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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学专题复习数列的综合应用一、考点、热点回忆如何解数列应用题1 解数列应用题一般要经受：设列解答四个环节2 建立数列模型时,应明确是什么模型,仍要确定要求是什么3 建立数学模型的一般方法步骤：仔细审题,精确懂得题意,达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么 . 抓住数学关系,联想数学学问和数学方法,恰当引入参数变量或建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数学关系用数学式子表达将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意引出满意题意的数学关系式 如函数、方程、不等式、
2、数列等 二：典型例题题型一：等差、等比数列的综合应用例 1：已知数列 an的前 n 项和S n1n2kn kN,且 Sn的最大值为8. 14,2（1）确定常数k,求 an；12 k ,故k（2）求数列92a n的前 n 项和 Tn；2n解: （1）当 nkN时,S n21n2kn 取最大值, 即8n1k2nk22229 2n n从而a nS nS n1a 1S 17,所以a9,又22n1n（1）由于b n92a nn1,T nb 1b 2b n123n 2n 2222n 22n 2所以T n2 T nT n2 11212n14212n14n22nn 2nn 2n 21题型二：数列与函数的综合应
3、用名师归纳总结 例2 ： 函 数fx2 x2x3； 定 义 数 列nx如 下 ：x 12,xn1是 过 两 点第 1 页,共 9 页P 4 , 5 ,xf,n x的直线PQ 与 x 轴交点的横坐标；（1）证明：2x nxn13；（2）求数列x n的通项公式；解：（1）为f442835,故点P4,5在函数f x 的图像上,故由所给出的两点P 4,5,Q nxn,fx n,可知,直线PQ 斜率肯定存在；故有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线PQ 的直线方程为y5f学习必备x4欢迎下载y0,可求得x n45,令xn5x n2x n2x n8x4x n52
4、x541x4x n3k3k425,kx134x n2所以x n14x n3xn2nk时,xk14x下面用数学归纳法证明2xn3当n1时,x 12,满意2x 13假设 nk 时, 2kx3成立,就当x k2x k2由2x k34x k251xk252114x53即244也成立名师归纳总结 综上可知 2nx3对任意正整数恒成立；xn0即x nxn13第 2 页,共 9 页下面证明xnx n1由x n1x n4x n3x n4 x n3x n22x nx n2 14x n2x n2x n2由2x n31xn120x n2 143,故有xn1综上可知2xnx n13恒成立；2x30,解得x4xn3得到
5、该数列的一个特点方程x4x3即x2（2）由x n1x n2x2或x14xn33x n3xn1 14x n315x n5 2x n13xn2x n2xn2xn两式相除可得x n131xn3, 而x 13231x n115x n1x 11213故数列x nx n3是以1为首项以1 5为公比的等比数列13- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x n311 5n1, 故xn9 5n1学习必备33欢迎下载1；14x n133 5n115n1【命题意图】 本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用；先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用
6、数学归纳法进行证明,依据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基；【点评】以函数为背景,引出点的坐标,并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式；既考查了直线方程,又考查了函数解析式,以及不等式的证明,试题比较综合,有肯定的难度；做这类试题那就是依据已知条件,一步一步的翻译为代数式,化简得到要找的关系式即可；题型三：数列与不等式的综合应用例 3： 设数列 a n的前 n 项和为S ,满意2S na n1n 211 nN*,且a a25,a 成等差数列；（1）求1a 的值；（2）求数列 a n的通项公式；23 an12n1n：n2（3）证明：对一切正整数n ,有1113a 1a2a n2【解析】（
7、1）2S na n1n 211,2S n1a n22n21相减得：an2S 1a23a22a 13,a 33a 246a 113a a25,a 成等差数列a 1a32a25a 11（2）a 11,a 25得an13 ann 2对n* N 均成立3aan13 a nn 2a n12n13ann 2 得an2n11（3）当n1时,113a 121113当n2时,3 2n3223n22nann 22a n2n111111111a 1a 2a n22232n22n2由上式得：对一切正整数n ,有1113a 1a2a n2题型四：数列与几何的综合应用例 4： 函数 y=x2x0 的图像在点 ak,ak
