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1、关于二次型化为标准关于二次型化为标准型的三种方法型的三种方法1第一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月2定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换 化为标准形。21211 11212112222222:( ,.,)2. 2. 2.nnnnnnnnf x xxa xa xxa xxa xa x xa x 证证 设设(1)若aii不全为零,设a110则上式可写成第二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月3 21211211111211112222222(,.,)2.2.nnnnnnnnaaf x xxaxxxxaaa xa xa x 21 211 1121 11 121 221 331
2、1 1222 2222.1.2.nnnnnnn nnaaaxxxaaaxaxaxaaxaxax配方第三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月4 令令121112111122.nnnnaayxxxaayxyx改改写写上上述述关关系系得得到到：第四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月5 1 211121 11 122.nnnnaaxyyyaaxyxy它是非退化的,代入后 21222223232223332132131,.,2. 2. 2.nnnnnnnnf x xxa ya y ya y ya ya y ya ya y对y2,y3,yn的二次型.第五张，PPT共二十九页，创作于2022年
3、6月6当aii不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)(2)若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一个aij0,设a120,则 12 1 21213 1 31123 2 3221 ,1( ,.,)2. 22. 2.22.nnnnnnnnnf x xxa xxa xxa x xa x xaxxxxa第六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月71121233. . .nnxyxyyxyxy 令令它是非退化线性的替换,代入后1212 11213 1 311231232121,1( ,.,)2() 2. 22(). 2().2nnnnnnnnnf x xxa y yya yya yyayy
4、 yayy yay y 第七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月8 12 1 213231 31212323221,1212 122(). 2()2. 2.22nnnnnnnnna yyaayyaayya y ya y yayyya211220,(1).ya 的的系系数数再再用用化化简简反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型化为标准形.因为 x=Cy, |C|0y=Dz,|D|0则 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0也是非退化线性替换.第八张，PPT共二十九页，创作于2022年6月9以上做法中,每一步都是非退化线性替换.因此可以找到一个非退化线性替换化为二次型为标准形.定理
5、 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法：配方法.第九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月1.若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形 . ixix拉格朗日配方法的步骤.,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例1第十张，PPT共二十九页，创作于2022年6月解32312123222162252xxxxxxx
6、xxf 31212122xxxxx 322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有x1含有平方项 2321xxx 22232344xxx x 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx第十一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为 .01,100210111 CC第十二张，PPT共二十九页，创作于2022
7、年6月13 将将二二次次型型化化为为标标准准形形例例22211213223322224xx xx xxx xx解:配方化简2221121322332224xx xx xxx xx 222221123232322 332 () ()()24xx xxxxxxxxxx 221232232xxxxx x 222123233xxxxxx 112322333yxxxyxxyx 令令第十三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月1411222333xyyxyyxy 即即11001110001C 代入可得标准形为222123yyy 100010001B 它它的的矩矩阵阵为为第十四张，PPT共二十九页，创作
8、于2022年6月15111122121A 原原二二次次型型矩矩阵阵非退化线性替换矩阵为110011| 10001CC 且且100111110110122011011121001TC AC 可可验验证证111110011011001001 100010001B 第十五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月16 kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按 1 中方法配方.第十六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月,33212211 yxyyxyyx 令令解
9、,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例3由于所给二次型中无平方项，所以111223311011 0,001X CYyxyxxy 即即第十七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得1122233101012,001YC Zyzyzzy即即第十八张，PPT共二十九页，创作于
10、2022年6月所用变换矩阵为12110101110012001001CC C.100111311 .02 C第十九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月20正正交交变变换换法法112n,(,)nAQQAQdiag 由由实实对对称称矩矩阵阵的的理理论论，对对任任意意 阶阶实实对对称称阵阵存存在在正正交交矩矩阵阵使使得得12T12,.f(,)=X(),AnTnAxxxAX AA 其其中中为为 的的特特征征值值 对对任任意意一一个个实实二二次次型型由由于于 为为实实对对称称，则则存存在在正正交交矩矩阵阵Q Q使使得得112( ,),TnQ AQQ AQdiag 1 12 2n n于于是是线线性性
11、替替换换X X= =Q QY Y( (称称为为) )化化f f为为标标准准正正交交变变换换型型22212.nyyy第二十张，PPT共二十九页，创作于2022年6月21 1 12 2n n对对于于任任意意 元元实实二二次次型型都都存存在在正正交交变变换换X X= =Q QY Y化化f f为为标标准准型型其其中中为为的的特特值值理理征征定定222212 n,(),A(i=1,2,n).1nTTnif(xxx )X AX AAyyy正正交交变变换换的的特特点点是是保保持持向向量量长长度度不不变变：X=QY设设为为正正交交变变换换，则则2(,)(,)() ()TXX XQY QYQYQY 2.TTTY
12、 Q QYY YY 第二十一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月用正交变换化二次型为标准形的具体步骤; .1A写写出出二二次次型型的的矩矩阵阵;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;, , .4212121nnnPPPCPPP 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,.52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 第二十二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月解step1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A.,8441414
13、17 323121232221化化成成标标准准形形通通过过正正交交变变换换将将二二次次型型Pyxxxxxxxxxxf 例172221442414E A 9182从而得特征值.18,9321 第二十三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 23180,EA x 将将代代入入得得基基础础解解系系,)0 , 1 , 2(2 T .) 1 , 0 , 2(3 T step2求特征向量 190,EA x 将将代代入入得得基基础础解解系系.)1,1,21(1T ,11 取取,22 3233222(,),(,) 得正交向量组.)1 ,54,52(3 T ,) 0 , 1 , 2(2 T ,) 1 , 1
14、 , 21 (1T step3将特征向量正交化第二十四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月,051522 ,3,2,1, iiii 令令得得,3232311 .4554544523 step4将正交向量组单位化，得正交矩阵P.45503245451324525231 P 所所以以第二十五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有第二十六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月27 1 12 2n n1 12 2n n1 12 2n n设设实实二二次次型型的的矩
15、矩阵阵的的特特征征值值例例为为证证明明：对对任任意意 维维实实向向量量都都有有12 (,),max,min,.,Tnf xxxX AXAcdnX12n12n(,).TTdX Xf xxxcX X AQf证证为为实实对对称称阵阵，则则存存在在正正交交矩矩阵阵使使得得经经过过正正交交变变换换X X= =Q QY Y化化为为1 12 2n n 222112222212(,).nnnTTfxxxyyyc yc yc yc YYc XX第二十七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月28 1 12 2n n1 12 2n n1 12 2n n设设实实二二次次型型的的矩矩阵阵的的特特征征值值为为，则则求求 在在应应条条件件用用极极值值1222212(,),max,min,1.Tnnf xxxX AXAcdfxxx12n12n(,).TTdX Xf xxxcX X第二十八张，PPT共二十九页，创作于2022年6月感谢大家观看第二十九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月