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1、- 数形结合思想及其应用内容摘要： 数形结合是解决数学问题的重要方法之一，在提示数学原理结构的同时，简化了题过程，避免繁杂的计算和推理，从而达到锻炼、陪养了学生的形象思维以及抽象思维的教学目的。巧妙运用数形结合的数学思想来探寻解题的思路，往往可以达到事半功倍的效果。关 键 词：数形结合 数学原理1.引言数学是集科学性、思想性、方法性和知识性于一体的一门基础性学科，探究数形之间的关系来解答习题在数学教学中占有重要意义。通过把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，“以形助数”或“以数解形”可以使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化教学目的的效果。其中，“数” 与“形”相互结合，相互渗透，把
2、代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题可以相互转化，使抽象与具体有机组合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的关系，将其中的内在联系可以在图形或者数轴上表示，使之转化为求解几何或者代数问题，并最终达到预期效果。既要分析其代数意义又要揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。正如华罗庚所指出“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直观,形少数时难入微”。在数学教学中如果能够经常引导学生用图形直观地研究代数、几何问题,用数、式对图形的性质进行丰富、精确、深刻的探讨,将对提高学生数学能力,分析问题、解决问题的能力
3、是大有裨益的。2.数形结合的思想方法概述 2.1数行结合思想方法概述及价值分析数形结合是数学解题中的思想方法，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，有助于学生们去了解和把握数学问题的实质，并且运用数形结合思想，一些难题、怪题，可以简单易懂，解题思路变化多变。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常常与几个内容有关：（1）实数与数轴上点的位置关系；（2）函数与图像之间的位置关系；（3）曲线与方程之间的位置关系；（4）运用几何条件和几个元素构造的函数，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或者是代数式有明显的价值意义，如等式等；（6）
4、高等数学中，对一些定理或者性质的描述和表达，如凸函数、凹函数等。我们可以想象一下，在距离我们并不久远的高考中，数形结合思想在中间运用的非常广泛，运用数形结合思想，不仅可以节约时间，而且对结果求证的正确率也大大提高，而在其中，我们研究最多的就是“以形助数”，用简单的数学图形表达复杂的数学思想，从而快捷的达到问题的结果。数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式的问题中，求函数的值域或是最值问题上，在求复数和三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅可以直观发现解题的途径，而且能够避免复杂的计算与推理，大大简化了解题的过程。这些思想在解答选择、填空题中占有及其重要的作用，我们在善于培养这方
5、面的能力，争取做到看到一道题，心中可以画出图形的状态，开拓我们的思维，增加我们的视野。2.2数形结合思想方法的辩证分析 每一种数学方法的使用都有其逻辑依据、适用范围，超出了一定的适用范围，就会导致错误的发生，因此要一分为二地认识数形结合的思想方法。由数想到形的时候，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础，尤其在做线性规划的时候，当我们没有画出标准的图形的时候，我们无法得到正确的目标函数的答案，由此，可能会导致结果的严重偏差。数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势。“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台和模式，而“数”才是其真正的主角，有些同
6、学在做一些应用问题时，仅仅是表述“如图所示”，却没有更多的文字表述，这就犯了我们常说的形式主义的错误。所以，我们必须人情主次，否则，肯定会导致运用数形结合的谬用。在同一坐标系中作几个函数的图像来比较时，我们一定要注意函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”。因为我们画出的只是函数图像的一小部分，而不是全部。常言到“知人知面不知心”，同样的，我们从函数图像的部分而知道它的全部，在没画出来的部分图像是怎么样的呢？我们只有根据函数图像的延伸趋势以及伸展“速度”来判断了。例1 ：较与 ( 大于1的自然数)的大小 错解：在同一坐标系中分别画出函数及的图像，如图2-2所示, 由图可知，两个图像有一个公共点。当2
