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1、.WORD 格式整理.二二 由角平分线想到的辅助线由角平分线想到的辅助线口诀：口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。平分线平线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情
2、况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线与角有关的辅助线EA（一）（一）、截取构全等、截取构全等ODFC几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与图 1-1猜想是在一定的规基本之上的，希望同学们能B掌握相关的几何规，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规去尝试。下面就几何中常见的定所涉及到的辅助线作以介绍。如图 1-1，AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造条件。1 1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分BCD，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。B.专业知识分
3、享.AEDFC图1-2.WORD 格式整理.分析分析：此题中就涉及到角平分线，可以用角平分线来构造全等三角形，即用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证简证：在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这面用到角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延
4、长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。2 2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC分析分析：此题还是用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。EACDB图1-33 3 已知：如图 1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分BAC，求证：AB-AC=CD分析分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的B.专业知识分享.EACD图1-4.WORD 格式整理.线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习12已知
5、在ABC 中，AD 平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC已知：在ABC 中，CAB=2B，AE 平分CAB 交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE3已知：在ABC 中，ABAC,AD 为BAC 的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CMAB-AC4已知：D 是ABC 的BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二）（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。A1 1 如图 2-1，已知 ABAD,BAC=FAC,CD
6、=BC。求证：ADC+B=180EDF分析分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC与B 之和为平角。BC图2-12 2 如图 2-2，在ABC 中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中用相当于截取的方法。.专业知识分享.BADEC图2-2.WORD 格式整理.3 3 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点P。求证：BAC 的平分线也经过点 P。分析分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB
7、、AC 的距离相等。BNDPMFCA练习：练习：1 如图 2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA，如果 PC=4，则 PD=（）A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3已知：如图 2-5,BAC=CAD,ABAD，CEAB，1AE=2（AB+AD）.求证：D+B=180。EB图2-3BCPODA图2-4ADC图2-54.已知：如图2-6,在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BC上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5已知：如图 2-7，在 RtABC 中，ACB=90,CDAB，
8、垂足为 D，AE平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求证 CF=BH。.专业知识分享.WORD 格式整理.ADCEEFADBHB图2-6FC图2-7（三）（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。1 1 已知：如图3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H1是 BC 中点。求证
9、：DH=（AB-AC）2A分析分析：延长CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。BDEHC2 2 已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90，AD 为ABC 的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。B图示3-1FAED分析分析：给出角平分线给出边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。图3-2C.专业知识分享.WORD 格式整理.3 3已知：如图3-3 在ABC 中，AD、AE 分别BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作 BFAD，交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。求证：AM=ME。分析分析：由 AD、AE 是BA
10、C 内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到用比线段证相等。4 4 已知：如图 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD延长线于 M。求证：AM=1（AB+AC）2BFNAMDCE图3-3分析分析：题设中给出角平分线AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，作ABD 关于 AD 的对称AED，然后只需证 DM=由求证的结果 AM=1EC，另外2AEFBDMnC1（AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可2尝试作ACM 关于 CM 的对称FCM，然后只需证 DF=CF 即可。练习练习：1 1图3-4已知：在ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 B
11、C 中点，AE 是BAC 的平分线，且 CEAE 于 E，连接 DE，求 DE。2 2已知 BE、BF 分别是ABC 的ABC 的内角与外角的平分线，AFBF1BC2于 F，AEBE 于 E，连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求证 MN=.专业知识分享.WORD 格式整理.（四）（四）、以角分线上一点做角的另一边的平线、以角分线上一点做角的另一边的平线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。AHDEAFGBBCIC图4-1图4-24如图，
12、ABAC,1=2，求证：ABACBDCD。BA12DC5如图，BCBA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。.专业知识分享.ABDC.WORD 格式整理.6如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。DCAEB练习：练习：1.已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC 是直角三角形。C2已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCACA3已知 CE、AD 是ABC 的角平分线，B=60，求证：AC=AE+CDBD1 2CAB.专业知识分享.WORD 格式整理.BEADC4已知：如图在ABC 中，A=90，AB=AC，BD
13、是ABC 的平分线，求证：BC=AB+ADBADC三三 由线段和差想到的辅助线由线段和差想到的辅助线口诀：口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差等式，移到同一三角去。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。.专业知识分享.WORD 格式
14、整理.一、在用三角形三边关系证明线段等关系时，如直接证出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的等关系证明，如：1、已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.证明：证明：（法一）（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，MDEANC在AMN 中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM 中，MB+MDBD；（2）在CEN 中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（法二：图（法二：图 1-
15、21-2）DAB图11GEF延长 BD 交 AC 于 F，廷长CE 交 BF 于 G，在ABF 和BGFC 和GDE 中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FCGE+CE（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。B图1 2CAGDF图2 1EC.专业知识分享.WORD 格式整理.二、在用三角形的外角大于任何和它相邻的内角时如直接证出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置
