDOCBOC60，AB2，AOBO1，AFAOsinAOF1，则；（2）如图 1，连接 BC，AB 为直径，ODAC，AFOC90，ODBC，DEBC，DEBE、DEFBEC，DEFBEC（ASA），BCDF、ECEF，又AOOB，OF 是ABC 的中位线，设 OFt，则 BCDF2t，DFDOOF1t，1t2t，解得，则、AC，EFFCAC，OBOD，ABDD，则；（3）如图 2，18BC 是O 的内接正 n 边形的一边，CD 是O 的内接正（n+4）边形的一边，BOC、，则180，解得：n4 或2，2 舍去BOC90、AODCOD45，BCAC，AFO90，OFAOcosAOF，则 DFODOF1，SACDAC DF（1）19