7、时， ，当时 有 成立,所以，当n = 2时 =，而且当n 是大于2的自然数时， 评析：事实上，当n = 4时，与，也相等；n = 5时，.错解是因为没有充分注意到两图像的递增“速度”要比较两个图像的递增速度，确实很难由图像直观而得。本题可以先猜想，后用数学归纳法证明。本题的正确答案是当n = 2、4 =， 当n = 3 ， ， 当n 是大于4的自然数时， ， 证明略。例2：关于x ，y 的方程组(ab0,c0)有四组实数解，求a，b，c应满足的关系。 错解：已知方程组中有两个方程分别是椭圆各抛物线的方程，原方程组有四组解等价于椭圆与抛物线有四个不同的公共点。如上的左图，由图可知，且 ，即。评
8、析：观察图像过于草率！事实上，上图2-5中的右图也是一种可能的情形，即当时，仍有可能为四组解，例如当a = 2， b=1，c=2 时，可得解集为：（2，0），（-2，0），（，），（-，）。现在用数形结合来求解：考虑一元二次方程，即，令（即相切情形），解得，结合图像，注意到，则a、b、c应满足的关系是“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出
9、我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，有是有效的。数形结合的确是一个非常好，也非常实用而且重要的思想方法，应用性强。但它又是一把双刃剑，时时充满诱惑和危险。因此，我们要慎之又慎，要扬长避短，要全面合理分析，直观的同时，辅有严谨的演绎。13.数形结合思想在数学中的应用在数学教学中发现:渗透数形结合的数学思想,将“数”与“形”两者结合起来,充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性,可以帮助学生高效的分析和解决问题,使技巧上升为能力。3.1数形结合在求函数的最值中应用求函数的最值，方法颇多.但有些题目看似代数问题，采用代数方法求解，往往演算
10、过程繁琐冗长，或者无从着手.假如题设与几何图形有联系，那么利用数行结合的方法，问题就迎刃而解。例3.分析:本题可通过消元,转化为二次函数求解,但较麻烦,然而借助直角坐标系,将数的问题用形来解决就方便多了。评注:代数问题中涉及直线、曲线等问题可利用直角坐标系,通过点的坐标,架起数与形的桥梁, 从而将问题简便解决。 3.2数形结合在解不等式中的应用不等式的证明是个难点，有些题目利用常规方法难以证明，但如果不等式具有几何意义，考虑到数形结合，问题就变得简单易证。评注：如果根据点的坐标求函数的解析式，然后再解不等式，运算量较大， 比较麻烦而且容易出错，相反我们根据数形结合的思想，直接由图像观察就显的非
11、常容易。 例5 : 知,解关于的不等式 LYC分析：此不等式是一个无理不等式，若按无理不等式解法需将此不等式转化成2个不等式组来解，其过程将会非常繁杂，如果考虑不等式的几何意义，就简单多了，其解法如下。 X解：如图，在同一直角坐标系中做曲线,做直线，解得.由图中可知，在直线上方部分的点的横坐标即为不等式的解. 3.3数形结合在方程（组）中的应用 总之，数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥“数”与“形”两种信息的转换及其优势互补与整合，中学阶段数形结合思想在解决问题时确实起到了举足轻重的作用。数形结合不仅能使概念形化、解题过程具体化、计算方法
12、简单化、学生学习主动化，而且能帮助学生理解各种公式，发展学生的空间观念，更好地展现知识的建构过程。由此可见数形结合思想在数学中有着重要的地位,它是数学思想方法的核心。我们每个教师在平时的教学中都应有机地渗透数形结合思想，耐心细致引导学生，学会运用数形结合思想，要不断研究渗透的策略。同时数形结合思想也是数学中重要的思想方法，把握、运用好数形结合，能激发学生兴趣，提高学生的数学思维能力和数学素养，促进学生情感、态度、价值观的发展，还可以提高课堂教学效果，有利于数学知识的应用与推广。参考文献1赵鹏翔，数学教师，1993年第6期1001032沈文选，中学生数学思想方法，湖南师范大学出版社，1999年第一版56603周春荔，编著出数学观与方法论，首都师范大学出版社，1996年8月出版35364阎月娈,张军峰，数形结合在解题中的应用，保定市范学院，2003(2).5胡文富，数形结合的运用，云南教育，2004年第35期6郑隆忻毛鄂婉，数学思维与数学方法论概述，华中理工大学出版社，1997年7徐国央，数形结合思想在数学解题中的应用，宁波教育学院学报，2009(01)8杨琴，高等数学教学中应重视数形结合思想的作用，才智，2009(15)9雨智，浅谈数形结合思想在解题中的应用，各界(科学与教育)，2009 (02)-第 8 页-