16、上，再用外角定：如：如图2-1：已知D 为ABC内的任一点，求证：BDCBAC。分析：分析：因为BDC 与BAC 在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置；证法一证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同DECBAC，BDCBAC证法二：连接 AD，并廷长交 BC 于 F，这时BDF 是ABD 的外角，BDFBAD，同，CDFCAD，BDF+CDFBAD+CAD，即：BDCBAC。注意：用三角形外角定证明等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位
17、置上，再用等式性质证明。三、三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：A如：如图3-1：已知AD 为ABC 的中线，且 1=2,3=4,求证：BE+CFEF。分析：要证 BE+CFEF，可用三角形三边关系定证明，须把BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知1=2，BENF2314D图31C.专业知识分享.WORD 格式整理.3=4，可在角的两边截取相等的线段，用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF 移到同个三角形中。证明：在 DN 上截取 DN=DB，连接 NE，NF，则 DN=DC，在DBE 和NDE 中：DN=DB（辅助线作法）1=2（已知）ED=ED（
18、公共边）DBENDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同可得：CF=NF在EFN 中 EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、截长补短法作辅助线。如：已知如图6-1：在ABC 中，ABAC，1=2，P 为 AD 上任一点求证：AB-ACPB-PC。分析：要证：AB-ACPB-PC，想到用三角形三边关系，定证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 AB-AC=BN，再连
19、接 PN，则 PC=PN，又在PNB 中，PB-PNPB-PC。证明：（截长法）在 AB 上截取 AN=AC 连接 PN,在APN 和APC 中AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形对应边相等）在BPN 中，有 PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）BP-PCPM-PC(三角形两边之差小于第三边)AB-ACPB-PC。1如图，AC 平分BAD，CEAB，且B+D=180，求证：AE=AD+BE。ADE.专业知识分享.CB.WORD 格式整理.2 如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E，AD+AB=2
20、AE，求证：ADC+B=1803 已知：如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，A=108，BD 平分ABC。求证：BC=AB+DC。4 如图，已知 RtABC 中，ACB=90，AD 是CAB 的平分线，DMAB 于1M，且 AM=MB。求证：CD=2DB。AMBADCDCAEBCDB1如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。.专业知识分享.DCEAB.WORD 格式整理.2.如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过 A 的一条直线，且 B，C 在AE 的异侧，BDAE 于 D，CEAE 于 E。求证：BD=DE+CE四四 由中点想到的辅
21、助线由中点想到的辅助线口诀：口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探，找到解决问题的方法。（一）（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图 1，AD 是 ABC 的中线，则 SABD=SACD=SABC（因为 ABD 与 ACD是等底同高的）。.专业知识分享.WORD 格式整理.1如图 2，ABC 中，AD 是中线，延长 AD 到 E，使
22、DE=AD，DF 是 DCE的中线。已知 ABC 的面积为 2，求：CDF 的面积。解：因为 AD 是 ABC 的中线，所以 SACD=SABC=2=1，又因 CD 是 ACE的中线，故 SCDE=SACD=1，因 DF 是 CDE 的中线，所以 SCDF=SCDE=1=。CDF 的面积为。（二）（二）、由中点应想到用三角形的中位线、由中点应想到用三角形的中位线2如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，BA、CD 的延长线分别交 EF 的延长线 G、H。求证：BGE=CHE。证明：连结 BD，并取 BD 的中点为 M，连结 ME、MF，ME 是 BCD
23、 的中位线，MECD，MEF=CHE，MF 是 ABD 的中位线，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，从而BGE=CHE。.专业知识分享.WORD 格式整理.（三）（三）、由中线应想到延长中线、由中线应想到延长中线3图4，已知ABC 中，AB=5，AC=3，连BC 上的中线 AD=2，求BC 的长。解：延长 AD 到 E，使 DE=AD，则 AE=2AD=22=4。在 ACD 和 EBD 中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，从而 BE=AC=3。在 ABE 中，因 AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90，BD=，故
24、BC=2BD=2。4如图 5，已知 ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求证：ABC 是等腰三角形。证明：延长 AD 到 E，使 DE=AD。仿3 可证：BEDCAD，故 EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，从而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。（四）（四）、直角三角形斜边中线的性质、直角三角形斜边中线的性质5如图6，已知梯形 ABCD 中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。.专业知识分享.WORD 格式整理.证明：取 AB 的中点 E，连结 DE、CE，则 DE、CE 分别为 RtABD，RtABC斜边 AB 上的中线，故
25、DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在 ADE 和 BCE 中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，从而梯形 ABCD 是等腰梯形，因此 AC=BD。（五）（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线6如图 7，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。证明：延长 BA，CE 交于点 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，E
26、F=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故 1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此中BE 是等腰 BCF 的底边 CF 的中线。.专业知识分享.WORD 格式整理.（）中线延长（）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，可得到全等三角形。一一：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且1=2，3=4，求证：BE+CFEF。证明证明：廷长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。AE在BD
27、E 和CDM 中，BD=CD（中点定义）1=5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180（平角的定义）3+2=90即：EDF=90FDM=EDF=90在EDF 和MDF 中ED=MD（辅助线作法）EDF=FDM（已证）DF=DF（公共边）EDFMDF（SAS）.专业知识分享.FB2341DC图4 1M.WORD 格式整理.EF=MF（全等三角形对应边相等）在CMF 中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形
28、，使题中分散的条件集中。二二：如图 5-1：AD 为ABC 的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证 AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左边比要证结论多 BD+CD，故能直接证出此题，而由2AD 想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，CEAD 为ABC 的中线（已知）BD=CD（中线定义）BDAC在ACD 和EBD 中BD=CD（已证）1=2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形对应边相
29、等）在ABE 中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）AB+AC2AD。练习：练习：E图51.专业知识分享.WORD 格式整理.1 如图，AB=6，AC=8，D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围。2如图，AB=CD，E 为 BC 的中点，BAC=BCA，求证：AD=2AE。AB6A8DC3如图，AB=AC，AD=AE，M 为 BE 中点，BAC=DAE=90。求证：AMDC。4，已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF=2AD。B.专业知识分享.BECDADMCDBDDEDEAFDC图52.WORD 格式整理.A5已知：如图 AD 为ABC 的中线，AE=EF，求证：BF=ACE.专业知识分享.FBD.C