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1、关于二次型化为标准关于二次型化为标准型的三种方法型的三种方法1第1页，讲稿共29张，创作于星期一2定理定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性任何一个二次型都可以通过非退化线性替换替换 化为标准形。化为标准形。(1)若若aii不全为零不全为零,设设a110则上式可写成则上式可写成第2页，讲稿共29张，创作于星期一3配方配方第3页，讲稿共29张，创作于星期一4第4页，讲稿共29张，创作于星期一5它是非退化的它是非退化的,代入后代入后对对y2,y3,yn的二次型的二次型.第5页，讲稿共29张，创作于星期一6当当aii不全为零时不全为零时,继续上述方法继续上述方法.否则用下述否则用下述(2)(2)若
2、若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一个但至少有一个aij0,设设a120,则则第6页，讲稿共29张，创作于星期一7它是非退化线性的替换它是非退化线性的替换,代入后代入后第7页，讲稿共29张，创作于星期一8反复使用反复使用(1)与与(2),可以在有限步内将二次型可以在有限步内将二次型化为标准形化为标准形.因为因为 x=Cy,|C|0y=Dz,|D|0则则 x=(CD)z,|CD|=|C|D|0也是非退化线性替换也是非退化线性替换.第8页，讲稿共29张，创作于星期一9以上做法中以上做法中,每一步都是非退化线性替换每一步都是非退化线性替换.因此可以找到一个非退化线性替换化为二因此可以找到一
3、个非退化线性替换化为二次型为标准形次型为标准形.定理定理 对任意对称阵对任意对称阵A,存在可逆阵存在可逆阵C使得使得CTAC为对角阵为对角阵.即任何对称矩阵合同于一个对角阵即任何对称矩阵合同于一个对角阵.上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法：标准型的方法：配方法配方法.第9页，讲稿共29张，创作于星期一1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变
4、换，就得到标准形性变换，就得到标准形.拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤例例1 1第10页，讲稿共29张，创作于星期一解解含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项第11页，讲稿共29张，创作于星期一所用变换矩阵为所用变换矩阵为第12页，讲稿共29张，创作于星期一13解解:配方化简配方化简第13页，讲稿共29张，创作于星期一14代入可得标准形为代入可得标准形为第14页，讲稿共29张，创作于星期一15非退化线性替换矩阵为非退化线性替换矩阵为第15页，讲稿共29张，创作于星期一162.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性
5、变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再化二次型为含有平方项的二次型，然后再按按 1 中方法配方中方法配方.第16页，讲稿共29张，创作于星期一解解例例3 3由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以第17页，讲稿共29张，创作于星期一再配方，得再配方，得第18页，讲稿共29张，创作于星期一所用变换矩阵为所用变换矩阵为第19页，讲稿共29张，创作于星期一20第20页，讲稿共29张，创作于星期一21第21页，讲稿共29张，创作于星期一用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第22页，讲稿共29张，创作于星期一解解step1step1写出对应的二次
6、型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例()()9182-=l ll l从而得特征值从而得特征值第23页，讲稿共29张，创作于星期一step2step2求特征向量求特征向量得正交向量组得正交向量组step3step3将特征向量正交化将特征向量正交化第24页，讲稿共29张，创作于星期一step4step4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P第25页，讲稿共29张，创作于星期一于是所求正交变换为于是所求正交变换为第26页，讲稿共29张，创作于星期一27第27页，讲稿共29张，创作于星期一28第28页，讲稿共29张，创作于星期一感感谢谢大大家家观观看看第29页，讲稿共29张，创作于星期一