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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案数学教学设计案例课题名称：余弦定理教学年级：高一年级（下）（一）教学内容分析1教学主要内容本节课是“ 正弦定理、余弦定理” 教学的其次节课,其主要任务是引入并证明余弦定理,在课型上属于“ 定理教学课”； 余弦定理是三角函数一般学问和平面对量学问在三角形中的详细运用,是解可转化为三角形运算问题的其它 数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值；2我的摸索余弦定理一课教学模式和策略设计就是想让素养训练如何落实在课堂 教学的每一个环节上进行一些探究和争论；旨在通过同学自己的思维活动猎取数学学问,提高同学基础性学力
2、 基础才能 ,培育同学进展性学力 培育终身学习才能 ,诱发同学制造性学力 提高应用才能 ,最终达到素养训练目的； 为此,我在设计这节课时,采纳问题开放式课堂教学模式,以同学参加为主,老师启 发、点拨的课堂教学策略；通过设置开放性问题,问题的层次性推动和老师启 发、点拨进展同学有效思维,提高数学才能,达到上述三种学力的提高、培育 和诱发；以同学参加为主,老师启示、点拨教学策略是表达以同学进展为本的 现代训练观,在开放式争论过程中,提高同学的数学基础才能,进展同学的各 种数学需要,使其获得终身受用的数学基础才能和制造才能；为此我们依据“ 问题教学” 模式,沿着“ 设置情境- 提出问题 - 解决问题
3、- 反思应用” 这条主线,把从情境中探究和提出数学问题作为教学的动身点,以“ 问题” 为主线组织教学,形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“ 情境 - 问题” 学习链,使同学真正成为提出问题和解决问题的主体,成为知识的“ 发觉者” 和“ 制造者”,使教学过程成为同学主动猎取学问、进展才能、体验数学的过程；依据上述精神,做出了如下设计：创设一个现实问题情境 作为提出问题的背景；启示、引导同学提出自己关怀的现实问题,逐步将现 实问题转化、抽象成过渡性数学问题,解决问题时需要使用余弦定理,借此引 发同学的认知冲突,揭示解斜三角形的必要性,并使同学产生进一步探究解决 问题的动机；然后引导同学抓住
4、问题的数学实质,引伸成一般的数学问题：已 知三角形的两条边和他们的夹角,求第三边；为明白决提出的问题,引导学 生从原有的学问体会中“ 生长” 出新的学问体会,通过作边 BC的垂线得到两个 直角三角形,然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式,进而 引导同学进行严格的规律证明；（二）教学目的 1 把握余弦定理及其证明方法体会向量的工具性 . 2 通过对余弦定理的争论和初步应用 精神 . （三）教学重难点, 培育观看发觉、合作沟通才能和探究名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案教学重点：余弦定理及
5、其应用 教学难点：证明余弦定理（四）教学过程 一、复习 提问 1：上节课,我们学习了正弦定理,解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；已知两边和其中一边的对角 有解决？. 三角形中仍有怎样的问题没已知两边和夹角；已知三边. . 已知两边a,b及夹角C90,能否求第一分析最特别的三角形直角第三边？勾股定理c2a2b2二、引入 提问 2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？呢？在 ABC中,当C90时,有c2a2b c 与a2b 有怎样的大小关系试验：如 a,b 边的长短不变,C 的大小变化 ,三、定理证明探求c 与a2b 及 C的大小关系 . c 与a2b 及 C的大小关系 . 边a b 与
6、提问 3：如何利用向量解决：（1）探求C有怎样的位置关系？（ 2）边 c的所在直线向量怎样用 出来？,a b 所在直线向量表示如图,向量的点乘公式：CB CA ab cos C （引导同学挑选合适的向量方向）向量的减法法就：AB CB CA .2 2 2 2 2c AB CB CA CB 2 CB CA CA2 2a b 2 ab cos C .2 2 2c a b 2 ab cos C . 图 4 同理可得2 2 2a b c 2 bc cos A . 2 2 2b c a 2 ac cos B . 这就是余弦定理 . 它在实际测量中有很好的作用 . 16 世纪,法国数学家韦达利用三角法证明
