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1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011关于二次型化为标准型关于二次型化为标准型1现在学习的是第1页，共17页Page 2一、正交变换化二次型为标准形一、正交变换化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形说明2222211nnTTykykykACyCy 2 ,. fxCy 要要使使二二次次型型 经经可可逆逆变变换换变变成成标标准准形形就就是是要要使使,),(212121 yyykkkyyynnn 1, ;T. xCyfABC AC 二二次次型型经经可可逆逆变变换换后后 其其秩秩不不变变 但但的的矩矩阵阵由由
2、变变为为现在学习的是第2页，共17页Page 3有有型型把此结论应用于二次把此结论应用于二次即即使使总有正交矩阵总有正交矩阵阵阵由于对任意的实对称矩由于对任意的实对称矩,.,1 APPAPPPAT ,1 ,nijijijjii jfa x xaaxPyf 定定理理1 1任任给给二二次次型型总总有有正正交交变变换换使使化化为为标标准准形形,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf .TC AC也也就就是是要要使使成成为为对对角角矩矩阵阵现在学习的是第3页，共17页Page 4用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二
3、次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 现在学习的是第4页，共17页Page 5解1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxx
4、xxxxxf 例1现在学习的是第5页，共17页Page 6从而得特征值.18, 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xEA 2求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T 现在学习的是第6页，共17页Page 7 ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .455
5、4544523 .45503245451324525231 P 所所以以4将正交向量组单位化，得正交矩阵P现在学习的是第7页，共17页Page 8于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有现在学习的是第8页，共17页Page 9二、拉格朗日配方法的具体步骤二、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法现在学习的是第9页，共17页Page 101.若二次型含有 的平方项，则
6、先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.现在学习的是第10页，共17页Page 11解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例231212122xxxxx
7、322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有x1含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项现在学习的是第11页，共17页Page 12 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx现在学习的是第12页，共17页Page 1332312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为 .01,100210111 CC现在学习的是第13页，共17页Page
8、 14,33212211 yxyyxyyx 令令解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例3由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即现在学习的是第14页，共17页Page 15再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即现在学习的是第15页，共17页Page 16所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C现在学习的是第16页，共17页感谢大家观看现在学习的是第17页，共17页