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1、参评论文数形结合思想应用探究舞钢市第二高级中学吴金耀2010年10月20日数形结合思想应用探究摘 要：数形结合思想是重要的数学思想方法之一，“数”和“形”是事物本质的两个表现形式，理解并领悟这点是数学学习的重要方面。数形结合是解决数学问题的重要思想方法。关键词：数形结合、探究数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。 数形结合是一种重要的数学思想，是我们解题的重要手段。它是在一定的数学知识、数学方法的基础上形成的，它对理解、掌握、运用数学知识和数学方法，解决数学问题能起到促进和深化的作
2、用。一、数形结合思想的意义所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻，透彻的阐释。具体的说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题，借助“数”去思考，这种解决问题的思想称数形结合思想。二、数形结合思想的原则1、等价原则等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何转化是对应的，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。例1.方程的实数根的个数为（）A、
3、3个 B、5个 C、7个 D、9个yOx分析：图象法，作函数与的草图。由于两个函数均为奇函数，故只需要作的部分，又因为x8时，2，故图形只需取就行了（如图），当时，在内有一个交点。因此除原点外还有四个交点，再由奇偶性知有9个交点，故选D2、双向性原则双向性原则是指通过几何形象的直观性分析，进行代数计算的探索。例2.如果实数满足等式，那么的最大值是什么？解：设点在圆上，圆心为,半径等于。如图，则是点与原点连线的斜率。当与相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值。因为 =， =，所以 =，所以 = =。3、简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算
4、简洁明了。例3. 解不等式： 解: 设 ， ，即 对应的曲线是以(,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是。 三、数形结合思想的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系、重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线
5、的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2、由形到数的转换途径（1）解析法：建立适当的坐标系，引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角知识获得探求结果的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。四、数形结合在数学教学中的应用1、与不等式有关的问题应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求不等式的几何意义。例4.设变量、在区间中取值，试证：分析：本题直接证不好证明，由左边的轮换式可以联想到
6、面积，由于变量、在区间中取值构造一个边长为1的正三角形。将这些关系统一在一个不等式中，可得到如下简洁而优美的解法。BA1ACB1C1解：如图，正三角形边长为1，设点、分别在边、和上，且有，则，+即，结论得证2、与方程的根有关的问题应用数形结合思想解方程，应当注意曲线与方程的对应关系。xyo例5、方程的实根个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个分析：这道题若直观通过解1个3次方程来解，比较麻烦。可在同一个坐标系下画出与的图象。由图象观察可知，两函数图象只有一个交点。故选A3、与函数有关的问题例6、求二元函数的最小值Oyx分析：可将的表达式看作是两点、之间距离的平方且，所以可将、分别看
7、作圆与双曲线上一点 易知 4、与复数有关的问题例7、的2次方程中，均为复数且，设这个方程的两个根为和，满足，求的最大值、最小值分析：由韦达定理，得结合已知得OAyxBC，即复数在以为圆心，7为半径的圆上原点在上述圆内，连接延长交圆于点与点则， 5、在解析几何上的应用例题8、设 、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上有点使且，则双曲线的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、OF1AyxxF2分析：利用双曲线的图形来反映数量之间的关系解：由已知根据双曲线的定义：，得在中，由勾股定理得即双曲线的离心率 6、在解决实际问题方面的应用在现实生活中我们常会遇到一些关于数学方面的问题，此时若能对数学知识理解掌
8、握好，巧用数形结合的思想，在现实生活中有些问题便迎刃而解。OyxM例9、某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元，2 千元。甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工甲产品所需要的时间分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？解：设加工甲产品x件，加工乙产品y件，目标函数， 线性约束条件为,作出可行域，如右图所示阴影部分把变形为平行直线系由图可知当经过可行域上点时，截距最大. 解方程组 得（200，100）即当生产甲产品200件，乙产品100件时，可使收入最
9、大，最大为80万。综上所述，数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性，简而言之“数形互相取长补短”。通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了。数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平。主要参考文献：1 欧阳维诚,张垚,肖果能等数学思想方法选讲编著长沙.：湖南教育出版社，2000.2 张雄，李得虎. 数学方法与解题研究. 等教育出版社.3 张连延. 谈数形结合思想在解题过程中的巧用, 学科探究.4 康小玲等. 数形结合法J数学教学通讯，2002（05）.5 袁小明. 数学思想史导论M 南宁：广西教育出版社，1991. 2010年10月20日