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1、关于二次型化为标准型关于二次型化为标准型1 1第1页，讲稿共17张，创作于星期一Page 2一、正交变换化二次型为标准形一、正交变换化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形说明说明第2页，讲稿共17张，创作于星期一Page 3第3页，讲稿共17张，创作于星期一Page 4用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第4页，讲稿共17张，创作于星期一Page 5解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例1 1第
2、5页，讲稿共17张，创作于星期一Page 6从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组第6页，讲稿共17张，创作于星期一Page 74 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵第7页，讲稿共17张，创作于星期一Page 8于是所求正交变换为于是所求正交变换为第8页，讲稿共17张，创作于星期一Page 9二、拉格朗日配方法的具体步骤二、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是用正交变换化二次型为标准形，其特点是保保持几何形状不变持几何形状不变问题问题有没有其它方法，也可以把二次型化有没
3、有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法第9页，讲稿共17张，创作于星期一Page 101.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先
4、作可逆线性变换则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.第10页，讲稿共17张，创作于星期一Page 11解解例例2 2含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项第11页，讲稿共17张，创作于星期一Page 12第12页，讲稿共17张，创作于星期一Page 13所用变换矩阵为所用变换矩阵为第13页，讲稿共17张，创作于星期一Page 14解解例例3 3由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以第14页，讲稿共17张，创作于星期一Page 15再配方，得再配方，得第15页，讲稿共17张，创作于星期一Page 16所用变换矩阵为所用变换矩阵为第16页，讲稿共17张，创作于星期一感谢大家观看第17页，讲稿共17张，创作于星期一