8、2处的切线与x 轴交点的横坐标为ak+1 ,k 为正整数,a1=16,就 a1+a 3+a 5=_ 解析 考查函数的切线方程、数列的通项；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在点 ak,ak 2处的切线方程为：y4学习必备x欢迎下载当y0时,解得xa k,ak22akak,2所以a k1a k,a 1a 3a 516121；2例 5: 已知数列 an 的首项 a11,且点 An an,an1 在函数 yx x 1的图象上1 求数列 an 的通项公式；2 求证：弦 AnAn1 的斜率随 n的增大而增大an 1 1解析：1
9、 an1an1且 a11,an11an,1 1 1an 1an 1,an是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列,1 1an1 n1 1 n, ann. 1 1 12 证明： ann, an1n1,an2n 2,1 1弦 AnAn1的斜率 knan2 an1 an1ann2n1n2,nn11kn1 knn1 n3n2n nnnnn n2nn0. 弦 AnAn1的斜率随 n 的增大而增大题型五：数列与三角的综合应用例 6： 数列an的通项公式anncos n 21,前 n 项和为S ,就S 2022_；【3018】考点： 数列和三角函数的周期性；难度： 中；分析： 此题考查的学问点为三角函数的周
10、期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组运算和；名师归纳总结 解答：a n14n1 cos4n21 14n1 cos23101,21,第 4 页,共 9 页a n4n2cos4n2214 n214 n2cosa n34n3 cos4n2314 n3 cos101,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a n4 4n4 cos学习必备4 欢迎下载4 cos 214 n41,4 n14 n2所以a4n1a4n26a4n3a4n46；即S 202220223018；4题型六：数列与概率的综合应用例 7：现有 10 个数,它们能构成一个以1 为首项,3 为公比
11、的等比数列,如从这10 个数中随机抽取一个数,就它小于8 的概率是 【答案】3 5；【考点】 等比数列,概率；【解析】 以 1 为首项,3为公比的等比数列的10 个数为 1, 3, 9,-27,其中有 5 个负数, 1 个正数 1 计 6 个数小于 8,从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于8 的概率是6=3；105题型七：数列的实际应用例 8：用分期付款方式购买家用电器一件,价格为 1 150 元,购买当天先付 150 元,以后每月这一天都交 50 元,并加付欠款利息,月利率为 1%,如付 150 元之后的第一个月算分期付款的第一个月,问分期付款的第10 个月该交付多少钱？全部付清后,实际
12、共花了多少钱？解析：购买当天付了150 元,余欠款1 000 元,按题意分20 次仍清设每次付款依次构成数列 an ,就 a1501 000 0.01 60 元,a250 1 000 50 0.01 59.5 元,a350 1 000 50 2 0.01 59 元an 60 n1 0.5 , an 是以 60 为首项, 0.5 为公差的等差数列a10609 0.5 55.5 元20 期共仍款 S2020 6020 19 0.5 1 105 ,2故共花了 1 105 1501 255 元三、课后练习名师归纳总结 1 、 有 一 列 正 方 体, 棱长 组 成 以1 为 首项 、1 为 公 比 的
13、 等 比 数 列 ,体积 分 别 记 为 2第 5 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - V 1,V2,Vn,就lim n V 1V2学习必备V n欢迎下载. 【答案】8 7.【解析】 由正方体的棱长组成以1为首项,1为公比的等比数列,可知它们的体积就组成了2一个以 1 为首项,1 为公比的等比数列,因此,8lim n V 1V2Vn1118.78【点评】 此题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义考查学问较综合.2、数列 xn满意：x 10,xn1x2xnc nN*n（I）证明：数列 xn是单调递减数列的充分必要
14、条件是c0（II ）求 c 的取值范畴,使数列xn是单调递增数列；【解析】（I）必要条件当c0时,x n1x2x ncx n数列 nx是单调递减数列n充分条件名师归纳总结 数列 xn是单调递减数列x 1x 22 x 1x 1cc2 x 10x 同号,第 6 页,共 9 页c01x nc得：数列 xn是单调递减数列的充分必要条件是（II ）由（ I）得：C0当c0时,a na 10,不合题意0c当c0时,x2cx 1,x 3c22cx 2cx n1x nc2 x n02 x nc10x 1x n2xn1x2 n1x2 nx n1x nx n1xnx n1xn1当c1时,x nc1x nx n11