7、余弦定理. 一些教材仍介绍了利用解析法证明 . 事实上仍可以利用几何法证明 . 对勾股定理的证明目前有 40 多种,而对余弦定理的证明方法却不多见,这正我们同学积极摸索和制造的机会 . 留给同学课后争论 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案四、定理争论 提问 4：余弦定理中有什么特点、 规律？隐藏什么隐秘？等待着我们探究发 现,分 4 人一小组合作完成 . 小组代表发言,一组一条不重复 . 同学对定理的争论：表示关系： 1边角关系 2三边和一角 文字表述： 3三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
8、和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍 . 公式作用： 4已知两边和它们的夹角的大小,可求第三边的大小；5已知三边,求三个角 . 基本练习：（1）a2,b3, C60,求 .c. . 定理推广： 6勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广当c90时,c2a2b . 定理推广： 7直角三角形中的锐角三角比是余弦定理的特例当c90时,c2a2b ,cosAb22 ca22b2b2bc2bcc定理联系： 8如 +得：cbcosAacos . B 这是三角形中的射影定理判定三角形的外形：9判定钝角三角形的充要条件：有一边的平方大于另两边的平 方和 . 10判定锐角三角形的充要条件：任意两边
9、的平方和大于第三 边的平方 . 五、定理应用例1（课本 p33例题）在ABC 中,已知a2.730,b3.696,C82 28 ,解这个三角形（边长保留四个有效数字,角度精确到1 ）提问 5：已知什么条件,求什么,先求什么,再求什么. （1）已知两边及夹角,先求第三边；（2）通过三边,求角 A；（3）求角B180AC.六、小结 提问 6：这节课我们学习了什么学问、它有什么作用、利用了什么数学思想 或方法 . （1）本节课我们争论余弦定理. 它有两种表现形式,一种是用两边及夹角的余弦表示第三边,另一种是三边表示角（2）余弦定理的作用通过它的两种形式直接表现：已知两边及夹角求第三 边；已知三边求三
10、内角它和正弦一起解决明白三角形中各类问题 . （3）本节课我们利用向量法证明定理,表达向量法的敏捷运用 . 七、作业 基础性巩固练习 1课本 p133, 3.4. 2在 ABC中,已知以下条件 , 求解三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）a1, b32,C150名师精编优秀教案（2）b4 2,a5,A45（3）a16,c19,C120. 独立性探求问题 3写出三角形为锐角三角形的一个充要条件 . 合作性争论问题争论利用几何法、三角法、解析法或制造新的方法证明余弦定理 . 教学课后反思与总结在下面几个方面很好
11、地完成教学任务和实现教学目标：1课题引入：争论一般三角形的一类问题,目标明确. 由特别的直角三角形开始争论,探讨斜三角形中一边的平方和另两边平方和及夹角的关系 .呈现学问发生和进展过程 . 2定理证明：利用向量证明定理,条理清楚、思路轻松自然 . 3定理争论：制造同学自主探究的氛围,让同学（细心）观看、（小组）争论、（沟通）合作、（代表）报告 . 充分调动学习的积极性,促进不同层次的同学合 作沟通 . 4思想总结：本课中,老师立足于所创设的情境,通过同学自主探究、合作交流,亲身经受了提出问题、解决问题、应用反思的过程,同学成为余弦定理的“ 发觉者” 和“ 制造者”,切身感受了制造的苦和乐,学问
12、目标、才能目标、情感目标均得到了较好的落实,为今后的“ 定理教学” 供应了一些有用的借鉴；创设数学情境是“ 问题教学” 模式的基础环节,老师必需对同学的身心特 点、学问水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑,对可用的情境进行比较,挑选具有较好的训练功能的情境；这种教学模式主见以问题为“ 主线”组织教学活动,以同学作为提出问题的主体,如何引导同学提出问题是教学成 败的关键；教学试验说明,同学能否提出数学问题,不仅受其数学基础、生活 经受、学习方式等自身因素的影响,仍受其所处的环境、老师对提问的态度等 外在因素的制约；因此,老师不仅要注意创设相宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵,而且仍具有“ 问题” 的诱导性、启示性和探干脆）,而且要真正转变对同学提问的态度,提高引导水平,一方面要勉励同学大胆地提出问题,另一方 面要妥当处理同学提出的问题；关注同学学习的结果,更关注同学学习的过程；关注同学数学学习的水平,更关注同学在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给同学创设了一种情境,使同学亲身经受了数学活动过程把“ 质疑 提问” ,培育同学的数学问题意识,提高同学提出数学问题的才能作为教与学活 动的起点与归宿；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页