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1、数形结合思想在解题中的应用教学目标：1利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算及推理，在解题时能提高效率.2增养学生问题转化的意识.重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识.难点：由数到形的转化.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言及直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.数形结合思想常常利用到的数学模型有：（
2、1）函数的图象，（2）斜率公式，截距（3）两点间距离公式，（4）点到直线的距离，（5）单位圆，韦恩图，数轴.题型一：利用数形结合的方法解决有关方程问题：【例题分析】 例1. 若关于的方程的两根分布在的两侧，求的取值范围.解：由的图象可知，要使两根在的两侧只需解得，故说明：，其图象及轴交点的横坐标就是方程的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。例2. 已知，则方程的实根个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个解：判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B.变式1：方程的解的个数为_.题型二：利用数形
3、结合法解决不等式问题例3不等式的解集是_.解：令，则不等式的解就对应于：函数的图象在上方的图象的部分在轴上的射影.如图，不等式的解集为.变式: 对一切实数不等式恒成立，求实数的取值范围.题型三：利用数形结合法解决有关最大值和最小值问题例4. 如果实数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 解：等式有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，（如图），而则表示圆上的点及坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以（2，0）为圆以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图可见，当点在第一象限，且及圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值
4、为.变式1. 求函数的值域.变式2. 已知满足的最大值及最小值.说明：数形结合法解决数学问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质，然后根据题意构造几何图形，实现代数和几何的相互联系.课堂小结： 本节课学习了一个思想，即数形结合思想 三种题型实现数形结合，常常涉及以下内容：1.实数及数轴上的点的对应关系；2.函数及图象的对应关系；3.曲线及方程的对应关系；4.以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等；5.所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法及技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目
5、标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.作业：1. 若集合，集合，且，则的取值范围为_。2. 点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为2，为的中点，表示原点，则（ ）A. B. C. 4D. 83. 双曲线C的两个焦点是F1、F2，双曲线上任意一点P，过F2作F1PF2的平分线的垂线平分线交于M，则M的轨迹是（ ）A. 圆 B. 直线 C. 双曲线 D. 抛物线【针对训练】一. 选择题： 1. 方程的实根的个数为（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2. 函数的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（ ）
6、 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 不充分也不必要条件 4. 若不等式的解集为，且，则的值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 若时，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的函数在上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（ ）A. B. C. D. 二. 填空题： 7. 若对任意实数，都有，则，由小到大依次为_. 8. 若关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为_. 9. 函数的最小值为_. 10. 若直线及曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_.三. 解答题：11. 若方程在上有唯一解，求的取值范围.12.
7、 若不等式的解集为，且，求的取值范围.13. 设，试求下述方程有解时的取值范围： 【试题答案】一. 选择题： 1. C解：画出在同一坐标系中的图象即可。确定lgx=1的解为x=10，y=lgx在(0，+)内递增，所以和的图象应该有三个交点。2. D解：画出的图象. 情形1：情形2：3. A解：命题甲：，命题乙：-3，由甲可以得出乙，反之不成立4. B解：画出的图象，依题意，从而，由5. C解：令，若，两函数图象如下图（一）所示，显然当时，要使，只需使，即。 综上可知，当时，不等式对恒成立 若，两函数图象如右图（二）所示，显然当时，不等式恒不成立。 6. A解：的图象是由的图象向左平移2个单位而
8、得到的，又知的图象关于直线（即轴）对称，故可推知，的图象关于直线对称，由在上为增函数，可知在上为减函数，依此易比较函数值的大小。二. 填空题： 7. 解： 由知，的图象关于直线对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由的图象，易知的大小。8. 解： 设画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使9. 解：最小值为对，联想到两点的距离公式，它表示点到（1，0）的距离；表示点到点（3，3）的距离，于是表示动点到两个定点（1，0），（3，3）的距离之和，结合图形，易得。 10. 解：表示倾角为，纵截距为的直线族，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在轴上方的部分（包括圆及轴的交
9、点）如下图所示，显然，欲使直线及半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即三. 解答题： 11. 解：原方程等价于则上述不等式组在上只有一个解。 令在同一坐标系内，画出它们的图象。 其中注意，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当或时，原方程有唯一解，因此的取值范围为 说明：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。 12. 解：令，其中表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在轴的上方的部分（包括圆及轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的值，由于不等式解集，因此只需要 的取值范围为13. 解：将原方程化为 ，且 令，它表示倾角为的直线系， 令，它表示焦点在轴上，顶点为的等轴双曲线在轴上方的部分， 原方程有解 两个函数的图象有交点，由下图知或 的取值范围为第 5 页