15、0x n2x n1与x n142由x2x 1c0x n2x n0x n1xnlim nxn1lim nx2x nclim nxncn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当c1时,存在 N ,使x N学习必备xN欢迎下载1x N2x N1与xN1x N异号1x N142与数列 xn是单调递减数列冲突nb nN16得：当0c1时,数列 xn是单调递增数列43、lim nn21n2；5 n5【解析】lim nn 21nlim nn25 nnlim n1 5 /n125 n5 n554、数列 an满意a n1n 1an2n1,就 an的前 60 项和为【解析】
16、an的前 60 项和为1830可证明：b n1a4n1a 4n2a4n3a4n4a 4n3a4n2a4n2a 4n16b 1a 1a 2a 3a 41 0S 1 51 01 5 1 521 41 61 8 3 0+. 5、已知 a 是等差数列,其前n 项和为S ,b 是等比数列 , 且1a =b 1=2,a4+b 4=27,S 4b 4=10. 求数列 a 与b 的通项公式； 记T na b 1an1b 2an2 b 3ab ；证明：T n+12=2an+10 bn【参考答案】名师归纳总结 （1）设数列 an的公差为 d ,数列 b n的公比为 q ；3n 2 a 1a 2a n1）第 7 页
17、,共 9 页就a 4b 42723 d23 q27dS 4b 410q24 a 16 d3 2 q10得：a n3n1, b n2n2 a n（2T na b 1a n1 2 ba n2 b 3a b n2na 1n 21a 22n 2a n13 n11n22n 315 c nc n12nn 2n 2n 2c2 n1T nn 2 c 1c2c2c3cncn1n 102n23n510b n2 an12T n1210b n2a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【点评】该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用
18、,但方法多样, 其次问可以用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给同学思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原就. S 2S 对一切正整数n 都成立；6、已知数列 an的前 n 项和为S ,且a an（）求a ,a 的值；T ,当 n 为何值时,T 最大？并求出T 的最（）设a 10,数列lg10a 1的前 n 项和为an大值；解析 取 n=1,得a2a1s2s 1a22 a1a2,取 n=2,得a 222a 12,又 -,得a2a2a 1a2（1）如 a2=0, 由知 a1=0, 名师归纳总结 2如 a20,易知a2a11, 5,第 8 页,共 9 页由得：a 12,1a 222 ;a
19、 112,a 222 ; 5分（2）当 a10 时,由（ I）知,a 12,1a22;2当n2 时,有（22）ans 2s n, 2+2 an-1=S2+Sn-1 所以, an=2 an1n2 所以ana 12n1212n1令bnlg10a1,就bn1lg2n11lg100an22n1所以,数列 b n 是以1lg2为公差,且单调递减的等差数列. 2就 b1b 2b3 b7=lg10lg108当 n8时, bnb8=1lg1001lg1021282所以, n=7 时, Tn 取得最大值,且T n 的最大值为T 7=（b 12b 7）721lg2 12分27、设函数f x 2xcosx ,an是
20、公差为8的等差数列,f a 1f a2f a 5就f a32a a 3（D ）A、 0B、12C、12D、13216816- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 数列 a n 是公差为8学习必备欢迎下载f a 55的等差数列,且f a 1f a 2（2 a 1 a 2 a 5）cos a 1 cos a 2 cos a 5 5cos a 1 cos a 2 cos a 5 0 , 即（a 1 a 2 a 5）2 5 a 3 5得 a 3 , a 1 , a 5 32 4 42 2 f a 3 2a a 3 2 a 3 cos a 3 2a 1 a 5 2 3 1316 16点评 此题难度较大, 综合性很强 .突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强学问系统、网络化学习 . 另外,cos a 1 cos a 2 cos a 5 0 , 隐藏性较强,需要考生具备肯定的观看才能 . 8、有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为 2个,现在有一个这样的细菌和100 个这样的病毒, 问细菌将病毒全部杀死至少需要几秒钟？名师归纳总结 解：依题意12122 2 n 1100,7 秒钟第 9 页,共 9 页n 12 1 2100, 2n101, n7,就所求为- - - - - - -