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1、第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其线性运算学案一、学习目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.二、基础梳理1. 在空间，具有_和_的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的_或_.空间向量用字母a，b，c，表示.2. 长度为0的向量叫做_，记为_.模为1的向量叫做_.3. 与向量a长度_而方向_的向量，叫做a的相反向量，记为_.4. 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_或
2、_，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量_，即对于任意向量a，都有_.5. 方向_且模_的向量叫做相等向量.因此，在空间， _且_的有向线段表示同一向量或相等向量.6. 空间向量线性运算的运算律：（1）交换律：_；（2）结合律：_，_；（3）分配律：_，_.7. 共线向量定理：对任意两个空间向量a，b，的充要条件是存在实数，使_.8. 共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_.三、巩固练习1.在直三棱柱中，若，则 ( )A. B. C. D.2.在空间四边形中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD
3、，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.B.C.D.3.如图，在正方体中，点E是的中点，点F是AE的一个三等分点，且，则( )A.B.C.D.4.已知空间向量a，b，且，则一定共线的三点是( ) A. B. C. D.5.在正方体中，点E为上底面的中心，若，则x，y的值分别为( )A. ，B. ， C. ，D. ，6.给出下列四个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若a，b满足，且a，b同向，则a b；不相等的两个空间向量的模必不相等；对于任意向量a，b，必有.其中正确命题的序号为_.7.对于空间中的非零向量，有下列各式：；.其中一定不成立的是_.8.下列结论中，正确的是_(填序号).
4、若a，b，c共面，则存在实数x，y，使；若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使；若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使.9.如图，在空间四边形ABCD中，G为的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量.10.如图所示，在正方体中，点E在上，且，点F在体对角线上，且，求证：E，F，B三点共线.11.已知三个向量a，b，c不共面，并且，向量p，q，r是否共面？参考答案基础梳理1. 大小；方向；长度；模2. 零向量；0；单位向量3. 相等；相反；-a4. 平行；重合；平行；5. 相同；相等；同向；等长6. （1）； （2）；（3）；7.8.巩固练习1
5、.答案：D解析：，故选D.2.答案：B解析：E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，四边形EFGH为平行四边形，且.E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有.3.答案：D解析：易知，所以.故选D.4.答案：A解析：，三点共线.故选A.5.答案：C解析：如图，.6.答案：解析：对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误；对于，向量是不能比较大小的，故错误；对于，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误；只有正确.7.答案：解析：根据空间向量的加减运算法则可知，对于：恒成立；对于：当方向相同时，有；对于：当方向相同且与方向相反时，有.只有一定不成立.8.答案：解析：共面向量定理给出的是一个充要条件，所以第个命题正确.但定理的应用又有一个前提：b，c是不共线向量，否则即使三个向量a，b，c共面，也不一定具有线性关系，故不正确，正确.9.答案：G是的重心，BE是CD边上的中线，.又，.10.答案：连接EF，FB，.又， E，F，B三点共线.11.答案：假设存在实数，使，则.a，b，c不共面，解得，即存在实数，使，p，q，r共面.6学科网（北京）股份有限公司